1、12007 年全国初中数学竞赛试题班级 座号 姓名 成绩 一、选择题（共 5 题，每小题 6 分，共 30 分）1、方程组 的实数解的个数为（ ）12xyA1 B2 C3 D42、口袋中有 20 个球，其中白球 9 个，红球 5 个，黑球 6 个。现从中任取 10 个球，使得白球不少于 2 个但不多于 8 个，红球不少于 2 个，黑球不多于 3 个，那么上述取法的种数是（ ）A14 B16 C18 D203、已知 a、b、c 是三个互不相等的实数，且三个关于 x 的一元二次方程恰有一个公共实数根，则2220,0,0xxcaxb的值为（ ）bcaA0 B1 C2 D34、已知ABC 为锐角三角形
2、，O 经过点 B，C ，且 AB、AC 分别相交于点D、E，若 O 的半径与ADE 的外接圆的半径相等，则O 一定经过ABC 的（ ）A内心 B外心 C重心 D垂心5、方程 的整数解（x，y）的个数是（ ）323652xA0 B1 C3 D无穷多二、填空题（共 5 小题，每小题 6 分，满分 30 分）6、如图，点 A、C 都在函数 的图象上，点 B、D 都在 x 轴上，(0)yx且使得OAB，BCD 都是等边三角形，则点 D 的坐标为 .7、如图，在直角三角形 ABC 中，ACB =90，CA= 4，点 P 是半圆弧 AC的中点，连接 BP，线段 BP 把图形 APCB（指半圆和三角形 AB
3、C 组成的图2形）分成两部分，则这两部分面积之差的绝对值是 .8、如图，ABCDE FG = n90，则 n = .9、已知点 A，B 的坐标分别为（1，0） ， （2，0） ，若二次函数的图象与线段 AB 只有一个交点，则 a 的取值范围是 .2(3)yxa10、已知对于任意正整数 n，都有 312,na则 .23101三、解答题（共 4 题，每题 15 分，满分 60 分）11、已知抛物线 C1： 和抛物线 C2： 相交于234yx234yxA，B 两点。点 P 在抛物线 C1 上，且位于点 A 和点 B 之间；点 Q 在抛物线 C2 上，也位于点 A 和点 B 之间。（1）求线段 AB
4、的长；（2）当 PQy 轴时，求 PQ 长度的最大值。312、已知 a，b 都是正整数，试问关于 x 的方程 是否有21()0abx两个整数解？如果有，请把它们求出来；如果没有，请给出证明。413、如图，点 E，F 分别在四边形 ABCD 的边 AD，BC 的延长线上，且满足. 若 CD，FE 的延长线相交于点 G，DEG 的外接圆与CFGDACB的外接圆的另一个交点为点 P，连接 PA，PB，PC，PD。求证：（1） ； （2）PABPDC.P514、 （1）是否存在正整数 m，n，使得 (2)(1)?n（2）设 k（k3）是给定的正整数，是否存在正整数 m，n，使得()(1)?678910111213
