1、习题解答封面习题解答封面研究生应用数学丛书矩阵论及应用课程辅导制作人 刘慧 罗发来前前言言此习题解答分两部分,第一部分 (从第 4页到第 58页 )为各章习题题目;第二部分 (从第 59页到第 199页 )为各章相应习题的解答.第三部分是工程例题.目录中建立有链接,当运行幻灯片时,若单击其中带有下划线的蓝色文字,幻灯片就会跳到相应章节的习题题目处.若单击习题题目前的题号链接,就会跳出相应习题的解答. 左、右上角的动作按钮分别表示返回目录、跳到最后一页.左、右下角的动作按钮表示放映上一页、下一页.目录第1章 线性空间与线性变换 (4)第2章 矩阵的相似及应用 (14)第3章 范数理论及其应用 (
2、24)第4章 矩阵分析及矩阵函数 (30)第5章 矩阵分解 (40)第6章 广义逆矩阵 (48)第7章 工程中矩阵应用实例 (200)1.验证以下集合对指定运算是否构成线性空间 .全体实数的二元数列,对于如下定义的加法 和 数乘运算(1)11 2 2 1 21 2 12(,) (, ) ( , )ab ab a ab b aa =+ +k2111 1 1(1)(,) ( , )2kk aab kakb=+(2)设 是一切正实数集合,定义如下加法和数乘运算:R+第一章第一章线性空间与线性变换线性空间与线性变换, kaa=abab =k其中 .,ab R k R+(3)平面上不平行于某一向量的全体
3、向量所组成的集合, 对于向量的加法和数与向量的乘法.(4)设A是n阶实数矩阵,A的实系数多项式f(A)的全体对于矩阵的加法和数乘.2.求下列线性空间的维数和一个基.(1)全体n阶实上(下)三角矩阵形成的实数域上的线性空间.(2)全体n阶实对称(反对称)矩阵形成的实数域上的线性空间.(3)第1题(2)中的线性空间.3.(MATLAB) Ax=0的解空间.其中21033101 54A =4.如果 ,并且 .证明:1230cc c +=130cc (, ) (,)L L =5.设 分别是齐次线性方程组与 的解空间,12,VV12. 0nxx x+ +=12.nxx x= =证明 . 12nVV R
4、=6.在立体几何中,所有自原点引出的向量添上零向量构成一个三维线性空间 .3R(1)问所有终点都在平面上的向量是否为子空间.(2)设有过原点的三条直线,这三条直线上的全部向量分别构成三个子空间 .问123,LLL12123,L LL L L+ +能构成哪些类型的子空间,试全部举出.7.(MATLAB)求由下列向量 生成的子空间和由下列向量 生成的子空间的交与和空间的基与维数. ii12(1, 2,1, 0)( 1,1,1,1)TT=12(2, 1,0,1)(1, 1, 3, 7)TT=(1)123(1,2,1,2)(3,1,1,1)(1,0,1,1)TTT= 12(2,5,6,5)(1,2,7
5、,3)TT= (2)8.判断下面定义的变换哪些是线性的,哪些不是?(1)在线性空间 V 中, ,其中 是一个固定向量;Ta = +aV(2)在 中, ; 3R22123 1 2 33(, , ) ( , , )Tx x x x x x x=+(3)在实函数线性空间 Rx中, Tf(x)=f(x+1).9.已知在 中线性变换T在下的矩阵为:3R12(1,1,1), (1,0,1)TT= = 3(0,1,1)T =101110121A = 求在基 下的矩阵.123(1,0,0) , (0,1,0) , (0,0,1)TTTeee=在基 下的矩阵 ,其中*1234 ,S =10.设 是四维线性空间
6、V的一个基,已知线性变换 T在这个基下的矩阵为1234 ,S =1021121312552212A = 11 24223433444232 = += =+=;(1)T的核与值域;(2)在 T的核中选一个基,把他扩充成 V的基,并求出 T在这个基下的矩阵;(3)在 T的值域中选一个基,把他扩充成 V的基,并求出 T在这个基下的矩阵;11.在 Pt中,T,Q是两个线性变换,并且满足:,证明TQ-QT=E.() (), () ()Tf t f tQf ttf t=12.在中 ,设 , 定义实数2R12(, )T =12(, )T =11 1 2 1 2(, ) ( )( ) = + 判断 是否为中的
7、与的内积.(, ) 2R13.用Schmidt正交化方法,将内积空间 V的给定子集S 正交化,再找出 V的标准正交基,并求出 在标准正交基 下的坐标: V= , 4R(3,1,1, 3)T = .(1, 2, 2, 1) , (1,1, 5, 3) , (3, 2, 8, 7) TT TS = ,14.用向量生成子空间V,求V的12 3(1,0,2,1) , (2,1,2,3) , (0,1, 2,1)TT T=正交补空间 .V15.(MATLAB)将以下向量组正交化.(1) ;12 3(1,1,1) , (1,1,0) , (1, 1,2)TT Txx x=(2) 是0,1上的多项式空间的基
