1、武陟县实验中学教育集团群体智慧教学活动案学 科 数学 年 级 九 设计者 田志东 授课人：刘小娟时 间 9.22 课 题 22.3 实际问题与二次函数 (第一课时) 计划学时 1重 点1、让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题。 2、如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。课 标要 求通过对”矩形面积 ”实际问题的探究，让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。课 时目 标1.学生能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系2.学生会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。引 桥突 破 根据实际问题构建二次函数模型，并
2、用二次函数性质进行决策。教 法 引导、启发式教学学 法 自主学习、合作探索教学内容及过程 群体智慧设计 个性化批注一、复习巩固。1. 二次函数 y=2(x-3)2+5 的对称轴是 ，顶点坐标是 .当 x= 时，y 的最 值是 .2. 二次函数 y=-3(x+4)2-1 的对称轴是 ，顶点坐标是 .当 x= 时，函数有最_ 值，是 . 3.二次函数 y=2x2-8x+9 的对称轴是 ，顶点坐标是 .当 x= 时，函数有最_值，是_ .4.二次函数 的对称轴是 ，顶点坐标是 .当 x= 时，函数有最_值，是 二、激趣导入：从地面竖直向上抛出一个小球，小球的上升高度 h（单位 m）与小球运动时间t（
3、单位：s）的关系式是 h=30t-5t2小球运动的时间是多少时，小球最高？小球复习二次函数的性质。从生活中的实际问题激趣导入，提出疑问，激发学生探究新知的兴趣。2(0)yaxbc运动中的最大高度是少？三 感知求疑请同学们认真看书 49 页的内容，并思考书中提出的问题分析： 首先理解题意，先把实际问题转化成数学问题后，知道解此题就是求出h=30t-5t2 的顶点坐标即可解答： 解：h=-5t 2+30t，=-5（t 2-6t+9）+45 ，=-5（t-3） 2+45，a=-50， 图象的开口向下，有最大值，当 t=3 时，h 最大值 =45故答案为：3；45结论：一般地，当 时，因为抛物线 y=
4、ax2+bx+c 的顶点是最低（高）点，所以当 时，二次函数 y=ax2+bx+c 有最小（大）值 . 四、探究内化：问题：用总长为 60m 的篱笆围成矩形场地，矩形面积 S 随矩形一边长 L 的变化而变化。当 L 是多少时，场地 S 最大？分析：先写出 S 与 L 的函数关系式，再求出使 S 最大的 L 值。矩形场地的周长是 60m，一边长为 L，则另一边长为 ,场地面积 S= .化简得 s= 解决这类题目的一般步骤（1）列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；自主学习，探究知识。学以致用，通过四个练习题目，灵活运用二次函数的相关知识解决问题。小结方法步骤lsO
5、5 1010020015 20 25 30（2）在自变量的取值范围内，运用公式法或通过配方求出二次函数的最大值或最小值.五、拓展创新如图，在一面靠墙的空地上用长为 24 米的篱笆，围成中间隔有二道篱笆的长方形花圃，设花圃的宽 AB 为 x 米，面积为 S 平方米.(1)求 S 与 x 的函数关系式及自变量的取值范围；(2)当 x 取何值时所围成的花圃面积最大，最大值是多少？(3)若墙的最大可用长度为 8 米，求围成花圃的最大面积. AB CD解：(1) AB 为 x 米，篱笆长为 24 米 花圃宽为（244x）米 Sx（244x）4x 224 x （0x6） 平 方 米时 ， 有 最 大 值解
6、 ： 当 36423abcyab(3)解： 墙的可用长度为 8 米 0244x 8 即 4x6当 x4cm 时，S 最大值32 平方米六、课堂练习1.完成课本 p52 练习第 3、4、5 题2 （2010包头中考）将一条长为 20cm 的铁丝剪成两段，并以每一段铁丝的长度为周长各做成一个正方形，则这两个正方形面积之和的最小值是 cm2七、小结1.主要学习了如何将实际问题转化为数学问题，特别是如何利用二次函数的有关性质解决实际问题的方法.2.利用二次函数解决实际问题时，根据几何图形的面积关系写出二次函数表达式是解决问题的关键.拓展延伸，打开学生思维，学会逆向思考。运用新知，巩固练习。小结本节课学
