1、专题限时集训(十六) 导数的应用(对应学生用书第 109 页)(限时：40 分钟)题型 1 利用导数研究函数的单调性 5,6,10题型 2 利用导数研究函数的极值、最值问题 2,3,4,7,9,13题型 3 利用导数解决不等式问题 1,8,11,12,14一、选择题1(2017豫南九校联考)已知 f( x)是定义在 R 上的连续函数 f(x)的导函数，满足 f( x)2 f(x)0 的解集为( )A(，1) B(1,1)C(，0) D(1，)A 设 g(x) ，则 g( x) 0g(x)0，所以 x0，故此等式可化为 f( x)，且 f(2) 0.令 g(x)e x2 x2f(x)， g(2)
2、0. g( x)ex 2x2f xx3 e2 8f 28e x22 xf(x) x2f( x)e x2 (x2)当 x2 时， g( x)0， g(x)单调递exx exx增，故 gmin(x) g(2)0，因此当 x2 时， g(x)0 恒成立因为 f( x) ，所g xx3以 f( x)0 恒成立因此 f(x)在2，)上单调递增， f(x)的最小值为 f(2) .故e28选 D.3(2017安庆模拟)已知函数 f(x) k ，若 x2 是函数 f(x)的唯一一个极值点，exx2 (2x ln x)则实数 k 的取值范围为( )A(，e B0，eC(，e) D0，e)A f( x) k (x
3、0)设 g(x) ，x2ex 2xexx4 ( 2x2 1x) x 2 (exx k)x2 exx则 g( x) ，则 g(x)在(0,1)内单调递减，在(1，)内单调递增 x 1 exx2 g(x)在(0，)上有最小值，为 g(1)e, 结合 g(x) 与 y k 的图象可知，要满exx足题意，只需 ke，选 A.4(2017金华十校联考)已知函数 f(x) x3 ax2 bx c 有两个极值点 x1， x2.若 f(x1) x1 x2，则关于 x 的方程 3(f(x)22 af(x) b0 的不同实根个数为( )A3 B4 C5 D6A f( x)3 x22 ax b，原题等价于方程 3x
4、22 ax b0 有两个不等实数根 x1， x2，且 x1 x2， x(， x1)时， f( x)0， f(x)单调递增； x( x1， x2)时， f( x)0， f(x)单调递减； x( x2，)时， f( x)0， f(x)单调递增 x1为极大值点，x2为极小值点方程 3(f(x)22 af(x) b0 有两个不等实根， f(x) x1或 f(x) x2. f(x1) x1，由图知 f(x) x1有两个不同的解， f(x) x2仅有一个解故选 A.5(2016甘肃兰州诊断考试)已知函数 f(x)的导函数为 f( x)，若 x2f( x) xf(x)sin x(x(0,6)， f()2，则
5、下列结论正确的是( )A y xf(x)在(0,6)上单调递减B y xf(x)在(0,6)上单调递增C y xf(x)在(0,6)上有极小值 2D y xf(x)在(0,6)上有极大值 2D 因为 x2f( x) xf(x)sin x， x(0,6)，所以 xf( x) f(x) ，设 g(x)sin xx xf(x)， x(0,6)，则 g( x) f(x) xf( x) ，令 g( x)0，得 00 恒成立，排除 C，D；当 a1 时， f( x)( 4， 2)2e xcos x， x 时， f( x)0，故选 A.( 4， 2)7(2017肇庆二模)已知函数 f(x) x36 x29
6、x， g(x) x3 x2 ax (a1)，若对任13 a 12 13意的 x10,4，总存在 x20,4，使得 f(x1) g(x2)，则实数 a 的取值范围为( )A. B9，)(1，94C. 9，) D 9，)(1，94 32， 94C 由 f( x)3 x212 x93( x1)( x3)0，得 x1 或 x3，所以当 x0,4时，当 0 x0，即 f(x)单调递增，当 11 恒成立，则 k 的最大值为( )A2 B3C4 D5B 法一：(分离参数法)依题意得， k1 恒成立令 g(x)x xln xx 1，则 g( x) ，令 h(x) xln x2( x1)，则 h( x)1 x
7、xln xx 1 x ln x 2 x 1 2 1x0，所以函数 h(x)在(1，)上单调递增x 1x因为 h(3)1ln 30.所以方程 h(x)0 在(1，)上存在唯一实数根 x0，且满足 x0(3,4)，即有 h(x0) x0ln x020，ln x0 x02.当 1x0时， h(x)0，即 g( x)0，所以函数 g(x) 在(1， x0)上单调递减，在( x0，)上单调递增，x xln xx 1所以 g(x)min g(x0) x0(3,4)x0 1 ln x0x0 1 x0 1 x0 2x0 1所以 k1)，则 g( x)ln x1，当 1e 时， g( x)0， g(x)在区间(
