1、.习题三1证明下列问题：（1）若矩阵序列 收敛于 ，则 收敛于 ， 收敛于 ；mATmATmA（2）若方阵级数 收敛，则 .0c00)(Tcc证明：（1）设矩阵 ,21,)(aAnmij则 ,)(njiTm,)(nijm,设 ,)(nijaA则，njiT)(,)(nij若矩阵序列 收敛于 ，即对任意的 ，有mA21,，ijmija)(l则 ， ， ，jimjia)(l ijij)(l n,21,故 收敛于 ， 收敛于 .TmATA(2)设方阵级数 的部分和序列为0mc， ,21mS其中 .mmAccS10.若 收敛，设其和为 ，即0mAcS，或 ，Acm0 Smli则.TSli而级数 的部分和
2、即为 ，故级数 收敛，且其和为 ，0)(mTAcTm0)(mTAcTS即.00)(mTTmcAc2.已知方阵序列 收敛于 ，且 ， 都存在，证明：1（1） ；（2） .Amlilim证明：设矩阵 ,21,)(anij ,)(nijaA若矩阵序列 收敛于 ，即对任意的 ，有mAji.ijmij)(l(1) 由于对任意的 ，有njj,21，,li)(kkjmjan,21故 ，n nnj jjjm 2121 )()(2)(li n nnj jjja 21 2121)(而，n nnj mjjjmaA 2121 )()()(.,n nnj jjjaA 21 2121)(故.Amli(2) 因为， .ni
3、jmA)(1nij)(1其中 ， 分别为矩阵 与 的代数余子式.)(mijij与（1）类似可证明对任意的 ，有nji,21,，ijmijA)(l结合，mli有 ，nijmA)(1li nij)(1即.1li3.设函数矩阵，3201sinco)(tettAt其中 ，计算 .0t ),(,lim0tdtt),(2,Adt)(t解：根据函数矩阵的极限与导数的概念与计算方法，有.（1） ；01lim0li1lisnmlicoslili)(li 3020000 tetttAttttttt（2） ； 2232 30sinco1i)(01)sin()(cos) tetttettdt（3） ；tettttAd
4、tdt 6002cos2sin)()()22（4） )(td3201sincotettt )2cos(in)sico(1)cos(isi332 tttttte （5） )(tAd2230initett.)sico(si3co2ttet 4设函数矩阵，032)(2xeAx计算 和 .10)(dxA20)(xdt.解：根据函数矩阵积分变限积分函数的导数的概念与计算方法，有（1） 0)(dxA0321010102102dxex；023113)(22e（2） .20)(xdtA)(x0324exx5.设 为 阶常数对称矩阵，,)(,)(,(21TntytyA，证明：AfT)(（1） ；dtytfT（2
5、） .2证明：（1） yAyAtf TTT)( yATT)(，dt（2） .ydtytT2)(26.证明关于迹的下列公式：（1） ；XtrXtrTT)()(（2） ；BdBd（3） .AtrTT)()(.其中 .mijmnijnmij aAbBxX)(,)()(证明：（1）因为，injiTTxXtrtr12)()(而，ijminjij xx2)(1故 XtrdXtrdTT)()(（2）因为，nmkjixbB)(1则，njmkjTxXtrt 1)()(而，jinjmkji bxx)(1故.TTBXtrdBtrdX)()(3) 因为 ,212121mnnmTxx . mkknmkkmk kknkk
6、k mmmk xaxaxaxaAX1121 121212 111 故 )()()()( 1ln111 mlknlmlkjlljmlkllT xaxxaAXtr 则 )()(1mlkjlljijTij xaxtrx )(111 mkjlijlkjlijll xamlljikjixa11故 .XAAXtrdXTTT )()( 7证明：，TTTdbaba)(其中 为向量函数.)(,ba证明：设 TmTm XbXbXaX )(,)(,(),(,)(,() 2121 ，则.，miiTXbaXba1)()(故它是 的数量函数，设X，)()(fT有 ),()(21nT xffxbadX mi niiinim