7、习的收获。教学反思本节课的重点是求二次函数的最大值问题，我将二次函数的应用教学分为四个层次：第一根据题意列函数关系式;第二在此基础上感受其图像上的点与实际意义的对应；第三分析问题的特定意义，第四研究问题发展规律和变化趋势。教学中逐步引导学生用数形结合的思想来分析和解决问题，收到了良好的效果。武陟县实验中学教育集团群体智慧教学活动案学 科 数学 年 级 九 设计者 田志东 授课人：刘小娟时 间 9.23 课 题 22.3 实际问题与二次函数 (第二课时) 计划学时 1重 点 探究利用二次函数的最大值（或最小值）解决实际问题的方法课 标要 求再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建
8、模思想，培养学生解决实际问题的能力课 时目 标能够分析和表示实际问题中，变量之间的二次函数关系，并运用二次函数的顶点坐标求出实际问题的最大（小）值引 桥突 破 根据实际问题构建二次函数模型，并用二次函数性质进行决策。教 法 引导、启发式教学学 法 自主学习、合作探索教学内容及过程 群体智慧设计 个性化批注一、复习二次函数解决实际问题的方法 解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？归纳：1） 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值 2） 列出二次
9、函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；3） 在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值. 二、激趣导入 复习用二次函数解决实际问题的方法。从生活中的实abxabcy42问题.已知某商品的进价为每件 40 元。现在的售价是每件 60 元，每星期可卖出 300 件。市场调查反映：如调整价格 ，每涨价一元，每星期要少卖出 10 件；每降价一元，每星期可多卖出 20 件。如何定价才能使利润最大？ 三 感知求疑请同学们认真看书 50 页的内容，并思考书中提出的问 。四 探究内化解：(1)设每件涨价为 x 元时获得的总利润为 y 元.y =(60-40+x)(300-10x)
10、=(20+x)(300-10 x)=-10x2+100x+6000=-10(x2-10x ) +6000=-10(x-5) 2-25 +6000=-10(x-5)2+6250 (0x30) 怎样确定 x 的取值范围当 x=5 时，y 的最大值是 6250.定价:60+5=65 （元）(2)设每件降价 x 元时的总利润为 y 元 y=(60-40-x)(300+20x)=(20-x)(300+20x)=-20x2+100x+6000=-20（x 2-5x-300）=-20（x-2.5） 2+6125 （0x20）当 X=2.5 时，Y 的最大值为 6125定价为 60-2.5=57.5 时利润最
11、大,最大值为 6125 元由 (1)(2)的讨论及现在的销售情况 ,你知道应该如何定价能使利润最大了吗 ?答:综合以上两种情况，定价为 65 元时可获得最大利润为 6250 元.小试牛刀： 际问题激趣导入，提出疑问，激发学生探究新知的兴趣。自主学习，探究新知。探究内化，运用新知。某商店购进一批单价为 20 元的日用品,如果以单价 30 元销售,那么半个月内可以售出 400 件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高 1 元,销售量相应减少 20 件.售价提高多少元时,才能在半个月内获得最大利润?五 拓展创新日用品何时获得最大利润（1）某商店购进一批单价为 20 元的日用品,
