1、5.5 转动中的功和能,一、力矩的功,称为力矩的功,力矩对转动物体作的功等于相应力矩和角位移的乘积。,二、刚体定轴转动的动能定理,由定轴转动的转动定律:,两边乘以d 再同时积分有:,合外力矩对刚体做的功,刚体的转动动能,上式即为：,合外力矩对一个绕固定轴转动的刚体所做的功等于刚体的转动动能的增量。这个结论称为定轴转动的动能定理。,三、刚体的重力势能,一个质元：,整个刚体：,一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部质量都集中在质心时所具有的势能。,四、定轴转动的功能原理与机械能守恒,对于含有刚体的系统,如果在运动过程中只有保守内力作功,则此系统的机械能守恒。,质点系功能原理对刚体仍成立：,若A外
2、+ A非保内=0 则Ek +Ep =常量。,例 一根长为l、质量为m的均匀细直棒，其一端有一固定的光滑水平轴，因而可以在竖直平面内转动。最初棒静止在水平位置，求它由此下摆角时的角速度。,用功能定理重解该题,取起始位置为零势能参考点,？棒端A的速度,初始：,令,末态：,则：,(1),解：杆+地球系统， 只有重力作功， E守恒。,由平行轴定理,(2),由（1）、（2）得,6 对定轴的角动量守恒,一、质点系定轴转动的角动量定理,冲量矩,左边为对某个固定轴的外力矩的作用在某段时间内的积累效果，称为冲量矩；,右边为质点系对同一转动轴的角动量的增量。,质点系定轴转动的角动量守恒 ,当 M=0 时，,定轴转
3、动：,二、对定轴的角动量守恒定理,对于一个质点系，如果它受的对于某一固定轴的合外力矩为零，则他对于这一固定轴的角动量保持不变-对定轴的角动量守恒定律,1、上述结论对质点系适用，质点系可以不是刚体，其中的质点也可以组成一个或多个刚体 2、一个系统内的各个刚体或质点的角动量必须是对于同一个固定轴而言,由多个刚体组成的刚体体系,M=0的原因，可能1）F0（不受外力）；2）外力作用于转轴上;3）外力作用线通过转轴；4）外力作用线与转轴平行。,对定轴转动均没有作用，则质点系对此轴的角动量守恒。,演示 茹可夫斯基凳,花样滑冰 跳水 体操,第5章结束,例1：一个人站在有光滑固定转轴的转动平台上,双臂伸直水平
4、地举起二哑铃,在该人把此二哑铃水平收缩到胸前的过程中,人、哑铃与转动平台组成的系统的, C ,（A）机械能守恒,角动量守恒; （B）机械能守恒,角动量不守恒; （C）机械能不守恒,角动量守恒; （D）机械能不守恒,角动量不守恒.,例2、如图所示,一质量为m的子弹以水平速度射入一静止悬于顶端长棒的下端,穿出后速度损失3/4,求子弹穿出后棒的角速度。已知棒长为l,质量为M.,解:,1)子弹和棒的动量守恒吗?为什么?,2)角动量守恒吗?若守恒,其方程应如何写?,例3 、如图所示，将单摆和一等长的匀质直杆悬挂在同一点，杆的质量m与单摆的摆锤相等。开始时直杆自然下垂，将单摆的摆锤拉到高度h0，令它自静止
5、状态下垂,于铅垂位置和直杆作弹性碰撞。求碰撞后直杆下端达到的高度h。,解:碰撞前单摆摆锤的速度为,令碰撞后直杆的角速度为，摆锤的速度为v。由角动量守恒，有,在弹性碰撞过程中动能也是守恒的:,二式联立解得：,按机械能守恒，碰撞后摆锤达到的高度显然为,而杆的质心达到的高度满足,由此得,例4、一飞轮以角速度w0绕轴旋转，飞轮对轴的转动惯量为J1，另一静止飞轮突然被啮合到同一个轴上，该飞轮对轴的转动惯量为前者的两倍。啮合后整个系统的角速度w = .,(1/3)w0,利用J1wo=(J1+2J1)w,例5. 质量为m 的小孩站在半径为R、转动惯量为 J 的可以自由转动的水平平台边缘上 (平台可以无摩擦地