7、i iiii xXbabXaXbax11 1 )()(,)( iinimiiiiii xxba1121 )(,)(,)( )(,)(,)( 1121 miniiimii XbaXbaX.TTdbab8.在 中将向量 表示成平面直角坐标系 中的点 ，2Rx),(21 21,xTx),(21分别画出下列不等式决定的向量 全体所对应的几何图形：Tx),(21(1) (2) (3) .,1x，2x解：根据，,21,1212x1,max21作图如下：.9.证明对任何 ，总有nCyx,.)(2122yxxT证明：因为yyx TTT )(2 yxyx2故 yxT)(12210.证明：对任意的 ，有nC.12
8、xx证明：设 ，则Tnx),(21nnxx 212221,ma由于，221221221 )(),(max nnn x故，212xx即.1211.设 是正实数，证明：对任意 ，na，,21 nTCxX),(21，211niixaX.是 中的向量范数.nC证明：因为（1） 且 ；,0211niixaX0X（2） ；Xkxakxakkniiniinii 2112112112（3）对于 ，nTnCyY),(21，TnyxxX),(21则 21212122 )(YXayxaYXniiniiniii 故.YX因此 是 中的向量范数.211niixaXnC12.证明： ijnjiaA,1mx是矩阵 的范数，
9、并且与向量的 1范数是相容的.nijaA)(证明:因为(1) ,且 ;0mx,1ijnji O0(2) ;Akakakijnjiijji,1, x(3) BbbBAijniijjiijijnji ,1,1 max.(4)设 ,则TnxX),(21，Tnjjnjjj xaxaA),(1121故 njjnjjnjj xxX111njjjnjjjnjjj xaaa 111211 mmx11,1XAnjjiji因此 是与向量的 1范数相容的矩阵范数.ijnjiaA,1mx13.设 ，且 可逆，证明：C.11A证明:由于, ,I1则,11AI故.1114.设 ，且 证明： 可逆，而且有nCA,I（1）
10、；AI1)(.（2） .AII1)(证明:(1)由于,AII11)()(故,IIAI 111 )()()( 即 .A1(2)因为,I)(两边右乘 ,可得1)(AI,11)()(AII左乘 ,整理得 ,11)()(II则，111 )()()( AIAIAI即 .115.设 证明：ClkBAn,（1） ，特别地 ;Alkle)(Ae1)(（2）当 时， ；BB（3） ；eedtAttA.（4）当 时， .BA BAsincosin)si(证明:(1) 00)( )(!1!)(nmmnnnAlk lkCle 00 )(!)(1)()!( l lmml ll AklA.lAkllml l ekkA 0
11、00 )(!)(!1!1又因为,AAOeeI)(故.A1)(2)当 时,二项式公式BAnmmBC0)(成立，故 00!1)(!1nmmnnBA Ae 00 !1)!(lmlml ll BBCAmll eA00!1!同理，有 ,ABllmBA ee00!1!故.BABAee(3)由于幂级数 对给定的矩阵 ,以及任意的 都是绝对收敛的,且0!1nnt t对任意的 都是一致收敛的,因此科可对此幂级数逐项求导 ,则t,AllnnAt ettAtdte 010 !)!(!同理，有 eltetAlA0!故.dtAttA(4) 因为432!1!1iiIeiA )!51()4( 3 AAisnco故.)(21
12、iiAie又当 时，BA,BABAe则 iiiBAi ee2121)sin( )()( )sin)(cosin(co)sincosinco BABi s同理，可得 Asicsi)si(.16.求下列三类矩阵的矩阵函数 2,sincoAe（1）当 为幂等矩阵( )时；A2（2）当 为对合矩阵( )时；I（3）当 为幂零矩阵( )时.O2解:(1) ,设矩阵 的秩为 ,则 的特征值为 1 或 0, 可对角化为2rAA,JIP1则 11 01sinsisini PPJA，AJ)1(sin)1(sin11coscos PPJA 11 01coscos1 PPP AIJI )1(cos)1(cos.11