8、e，)上单调递增因此，g(x)的最小值是 g(e)3e0，于是有 g(x)0 恒成立所以满足题意的最大整数 k 的值是 3，选 B.二、填空题9(2017合肥二模)已知直线 y b 与函数 f(x)2 x3 和 g(x) axln x 分别交于 A， B 两点，若| AB|的最小值为 2，则 a b_. 【导学号：07804117】2 设点 B(x0， b)，欲使| AB|最小，曲线 g(x) axln x 在点 B(x0， b)处的切线与 f(x)2 x3 平行，则有 a 2，解得 x0 ，进而可得 a ln b ，又1x0 12 a 12 a 12 a点 A 坐标为 ，所以| AB| x0
9、 2 ，联立方程可解得，(b 32 ， b) b 32 12 a b 32a1， b1，所以 a b2.10(2017洛阳二模)已知函数 f(x)e x mln x(mR，e 为自然对数的底数)，若对任意正数x1， x2，当 x1x2时都有 f(x1) f(x2)x1 x2成立，则实数 m 的取值范围是_0，) 依题意得，对于任意的正数 x1， x2，当 x1x2时，都有 f(x1) x1f(x2) x2，因此函数 g(x) f(x) x 在区间(0，)上是增函数，于是当 x0 时， g( x) f( x)1e x 10，即 x(ex1) m 恒成立记 h(x) x(ex1)， x0，则有mx
10、h( x)( x1)e x1(01)e 010( x0)， h(x)在区间(0，)上是增函数， h(x)的值域是(0，)，因此 m0， m0.故所求实数 m 的取值范围是0，)11(2017黄山模拟)已知函数 f(x) m 2ln x(mR)， g(x) ，若至少存在一个(x1x) mxx01，e，使得 f(x0)0 时， xf( x) f(x)0，则使得 f(x)0 成立的 x 的取值范围是_(2,0)(2，) 令 g(x) ，则 g( x) ，当 x0 时，f xx xf x f xx2g( x)0，即 g(x)在(0，)上单调递增， f(x)为奇函数， f(2)0， f(2)0， g(2
11、) 0，结合奇函数 f(x)的图象(图略)知， f(x)0 的解集为f 22(2,0)(2，)三、解答题13(2017江西高三 4 月监测)已知函数 f(x)ln x x2 (aR， a 为常数)，函数 g(x)12 axe 1 x x21.2a 12(1)讨论函数 f(x)的极值点的个数；(2)若不等式 f(x) g(x)对任意 x1，)恒成立，求实数 a 的取值范围. 【导学号：07804118】解 (1) f( x) x (x0)，由 f( x)0，得 a x x3，记 h(x)1x ax2 x x3 ax2 x x3，则 h( x)13 x2，由 h( x)0，得 x ，且 00，当
12、x33 33时， h( x)0， xx2时， f( x)0.xx0时，f( x)0， ( x) (1)0， (x)在区间1x2 2ax3 1x2 (1 1x3)1，)上单调递增，所以 (x) (1)0 恒成立，即 g(x) f(x)恒成立综上所述，实数 a 的取值范围是 .23， )14(2017淮北一模)已知函数 f(x)( x1)ln x ax2.(1)当 a1 时，求曲线 f(x)在 x1 处的切线方程；(2)若函数 f(x)在定义域上具有单调性，求实数 a 的取值范围；(3)求证： 0)， f( x)ln x ， f(1)1x1， f(1)1，所以曲线 f(x)在 x1 处的切线方程为
13、 y x.(2)f( x)ln x 1 a(x0)1x()当函数 f(x)在定义域上单调递减，即当 aln x 时，令 g(x)ln x ，x 1x x 1x则 g( x) ，当 x1 时， g( x)0， aln x 无法恒成立；x 1x2 x 1x()当函数 f(x)在定义域上单调递增，即当 aln x 时，令 g(x)ln x ，x 1x x 1x则 g( x) ， x0，则函数 g(x)在(0,1)上单调递减，在(1，)上单调递增，又x 1x2g(x)2，故 a2.(3)证明：由(2)，得当 a2 时， f(x)在(1，)上单调递增，由 f(x)f(1)， x1，得(x1)ln x2 x20，即 ln x 在(1，)上总成立令 x ，得 ln 2 x 1x 1 n 1n ，化简，得 ln (n1)ln n ，所以 ln 2ln 1 ，ln 3ln n 1n2(n 1n 1)n 1n 1 22n 1 22 12 ，ln( n1)ln n ，累加，得 ln(n1)ln 1 ，即24 1 22n 1 23 25 22n 1 ln(n1)， nN *.13 15 17 12n 112
