1、半导体物理学,理学院物理科学与技术系,第四章 半导体的导电性,4.1 载流子的漂移运动 迁移率 4.2 载流子的散射 4.3 迁移率与杂质浓度和温度的关系 4.4 电阻率及其与杂质浓度和温度的关系 4.5 玻尔兹曼方程,半导体与金属的区别,本章讨论载流子的运动规律，如外电场作用下的漂移运动。研究迁移率、电导率、电阻率随杂质浓度和温度变化的规律。,4.1 载流子的漂移运动 迁移率,1 欧姆定律的微分形式,2 漂移速度和迁移率,3 半导体的电导率和迁移率,N型P型本征半导体,1 载流子散射的概念,载流子热运动,4.2 载流子的散射,2 半导体的主要散射机构,（1）电离杂质的散射,（2）晶格振动的散
2、射,格波频率与波矢的关系,一定温度下，晶格中原子都在其平衡位置附近作微振动。分析证明，晶格中原子的振动都是由若干个不同的基本波动按照波的叠加原理组合而成，这些基本波动称为格波。,常用格波波数矢量q表示格波的波长及其传播方向。,一个原子每一个q具有三个格波，半导体原胞中大多含两个原子，对应每一个q就有6个格波。频率低的三支称为声学波，频率高的三支称为光学波。,声学波,声学波和光学波,从原子振动方式来看，无论声学波或光学波，原子位移方向和波传播方向之间的关系都是一个纵波两个横波。,2.对于声学波，原胞中两个原子沿同一方向振动，长波的声学波代表原胞质心的振动。对于光学波，原胞中两个原子的振动方向相反
3、，长波的光学波原胞质心不动。,3.在振动频率方面，长波范围内，声学波的频率和波数成正比，所以，长声学波可以近似被认为是弹性波。而长光学波的频率近似为常数，基本与波数无关。,频率为 的一个格波，它的能量是量子化的，只能是,因此，一个格波的能量是以 为单元，h是普朗克常数。当晶格和其他物质（如光子、电子）相互作用而交换能量时，晶格原子的振动状态就要发生变化，格波能量发生改变。但格波能量是量子化的，因此 被称为声子。能量增加或减少被称为吸收或发射了一个声子。,利用玻尔兹曼统计分布，可知温度为T 时，频率为 的格波的平均能量为：,平均声子数,电子和声子的碰撞也遵守准动量守恒和能量守恒。对散射后经常发生
4、的电子和晶格交换一个声子的所谓单声子过程来讲，设散射前电子波矢为k，能量为E，散射后变为k和E。,如散射角为 ，则按照矢量法则，得,如果散射前后，电子波矢的大小近似相等，即,设散射前后电子速度大小均为v，声子速度为u。有对长声学波来说，,对长声学波振动，声子的速度u很小，因而u/v是一个很小的量，所以 ，即散射前后电子能量基本不变，称为弹性散射。而光学波，声子能量较大，散射前后电子能量有较大改变，称为非弹性散射。,声学波散射,在能带具有单一极值的半导体中起主要散射作用的是长波，也就是波长比原子间距大很多倍的格波。室温下，电子热运动速度约为105cm/s，可估计电子波长约为108m。当电子和声子
5、相互作用时，根据准动量守恒，声子动量和电子动量具同数量级，即格波波长也应为108m。晶体中原子间距数量级为1010m，因而起主要散射作用的是长波。,长声学波，频率和波数成正比，即,常数C就是波速，实际上长声学波就是弹性波，即声波。,长声学波中，只有纵波在散射中起主要作用。在一个波长中，一半处于压缩状态，一半处于膨胀状态，这种体变表示原子间距的减小或增大。原子的禁带宽度随原子间距变化，破坏了周期场。,对具有单一极值、球形等能面的半导体，散射概率为,对硅、锗半导体， 电子有效质量。,光学波散射,在离子性半导体中，如硫化铅中，离子键占优势；砷化镓中，除共价键外，还有离子键成分，长纵光学波有重要的散射
6、作用。在硅、锗半导体中，温度不太低时，光学波也有相当的散射作用。,在离子晶体中，正负两个离子的振动将引起载流子散射的附加势场。,纵光学波振动频率,散射概率随温度变化与括号中指数因子相关。温度升高，平均声子数增多，光学波的散射概率迅速增大。,（3）其他因素引起的散射,1、等同的能谷间散射 2、中性杂质散射 3、位错散射 4、合金散射,4.3 迁移率与杂质浓度和温度的关系,1 平均自由时间和散射概率的关系,平均自由时间,设有N个电子以速度v沿某方向运动，N（t）表示在t时刻尚未遭到散射的电子数，按散射概率的定义，在t到tt时间内被散射的电子数为：,t很小时：,平均自由时间的数值等于散射概率的倒数。