12、如果以单价 30 元销售,那么半个月内可以售出 400 件.根据销售经验,提高单价会导致销售量的减少,即销售单价每提高1 元,销售量相应减少 20 件.如何提高售价,才能在半个月内获得最大利润?纯牛奶何时利润最大（2）某商场销售某种品牌的纯牛奶,已知进价为每箱 40 元,生产厂家要求每箱售价在 40 元70 元之间.市场调查发现:若以每箱 50 元销售 ,平均每天可售出 90 箱,价格每降低 1 元,平均每天多销售 3 箱;价格每升高 1 元,平均每天少销售 3 箱.(1)写出售价 x(元/箱)与每天所得利润 Y(元)之间的函数关系式 ;（2）每箱定价多少元时,才能使平均每天的利润最大?最大利
13、润是多少?六、.归纳小结：运用二次函数的性质求实际问题的最大值和最小值的一般步骤 :（1）求出函数解析式和自变量的取值范围（2）配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值。（3）检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内 。学以致用，通过练习不同层次的题目，灵活运用二次函数的相关知识解决问题。小结解决此类问题的方法和步骤。教学反思二次是函数是函数中的重点、难点，它比较复杂，一般来说我们研究它是先研究其本身性质、图象，进而扩展到应用，它在现实中应用较广，我们在教学中要紧密结合实际，让学生学有所用，在教学中应注意以下几个问题： （一）把实际问题数学化。首先要深入了解实际问题的背
14、景，了解影响问题变化的主要因素，然后在舍弃问题中的非本质因素的基础上，应用有关知识把实际问题抽象成为数学问题，并进而解决它。 （二）函数的教学应注意自变量与函数之间的变化对应。函数问题是一个研究动态变化的问题，让学生理解动态变化中自变量与函数之间的变化对应，可能更有助于学生对函数的学习。 （三）二次函数的教学应注意数形结合。要把函数关系式与其图像结合起来学习，让学生感受到数和形结合分析解决问题的优势。 （四）建立二次函数模型。利用二次函数来解决实际问题，重在建立二次函数模型。但是在解决最值问题时得注意，有时理论上的最大值（或最小值）不是实际生活中的最值，得考虑实际意义。 武陟县实验中学教育集团
15、群体智慧教学活动案学 科 数学 年 级 九 设计者 田志东 授课人：刘小娟时 间 9.24 课 题 22.3 实际问题与二次函数 (第三课时) 计划学时 1重 点 用函数知识解决实际问题，感受数学建模思想。课 标要 求再次经历利用二次函数解决实际问题的过程，进一步体验数学建模思想，培养学生解决实际问题的能力。课 时目 标能够根据实际问题构建二次函数模型,并利用函数性质解决相关实际问题.引 桥突 破二次函数是单变量最优化问题的数学模型，如生活中涉及的求最大利润，最大面积等这体现了数学的实用性，是理论与实践结合的集中体现本节课主要研究建立坐标系解决实际问题教 法 引导、启发式教学学 法 自主学习、
16、合作探索教学内容及过程 群体智慧设计 个性化批注一、复习利用二次函数解决实际问题的方法解决上节课所讲的实际问题时，你用到了什么知识？所用知识在解决生活中问题时，还应注意哪些问题？归纳：(1) 由于抛物线 y = ax 2 + bx + c 的顶点是最低（高）点，当时，二次函数 y = ax 2 + bx + c 有最小（大） 值(2) 列出二次函数的解析式，并根据自变量的实际意义，确定自变量的取值范围；(3) 在自变量的取值范围内，求出二次函数的最大值或最小值.二 感知求疑请同学们认真看书 51 页的内容，并思考书中提出的问题。三、探究内化图中是抛物线形拱桥，当拱顶离水面 2 m 时，水面宽
17、4 m . 水面下降 1 m，水面宽度增加多少？（1）求宽度增加多少需要什么数据？（2）表示水面宽的线段的端点在哪条曲线上？（3）如何求这组数据？需要先求什么？（4）图中还知道什么？（5）怎样求抛物线对应的函数的解析式？复习用二次函数解决实际问题的方法。自主学习，探究新知。来源:学优高考网 gkstk从生活中的实际问题激趣导入，激发学生探究新知的兴趣。abxy42问题 1如何建立直角坐标系？问题 2解决本题的关键是什么？ 问题 3有一座抛物线形拱桥，正常水位时桥下水面宽度为 20 m，拱顶距离水面 4 m（1）如图所示的直角坐标系中，求出这条抛物线表示的函数的解析式；（2）设正常水位时桥下的水
