1、第 18 讲 平面向量、复数(对应学生用书第 112 页)一、选择题1(2017湘中名校联考)若复数 z m(m1)( m1)i 是纯虚数，其中 m 是实数，则 ( )1z【导学号：07804122】Ai BiC2i D2iA 由题意，得 m(m1)0 且( m1)0，得 m0，所以 zi， i，故选 A.1z 1 i2(2017石家庄一摸)若复数 z 满足( i) z3i(i 为虚数单位)，则 z 的共轭复数为( )2A. i B i2 2C1 i D1 i2 2D 依题意得 z 1 i，则复数 z 的共轭复数为3i2 i 3i 2 i 2 i 2 i 21 i，选 D.23(2015全国卷
2、)设 D 为 ABC 所在平面内一点， 3 ，则( )BC CD A. AD 13AB 43AC B. AD 13AB 43AC C. AD 43AB 13AC D. AD 43AB 13AC A 3 ， 3( )，BC CD AC AB AD AC 即 4 3 ， .AC AB AD AD 13AB 43AC 4.(2016全国卷)设(1i) x1 yi，其中 x， y 是实数，则| x yi|( )A1 B 2C. D23B (1i) x1 yi， x xi1 yi.又 x， yR， x1， y x1.| x yi|1i| ，故选 B.25.(2016全国卷)已知 z( m3)( m1)i
3、 在复平面内对应的点在第四象限，则实数 m 的取值范围是( )A(3,1) B(1,3)C(1，) D(，3)A 由题意知Error!即3 m1.故实数 m 的取值范围为(3,1)6(2015全国卷)若 a 为实数，且(2 ai)(a2i)4i，则 a( )A1 B0C1 D2B (2 ai)(a2i)4i，4 a( a24)i4i.Error!解得 a0.故选 B.7(2017豫南九校 4 月联考)已知向量 a( m,2)， b(2，1)，且 a b，则 等|2a b|a a b于( )A B153C2 D54B a b，2 m20， m1，则 2a b(0,5)， a b(3,1)， a(
4、a b)13215，|2 a b|5， 1，故选 B.|2a b|a a b 558(2017福建漳州八校联考)在 ABC 中，| | | |，| | |3，AB AC 3AB AC AB AC 则 的值为( ) CB CA 【导学号：07804123】A3 B3C D92 92D 由| | | |两边平方可得， 2 22 3( 2 22 )，AB AC 3AB AC AB AC AB AC AB AC AB AC 即 2 24 ，又| | |3，所以 ，又因为 ，所AB AC AB AC AB AC AB AC 92 CB AB AC 以 ( )( ) 2 9 ，故选 D.CB CA AB
5、AC AC AC AB AC 92 929.(2017全国卷)设有下面四个命题p1：若复数 z 满足 R，则 zR；1zp2：若复数 z 满足 z2R，则 zR；p3：若复数 z1， z2满足 z1z2R，则 z1 2；zp4：若复数 zR，则 R.z其中的真命题为( )A p1， p3 B p1， p4C p2， p3 D p2， p4B 设 z a bi(a， bR)， z1 a1 b1i(a1， b1R)， z2 a2 b2i(a2， b2R)对于 p1，若 R，即 R，则 b0 z a bi aR，所以 p1为真命题1z 1a bi a bia2 b2对于 p2，若 z2R，即( a
6、bi)2 a22 abi b2R，则 ab0.当 a0， b0 时， z a bi biR，所以 p2为假命题对于 p3，若 z1z2R，即( a1 b1i)(a2 b2i)( a1a2 b1b2)( a1b2 a2b1)iR，则a1b2 a2b10.而 z1 2，即 a1 b1i a2 b2ia1 a2， b1 b2.因为za1b2 a2b10 D/a1 a2， b1 b2，所以 p3为假命题对于 p4，若 zR，即 a biR，则 b0 a bi aR，所以 p4为真命题故选 B.z10(2016山西太原五中 4 月模拟)已知 DEF 的外接圆的圆心为 O，半径 R4，如果 OD DE 0