7、,2 电导率、迁移率与平均自由时间的关系,设沿x方向施加强度为E的电场，考虑电子具有各向同性的有效质量，如在t0时某个电子恰好遭到散射，散射后沿x方向的速度为V x0，经过时间t后又遭到散射，在此期间作加速运动，再次散射前的速度为：,散射后沿各个方向概率相等，所以，多次散射后，Vo在x方向分量的平均值为0。,N型P型混合型,硅导带极值有6个，等能面为旋转椭球面，沿不同方向的有效质量不一样，分别记做,设电场强度Ex沿x方向，则100能谷中的电子，沿x方向迁移率为:,其他能谷中的电子，沿x方向迁移率为：,设电子浓度为n，则每个能谷单位体积中有n/6个电子，电流密度Jx应是6个能谷中电子对电流贡献的
8、总和，即:,电导迁移率,电导有效质量,3 迁移率与杂质和温度的关系,电离杂质散射 声学波散射 光学波散射,总的散射概率,平均自由时间为,对掺杂的锗、硅等原子半导体，主要的散射机构为声学波散射和电离杂质散射，有：,对三五族化合物，,硅中电子和空穴迁移率与杂质和温度的关系,分析,300K时，锗、硅、砷化镓迁移率与杂质浓度的关系当杂质浓度增大时，迁移率下降。,4.4 电阻率与杂质浓度和温度关系,半导体的电阻率可以方便地用四探针法直接读出。所以，一般实际生活中常采用电阻率讨论问题。,N型P型本征,Ge、Si、GaAs电阻率与杂质浓度的关系,硅电阻率与温度关系示意图,AB段：温度很低，本征激发可忽略，载
9、流子由杂质电离提供，散射主要由电离杂质决定，迁移率随温度升高而增大；,BC段：温度升高，杂质已全部电离，本征激发不显著，载流子不随温度变化，晶格振动散射为主要散射，迁移率随温度升高而降低；,C段：本征激发，载流子大量增加远远超过迁移率减小对电阻率的影响。,4.5 玻尔兹曼方程,以上根据载流子在电场中的加速及它们的散射，求出了一定电场下载流子的平均漂移速度，以及电导率、迁移率与散射概率P或平均自由时间的关系。,但这种分析受到两方面的限制：,1）计算中把看作一个常数，没有考虑载流子速度的统计分布；,2）计算中假设散射后的速度完全无规则，即散射后，载流子向各个方向运动的概率相等。,下面仍讨论各向同性
10、的散射。,1 玻尔兹曼方程,当无外场作用且温度均匀时，半导体处于热平衡状态。根据费米分布，能级E（k）被电子占据的概率为：,非简并半导体：,当有外场作用或存在温度梯度时，系统处于非平衡态，电子分布函数就发生变化。,以f（k,r,t）表示处于非平衡态时的分布函数，定义波矢在k(kdk)，位矢在r(r+dr)之间的相空间体积元dkdr中t时刻的电子数为：,下面求f(k,r,t)满足的方程。,因此，体积元dkdr中电子数的增长率为：,显然，电子数的改变主要是由于分布函数随时间的变化引起的。,原因有：,1）漂移变化由于外场作用，改变了电子的波矢k和位矢r，使得在k、r处的分布发生改变，这种改变是连续的
11、。,2）散射作用电子在运动过程中不断遭到散射，使电子的波矢k发生突变，也使分布发生改变。,由于,有,稳态时，f不随时间变化，,玻尔兹曼方程,如果没有温度梯度，f不随r变化，,2 驰豫时间近似,假设电子只有在时间tau内是自由运动的，散射后又恢复到无规则的分布，即分布函数又恢复到f0。在外加电场作用下，电子k状态不断地改变，经过tau时间，,如果稳态时分布函数f与f0偏离不大，,当tau很小时，,上式表示一种驰豫过程，如果外场被取消，由于散射作用，可以使分布函数逐渐恢复到平衡时的分布函数f0。,上式解为：,因而，驰豫时间近似下的稳态玻尔兹曼方程为,3 弱电场近似下玻尔兹曼方程的解,外加电场强度为
12、E时,玻尔兹曼方程为,弱电场情况下，分布函数改变不大，用 表示对于平衡状态下的偏离,因为 是由于电场引起的，弱电场情况下，,其中利用了,设n为电子浓度，如不计及电子速度的统计分布，则电流密度由 决定。实际上电子速度各不相同，有一定的统计分布，记入速度的统计分布，设有nndn个电子以速度v运动，则电流密度应是以下的积分：,dn为单位体积中波矢在k(k+dk)间的电子数，,由于f0只与E有关，因之是kx，ky，kz的偶函数，而v在k空间是奇函数，所以,这说明平衡下电流等于零，电流密度J只是由分布函数对平衡态的偏离 所决定。,上式可写为：,其中,4 球形等能面半导体的电导率,即,对各向同性的散射，tau与方向无关，仅是能量E的函数， 是对称的，所以i和j不相等时，由于vi和vj是奇函数，积分等于零。因此，可得,如等能面为球面， 也是球对称的，所以,式中电导率,对非简并半导体,所以,电流密度与电场关系有：,式中,因而,容易证明,有,其中,由,只有长声学波散射时，,代入之前结果，有,其中平均自由程,就是说，长声学波散射时，,