18、深为 2 m，为保证过往船只顺利航行，桥下水面的宽度不得小于 18 m求水深超过多少 m 时就会影响过往船只在桥下顺利航行三、内化新知以小组为单位，建立不同的坐标系，解决探究三，比一下那一小组的解决方法最多并展示你的收获。四、小结本节课你有什么收获五、布置作业来源:学优高考网教科书习题 22.3 第 3 题找突破点。探究内化，运用新知。学以致用，通过练习建立不同的坐标系，灵活运用二次函数的相关知识解决问题。小结解决此类问题的方法和步骤。教学反思这节课我是采用先让学生按照学案的提示，自主预习课本，受到课本所给出的分析过程的思维限制，很容易把问题解决了，但没有放手让学生从不同角度去尝试建立坐标系，
19、体会各种情况下所建立的坐标系是否有利于点的表示，没有激发学生学习的热情，没有给予学生以启迪。用二次函数知识解决实际问题是本章学习的一大难点，遇到实际问题学生往往无从下手，学生在解题过程中遇到一个新的问题该如何去联想？联想什么？怎样联想？这与课堂教学过程中老师解题方法的讲授至关重要，老师在课堂教学过程中应如何引导学生判断、分析、归类。为此我在另一个班采取了以下的教学过程，突出以学生为主体，教师只是引导学生经历分析观察抽象概括发现新知解决新知的过程。为了让学生发现方法、领悟方法、运用方法，同时我特意给学生留有一定的思考和交流讨论的时间。OA C D Byx20 mh武陟县实验中学教育集团群体智慧教
20、学活动案学 科 数学 年 级 九 设计者：田志东 授课人：刘小娟来源:学优高考网时 间 9.26来源:gkstk.Com 课 题 22.3 实际问题与二次函数专题复习 计划学时 1重 点1、让学生通过解决问题，掌握如何应用二次函数来解决生活中的最值问题。 2、如何分析现实问题中数量关系，从中构建出二次函数模型，达到解决实际问题的目的。课 标要 求 让学生经历数学建模的基本过程，体会建立数学模型的思想。课 时目 标1.学生能够分析和表示实际问题中变量之间的二次函数关系2.学生会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值。引 桥突 破 根据实际问题构建二次函数模型，并用二次函数性质进行决策。教 法
21、引导、启发式教学学 法 自主学习、合作探索教学内容及过程 群体智慧设计个性 化批注一 复习解决关于函数实际问题的一般步骤（1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式.（2）研究自变量的取值范围. （3）研究所得的函数. （4）检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值.（5）解决提出的实际问题.二 例题解析1 喷泉与二次函数公园要建造圆形喷水池，在水池中央垂直于水面处安装一个柱子 OA，O 恰在水面中心，OA=1.25m，由柱子顶端 A 处的喷头向外喷水，水流在各个方向沿形状相同的抛物线落下，为使水流形状较为漂亮，要求设计成水流在离 OA 距离为 1m
22、处达到距水面最大高度 2.25m.如果不计其它因素，那么水池的半径至少要多少 m 才能使喷出的水流不致落到池外？解：建立如图所示的坐标系，根据题意得，A 点坐标为(0，1.25)，顶点 B 坐标为(1，2.25) 解决关于函数实际问题的一般步骤（1）先分析问题中的数量关系、变量和常量，列出函数关系式.（2）研究自变量的取值范围. 设抛物线为 y=a(x-h)2+k，由待定系数法可求得抛物线表达式为：y= (x-1)2+2.25.当 y=0 时,可求得点 C 的坐标为(2.5,0) ;同理，点 D 的坐标为(-2.5,0) .根据对称性，如果不计其它因素，那么水池的半径至少要 2.5m，才能使喷
23、出的水流不致落到池外. 2 跳水与抛物线某跳水运动员进行 10 米跳台跳水训练时,身体(看成一点)在空中的运动路线是经过原点 O 的一条抛物线.在跳某规定动作时,正常情况下,该运动员在空中的最高处距水面 32/3 米,入水处距池边的距离为 4 米,同时,运动员在距水面高度为 5 米以前,必须完成规定的翻腾动作,并调整好入水姿势,否则就会出现失误.(1)求这条抛物线的解析式；(2)在某次试跳中,测得运动员在空中运动路线是(1)中的抛物线,且运动员在空中调整好入水姿势时,距池边的水平距离为 18/5 米,问此次跳水会不会失误？并通过计算说明理由.3 跳绳与抛物线 平时我们在跳绳时,绳甩到最高处的形