7、，且| | |，则向量 在 方向上的投影为( )DF OD DF EF FD A6 B6C2 D23 3B 由 0 得， . DO 经过 EF 的中点， DO EF.OD DE DF DO DE DF 连接 OF，| | | |4，OF OD DF DOF 为等边三角形， ODF60. DFE30，且 EF4sin 6024 .3向量 在 方向上的投影为| |cos ， 4 cos 1506，故选 B.EF FD EF EF FD 311.(2017全国卷)已知 ABC 是边长为 2 的等边三角形， P 为平面 ABC 内一点，则 ( )的最小值是( )PA PB PC A2 B32C D14
8、3B 法一：(解析法)建立坐标系如图所示，则 A， B， C 三点的坐标分别为 A(0， )，3B(1,0)， C(1,0)图设 P 点的坐标为( x， y)，则 ( x， y)， (1 x， y)， (1 x， y)，PA 3 PB PC ( )( x， y)(2 x，2 y)2( x2 y2 y)PA PB PC 3 32 2 .x2 (y 32)2 34 ( 34) 32当且仅当 x0， y 时， ( )取得最小值，最小值为 .32 PA PB PC 32故选 B.法二：(几何法)如图所示， 2 (D 为 BC 的中点)，则 ( )2 .PB PC PD PA PB PC PA PD 图
9、要使 最小，则 与 方向相反，即点 P 在线段 AD 上，则(2 )min2| |PA PD PA PD PA PD PA |，问题转化为求| | |的最大值PD PA PD 又| | | |2 ，PA PD AD 32 3| | | 2 2 ，PA PD (|PA | |PD |2 ) (32) 34 ( )min(2 )min2 .PA PB PC PA PD 34 32故选 B.12.(2017全国卷)在矩形 ABCD 中， AB1， AD2，动点 P 在以点 C 为圆心且与 BD 相切的圆上若 ，则 的最大值为( )AP AB AD A3 B2 2C. D25A 建立如图所示的直角坐标
10、系，则 C 点坐标为(2,1)设 BD 与圆 C 切于点 E，连接 CE，则 CE BD. CD1， BC2， BD ，12 22 5EC ，BCCDBD 25 255即圆 C 的半径为 ，255 P 点的轨迹方程为( x2) 2( y1) 2 .45设 P(x0， y0)，则Error!( 为参数)，而 ( x0， y0)， (0,1)， (2,0)AP AB AD (0,1) (2,0)(2 ， )，AP AB AD x01 cos ， y01 sin .12 55 255两式相加，得 1 sin 1 cos 2sin( )3255 55，(其 中 sin 55， cos 255)当且仅当
11、 2 k ， kZ 时， 取得最大值 3. 2故选 A.二、填空题13.(2017全国卷)已知向量 a， b 的夹角为 60，| a|2，| b|1，则| a2 b|_. 【导学号：07804124】2 法一：(直接法)| a2 b|3 a 2b 2 a2 4ab 4b2 22 421cos 60 412 2 .12 3法二：(数形结合法)由| a|2 b|2，知以 a 与 2b 为邻边可作出边长为 2 的菱形 OACB，如图，则| a2 b| |.又 AOB60，所以| a2 b|2 .OC 314(2015全国卷)设向量 a， b 不平行，向量 a b 与 a2 b 平行，则实数 _. a
12、 b 与 a 2b 平行，12存在实数 t，使 a b t(a2 b)，即 a b ta2 tb，Error!解得Error!15(2014全国卷)已知 A， B， C 为圆 O 上的三点，若 ( )，则 与 的夹角为AO 12AB AC AB AC _90 ( )，AO 12AB AC 点 O 是 ABC 中边 BC 的中点， BC 为直径，根据圆的几何性质有 ， 90.AB AC 16(2016郑州第一次质量预测)已知 与 的夹角为 90，AB AC | |2，| |1， ( ， R)，且 0，则 的值为_AB AC AM AB AC AM BC 根据题意，建立如图所示的平面直角坐标系，则 A(0,0)， B(0,2)，14C(1,0)，所以 (0,2)， (1,0)， (1，2)设 M(x， y)，AB AC BC 则 ( x， y)，所以 ( x， y)(1，2) x2 y0，所以AM AM BC x2 y，又 ，即( x， y) (0,2) (1,0)( ，2 )，所以AM AB AC x ， y2 ，所以 . 12yx 14