6、绕通过中心的竖直轴转动).平台和小孩开始时均静止. 当小孩突然以相对地面为 v 的速率沿台边缘逆时针走动时,则此平台相对地面旋转的角速度 为,0=mRv+Jw,w =- mRv/J,以逆时针方向为转动正方向,顺时针方向,人沿台边缘行走一周，所花时间？,有一转台，质量为M半径为R可绕光滑竖直中心轴转动，初始角速度为 一质量为m的人站在转台中心。若人相对转台以恒定速率u沿半径向边缘走去，求人走了时间t后，转台的角速度 及转过的角度,习题指导P35 例5,1.两个均质圆盘 A 和 B 的密度分别为 A和 B，若 A B ，但两圆盘的质量与厚度相同，如两盘对通过盘心垂直于盘面轴的转动惯量各为 JA和
7、JB，则,（A）JAJB,（B）JBJA,（C）JA=JB,（D）JA、JB哪个大，不能确定。, B ,课堂练习,2.均匀细棒 oA 可绕通过其一端 o 而与棒垂直的水平固定光滑轴转动,如图所示.今使棒从水平位置由静止开始自由下落,在棒摆动到竖直位置的过程中,下列情况哪一种说法是正确的?,(D) 角速度从大到小,角加速度从小到大.,(C) 角速度从大到小,角加速度从大到小.,(B) 角速度从小到大,角加速度从小到大.,(A) 角速度从小到大,角加速度从大到小., A ,3.一圆盘绕过盘心且与盘面垂直的轴 o 以角速度 w 按图示方向转动,若如图所示的情况那样,将两个大小相等方向相反但不在同一条
8、直线的力 F 沿盘面同时作用到盘上,则盘的角速度 w, A ,（A）必然增大;（B）必然减少; （C）不会改变;（D）如何变化,不能确定。,作用在定轴转动的刚体上的两个力的合力为零，合力矩也一定为零，总功一定为零。,5.光滑的水平桌面上, 有一长为 2L、质量为 m 的匀质细杆,可绕过其中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴自由转动,其转动惯量为 mL2/3, 起初杆静止,桌面上有两个质量均为 m 的小球,各自在垂直于杆的方向上,正对着杆的一端,以相同速率 v 相向运动,当两个小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后,与杆粘在一起转动,则这一系统碰撞后的转动角速度应为:,（D）, C ,（A）,（B
9、）,（C）,以顺时针为转动正方向,两小球与细杆组成的系统对竖直固定轴角动量守恒,由 Lmv+Lmv=2mL2w+Jw,J= mL2/3,及,可知正确答案为,6.如图所示,一均匀细杆长为 l ,质量为 m,平放在摩擦系数为 m 的水平桌面上,设开始时杆以角速度 w0 绕过中心 o 且垂直与桌面的轴转动,试求:,（1）作用在杆的摩擦力矩; （2）经过多长时间杆才会停止转动。,7.以 30Nm 的恒力矩作用在有固定轴的飞轮上,在 10s 内飞轮的转速由零增大到5rad/s , 此时移去该力矩,飞轮因摩擦力距的作用经 90s 而停止,试计算此飞轮对其固定轴的转动惯量。,解：,例6.一轻绳绕过一定滑轮,
10、滑轮轴光滑,滑轮的质量为 M/4,均匀分布在其边缘上,绳子 A 端有一质量为 M的人抓住了绳端,而在绳的另一端 B 系了一质量为 M /4 的重物,如图。已知滑轮对 o 轴的转动惯量 J=MR2/4 ,设人从静止开始以相对绳匀速向上爬时,绳与滑轮间无相对滑动,求 B 端重物上升的加速度？,a人=aB=a,初始：,令,末态：,则：,(1),解：杆+地球系统， 只有重力作功， E守恒。,由平行轴定理,(2),由（1）、（2）得,练习1.一轻绳跨过两个质量为 m、半径为 r 的均匀圆盘状定滑轮,绳的两端分别挂着质量为 2m 和 m 的重物,如图所示,绳与滑轮间无相对滑动,滑轮轴光滑,两个定滑轮的转动惯量均为 mr2/2, 将由两个定滑轮以及质量为 2m 和 m 的重物组成的系统从静止释放,求重物的加速度和两滑轮之间绳内的张力。,例4.转动着的飞轮的转动惯量为J，在t=0时角速度为w0。此后飞轮经历制动过程，阻力矩M的大小与角速度w的平方成正比，比例系数为k（k为大于0的常数），当w=(1/3)w0时，飞轮的 角加速度a= ，,从开始制动到w=(1/3)w0所经过的时间t = .,由,得,由,分离变量并积分,