8、,并且定义2() 1, () , ()ft gt tht t=10(,)f g fgdt=.第二章第二章矩阵的相似及应用矩阵的相似及应用向量,已知 T 在一个基下的矩阵是 A.3452(1)A=00aa(2)A=11 1 111 1 111111111 (3)A=(4)A=56 310 112 11.求复数域上线性空间 V的线性变换 T 的特征值与特征2.在第1题中哪些变换得矩阵可以在适当的基变换下变成对角形?在可以化为对角形的情况,写出相应的过渡001010100(5)A=021203130(6)A=(7)A=31 0410482P,并计算 .1PAP3.关于特征值和特征向量有以下命题,试证
9、之:的特征值 ,对应的特征向量 仍然是 .,m (2)若 是A的一个特征值,mkA A为对应的特征向量 ,则分别是4.设 A是一个 n阶矩阵 ,且 ,证明A的特征值只能是0或1.2A A=(1)方阵 A与 有相同的特征多项式,因而有相同的特征值;TA(3)则 是 的特征值 ,对应的特征向量仍然是1(0)1A.5.(MATLAB)已知 ,计算A的特征多项式、特征值、特征向量并且将A对角化.142034043A=6.化下列 -矩阵化为Smith标准形.322253 +(1)22000000(1)+(2)(3)22000000(1)+222200 000 00( 1) 0 0000(4)(5)230
10、14360 2206 2010 100331 220 0 + 7.求下列 -矩阵的不变因子. (1)21002100 210 00100 1543 2+(2)10000000 +(3)001 201 20120020 00+(4)8.求出下列矩阵的特征向量和广义特征向量,并写出它的Jordan标准形.下列 -矩阵的不变因子.(1)13 16 16576687A= 452221111A= (2)9.把下面矩阵 A对应的 -矩阵化为Smith标准形,并且写出与A相似的Jordan标准形.(2)421043 731 7112336224(1)10.(MATLAB)求解微分方程:113212 3313
11、383625dxxxdtdxxx xdtdxxxdt=+=+= 10201101011.设矩阵 A=,试计算 .854223 4A AAA I +432 1(5668)AAAAI+13.设矩阵 ,试计算2113A=.12.证明 :任意可逆矩阵 A的逆矩阵 可以表示为 A的多项式.1AA的二次式 .14.已知 3阶矩阵 A的三个特征值是 1,-1,2,试将2nA表示成15.求下列矩阵得最小多项式.31 102 011 1A=(1)111nnnI=(2)111111111A=(3)012310 3223 0 13210aaaaaa aaAaaa aaaaa=(4)第三章第三章范数理论及其应用范数理
12、论及其应用1.证明定理3.1.1和定理3.1.2.(1)证明函数12221| | ( | | )nkkxx=是范数 .12| | max| |,| |,.,| |nxxxx=(2)证明函数 是范数 .2.设241,14xRA=,请画出由不等式决定的 x的全| | 1Ax 体所对应的几何图形.3.在平面 中将一个棍子的一端放在原点 ,另一端放在 ,将棍子旋转2R(0,1)T/4度量意义下棍子的长度 :,求在下列(1)1-范数 ;(2)-范数 ; (3) -范数 .4.定义函数 ,其中 p是正整数 ,证明 是向量范数 ,此范 数称为 p-范数.112| | (| | | | . | | )ppp
13、ppnxxx x=+| |px5.求矩阵 的 1-矩阵 ,2-矩阵 , -范数 ,F-范数 .2112A=6.证明定理 3.2.3的 (2)和 (3).(1)这里只证明 成立 .122| | max( ( )HA AA=7.设 A是的矩阵 ,证明 :nn(1) ;1| | | | | |FA AnAn(2) .111| | | | | |FA AnAn8.设可逆方阵 是 上的向量范数 , 是 中从属于向量范数 的矩阵范数,试导2,| | | |nnBB Rx Bx=nR| |BAnnR| |Bx出 与矩阵的2-范数之间的关系.| |Bx9.设 ,定义线性变换 T(x)=Ax. (1)2-范数的
14、意义下画出单位圆的像 ;(2)计算 ;(3)在 2-范数的意义下计算 和 之间的距离 ,以及和 之间的距离 .1021A=2| |A112211T22T10.设 ,且对 中的某种矩阵范数 有 ,则矩阵 I-A非奇异 ,且 .nnARnnR| | | 1A 1| | ( ) |1| |IIAA11.设 是非奇异矩阵 ,假定 AX=b.nnAR(1)若 Ay=c,证明 .| | | |()| | | |xy bccond Axb (2)若通过计算得到 ,其误差为 ,xrbAx=证明 ,并解释你的结果 .| | | |()| | | |xx rcond Axb12.设 ,且 T(x)=Ax,请问在 中满足下列条件之一得向量 x和 y的位置是怎样的 ?22A R2R(1) ;22 2| ( ) ( ) | | | | |Tx Ty A x y= (2) .222| () ()| | |()| ()| | |Tx Ty x ycond ALx x=10sinlimtttttet+(2)第四章第四章矩阵分析及矩阵函数矩阵分析及矩阵函数1.计算极限(1)111limkkkkkkke+2.证明 :假如 是 矩阵 ,对于所有的 k都有 :, ,试证明 .,kkA B mnlimkkA A=limkkBB=limkkkA BAB+ =+3.令是收敛到 A的矩阵序列 .假如 A是一个非12,AA