13、22 PePeJA 11 011 PePP AeIJeI)1()1(2) 当 时，矩阵 也可对角化, 的特征值为 1 或 , 可对角化为A2 A,JP 11 其中 1 有 个.m则 11 sin1siinsisini PPJAAJ)1(sin)1(sin.11 cos1scoscos PPJA I)(cseIPePeJA 1122 (3)当 时, 的特征值均为 0,则存在可逆矩阵 ,使得O2,11,PJA其中 ,mJJ1又 ,则OA2,OPJA12于是 JJm221故 Jordan 块 的阶数最多为 2,不妨设kJ, ,0k),1(r BJk01),1(rk.即 BJ 0则, ;1kiJeki
14、J),1(r, .0kiJ 0ikiJ ,m故0 ,kkiJie),1(r,BiekkiJi 2),m则,kkiJie),1(r,IekkiJi 20,m因此,JiBieiJi 21021.,IeiJi 22所以,APJiePieiAiJiiA 11)2()(21)(21sin,Iiiii co.IeOA217.若矩阵 的特征值的实部全为负，则A.ttlim证明: 设 的特征值为 ,则存在可逆矩阵 ,使0,1,iiii ajba P得,11,PJA其中 ,mJJ1 inii 1则,1121 PeePe tJtJtJtAt m.其中 ttt tintttJ eeeteii 111 11 )!(
15、又,)sin(colimlilimtbjteitatjbtatt iiii 且 ,故 ，因此 ,则 .0ia0ti OeJti eAttl18计算 和 ，其中：Atesin（1） ；102（2） ；A（3） .610解:(1)设 ,则,21J.21JA由于, ,tJtAte2 tJtt2sinisin且., ,tttJee02 ttJsinco0sin2则, .tttAt ee02 tttAtsinco00isin(2)该矩阵的特征多项式为 ,10)(3最小多项式为 .3)(m19.计算下列矩阵函数：（1） ，求 ；213A10A（2） ，求 ；735946Ae（3） ，求 ；10A4arcs
16、in（4） ，求 及4861)(AI220证明:， ，I22cossinAiIe2其中 为任意方阵.A证明:(1) 因为, ,)(21siiAie)(21csiAie.故,)2(41)(41sin222 IeeAiAiiAi ,coiiAii则.I22cossin(2)因为矩阵 的特征值均为 ,故存在可逆矩阵 ,使得iI2PIPePeiiiI 112 则 AiIAiI e2221.若 为反实对称（反 Hermite）矩阵，则 为实正交（酉）矩阵 .A证明: 因为,又 .0!kAenknkA0*0!)(!故.*)(Ae当 为反实对称,即 时, AT,IeOAAAT)(故 为实正交矩阵;Ae当 为
17、反 Hermite 矩阵,即 时,*,IeeeOAAA)(故 为酉矩阵.Ae22.若 为 Hermite 矩阵，则 是酉矩阵，并说明当 时此结论的意义.Aie1n.证明:因为 ,故A*,AiiAiee*)(则,IAiAii*)(故 是酉矩阵.Aie当 为一阶 Hermite 矩阵时, 为一实数,设 ,则上述命题为a1aie23.将下列矩阵函数表示成矩阵幂级数，并说明对 的限制：A（1） ， （2） ， （3）shA)ln(Iarctn解：(1) , ;012)!(nnAC(2) , ;14)l(nnI (3) , .112)(arctnnAA24设 ，证明：C（1） ， （2） .)(AtreAe证明:(1)设 ,其中 为若当标准形，则11,PJ,1121 PeeemJJJA.其中 ,11eeiJ则 mJJJJA eePe211.trAJJ nm 121(2)设 ，则NkAS0!，NkkNkkN A000 !1!因为 ，对上式两边取极限，得0!kAe.AkkAee0!125设 ，且 可逆，若 是 的任一特征值，则nCA.221A证明:因为,2)(故 .2A.又对任意的 ,有nCX,21212AXAI所以.221X设 是矩阵 的特征值 对应的特征向量,即 ,则AA,22221故有.21A因此.221