24、状可以看为抛物线.如图所示,正在甩绳的甲乙两名学生拿绳的手间距为 4 米,距地面均为 1 米,学生丙丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1 米、2.5 米处,绳子到最高处时刚好通过他们的头顶.已知学生丙的身高是1.5 米,求学生丁的身高？4 最大利润问题（1）某商店经营 T 恤衫,已知成批购进时单价是 2.5 元.根据市场调查,销售量与销售单价满足如下关系:在某一时间内,单价是 13.5 元时,销售量是 500 件,而单价每降低 1 元,就可以多售出 200 件.请你帮助分析:销售单价是多少时,可以获利最多?涨价：（1）设每件涨价 x 元，则每星期售出商品的利润 y 也随之变化，我们先来确定 y
25、与 x 的函数关系式。涨价 x 元时则每星期少卖_件，实际卖出_件,销额为_元，买进商品需付_元因此，所得利润为_元（3）研究所得的函数. （4）检验 x 的取值是否在自变量的取值范围内、结果的合理性等，并求相关的值.解：设降价 x 元时利润最大，则每星期可多卖 18x 件，实际卖出（300+18x)件，销售额为(60-x)(300+18x)元，买进商品需付 40(300-10x)元，因此，得利润答：定价为 元时，利润最大，最大利润为 6050 元 （2）某商品现在的售价为每件 60 元，每星期可卖出 300 件，市场调查反映：每涨价 1 元，每星期少卖出 10 件；每降价 1 元，每星期可多
26、卖出 18 件，已知商品的进价为每件 40 元，如何定价才能使利润最大？ 题目中有几种调整价格的方法？ 题目涉及到哪些变量？哪一个量是自变量？哪些量随之发生了变化？5 最大面积问题在一个直角三角形的内部作一个矩形 ABCD，其中 AB 和 AD 分别在两直角边上.（1）如果设矩形的一边 AD=xcm,那么 AB 边的长度如何表示？（2）设矩形的面积为 ym2,当 x 取何值时,y 的最大值是多少?6 最多光线问题某建筑物的窗户如图所示,它的上半部是半圆,下半部是矩形,制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为 15m.当 x 等于多少时,窗户通过的光线最多(结果精确到0.01m)?此时,窗
27、户的面积是多少?7 随堂练习某产品每件成本 10 元，试销阶段每件产品的销售价 x（元）与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下:1. x(元) 2. 15 3. 20 4. 30 5. 6. y(件) 7. 25 8. 20 9. 10 10. 若日销售量 y 是销售价 x 的一次函数。（1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（2）要使每日的销售利润最大，每件产品的销售价应定为多少元？此时每日销售利润是多少元？2. 有一经销商，按市场价收购了一种活蟹 1000 千克，放养在塘内，此时市场价为每6018 18304183602 xx xxy(0x20) 6535352最 大
28、时 ，当 yab4:,0.3ABbcm解 设24yxx.30152.,152: 2abcya最 大 值时当或 用 公 式千克 30 元。据测算，此后每千克活蟹的市场价，每天可上升 1 元，但是，放养一天需各种费用支出 400 元，且平均每天还有 10 千克蟹死去，假定死蟹均于当天全部售出，售价都是每千克 20 元（放养期间蟹的重量不变）.设 x 天后每千克活蟹市场价为 P 元，写出 P 关于 x 的函数关系式.如果放养 x 天将活蟹一次性出售，并记 1000 千克蟹的销售总额为 Q 元，写出 Q 关于 x 的函数关系式。 该经销商将这批蟹放养多少天后出售，可获最大利润， （利润=销售总额-收购成本-费用）？最大利润是多少？教学反思二次函数的应用综合体现了二次函数的性质的应用，同时，这类综合题与其它学科的知识也有着密切的联系，要注意知识的整合.最大利润问题、最大面积问题、拱桥问题是实际生活中常见的问题，综合性强.学生容易出现错误的有. 错误问题 1：利用二次函数的性质或图象解决问题(如 3，4，5，6，8，9，10 题) 学生在此类问题上犯错，是对二次函数的性质及图象的理解还不够深入.对于此类学生，应加强学生对二次函数性质和图象的理解以及学生数形结合能力的培养， 培养学生思维的灵活性和深刻性.
