1、第三章 基本初等函数（）1.指数幂、对数式的运算、求值、化简、证明等问题主要依据指数幂、对数的运算性质，在进行指数、对数的运算时还要注意相互间的转化.2.指数函数和对数函数的性质及图象特点是这部分知识的重点，而底数 a 的不同取值对函数的图象及性质的影响则是重中之重，要熟知 a 在(0,1)和(1，)两个区间取值时函数的单调性及图象特点.3.应用指数函数 y ax和对数函数 ylog ax 的图象和性质时，若底数含有字母，要特别注意对底数 a1 和 0 a1 两种情况的讨论.4.幂函数与指数函数的主要区别：幂函数的底数为自变量，指数函数的指数为自变量.因此，当遇到一个有关幂的形式的问题时，就要
2、看变量所在的位置从而决定是用幂函数知识解决，还是用指数函数知识去解决.5.理解幂函数的概念、图象和性质.在理解幂函数的概念、图象和性质时，要对幂指数 分两种情况进行讨论，即分 0和 0 两种情况.6.比较几个数的大小是幂函数、指数函数、对数函数性质应用的常见题型，在具体比较时，可以首先将它们与零比较，分出正数、负数；再将正数与 1 比，分出大于 1 还是小于 1；然后在各类中两两相比较.7.求含有指数函数和对数函数复合函数的最值或单调区间时，首先要考虑指数函数、对数函数的定义域，再由复合函数的单调性来确定其单调区间，要注意单调区间是函数定义域的子集.其次要结合函数的图象，观察确定其最值或单调区
3、间.8.函数图象是高考考查的重点内容，在历年高考中都有涉及.考查形式有知式选图、知图造式、图象变换以及用图象解题.函数图象形象地显示了函数的性质，利用数形结合有时起到事半功倍的效果.9.解决函数应用题关键在于理解题意，提高阅读能力.一方面要加强对常见函数模型的理解，弄清其产生的实际背景，把数学问题生活化；另一方面，要不断拓宽知识面.求解函数应用问题的思路和方法，我们可以用示意图表示为：题型一 有关指数、对数的运算问题指数与指数运算、对数与对数运算是两个重要的知识点，不仅是本章考查的重要题型，也是高考的必考内容.指数式的运算首先要注意化简顺序，一般负指数先转化成正指数，根式化为指数式；其次若出现
4、分式，则要注意把分子、分母因式分解以达到约分的目的.对数运算首先要注意公式应用过程中范围的变化，前后要等价；其次要熟练地运用对数的三个运算性质，并根据具体问题合理利用对数恒等式和换底公式等.换底公式是对数计算、化简、证明常用的公式，一定要掌握并灵活运用.例 1 (1)化简 a 8ab4b 23ab a (1 23ba) 3ab(2)计算：2log 32log 3 log 3825 35log.329解 (1)原式 a 31b a 31a b a .a a 8b 2b 2 2ab a 2 aa 2b a a 8ba 8b 3b(2)原式log 34log 3 log 385 35log329lo
5、g 3(4 8)5 52loglog 399297.932跟踪演练 1 (1)求 5 2log 16 43的值.lg 8 lg 125 lg 2 lg 5log54log25(2)已知 x1，且 x x1 6，求 x x1解 (1) 5 2log16 43lg 8 lg 125 lg 2 lg 5log54log25 2(2 4) 3lg 2 3lg 5 lg 2 lg 52log52log25 2811.3 12(2) 2 x x1 2624，(x x)又 x1， x x0， x 21 x2.题型二 指数函数、对数函数及幂函数的图象与性质函数的图象是研究函数性质的前提和基础，它较形象直观地反
6、映了函数的一切性质.教材对幂函数、指数函数、对函数的性质的研究也正好体现了由图象到性质，由具体到抽象的过程，突出了函数图象在研究相应函数性质时的作用.例 2 已知函数 f(x)是定义在 R 上的偶函数，当 x0 时， f(x) x.(12)(1)画出函数 f(x)的图象；(2)根据图象写出 f(x)的单调区间，并写出函数的值域.解 (1)先作出当 x0 时， f(x) x的图象，利用偶函数的图象关于(12)y 轴对称，再作出 f(x)在 x(，0)时的图象.(2)函数 f(x)的单调递增区间为(，0)，单调递减区间为0，)，值域为(0,1.跟踪演练 2 (1)函数 f(x)ln x 的图象与函
7、数 g(x) x24 x4 的图象的交点个数为( )A.0 B.1 C.2 D.3(2)函数 y 的图象大致是( )x33x 1答案 (1)C (2)C解析 (1)作出两个函数的图象，利用数形结合思想求解.g(x) x24 x4( x2) 2，在同一平面直角坐标系内画出函数 f(x)ln x 与 g(x)( x2) 2的图象(如图).由图可得两个函数的图象有2 个交点.(2)由 3x10 得 x0，函数 y 的定义域为 x|x0，可排除选项 A；当x33x 1x1 时， y 0，可排除选项 B；当 x2 时， y1，当 x4 时， y ， 1 313 1 32 6480但从选项 D 的函数图象
8、可以看出函数在(0，)上是单调递增函数，两者矛盾，可排除选项 D.故选 C.题型三 比较大小比较几个数的大小问题是指数函数、对数函数和幂函数的重要应用，其基本方法是：将需要比较大小的几个数视为某类函数的函数值，其主要方法可分以下三种：(1)根据函数的单调性(如根据一次函数、二次函数、指数函数、对数函数、幂函数的单调性)，利用单调性的定义求解；(2)采用中间量的方法(实际上也要用到函数的单调性)，常用的中间量如 0,1，1 等；(3)采用数形结合的方法，通过函数的图象解决.例 3 设 alog 213， b 0.2， c2 31，则( )(13)A.a b c B.c b aC.c a b D.
9、b a c答案 A解析 alog 2130,0 b 0.21， c2 311，故有 a b c.(13)跟踪演练 3 (1)下列不等式成立的是( )A.log32log 23log 25 B.log32log 25log 23C.log23log 32log 25 D.log23log 25log 32(2)已知 0 a1， xlog a log a ， y loga5， log a log a ，则( )2 312 21 3A.x y B. y xC.y x D. x y答案 (1)A (2)C解析 (1)由于 log31log 32log 33，log 22log 23log 25，即0l
10、og 321,1log 23log 25，所以 log32log 23log 25.故选 A.(2)依题意，得 xlog a ， ylog a ， log a .又 0 a1， ，因此有 loga6 5 7 5 6 7 loga log a ，即 y x .故选 C.5 6 7题型四 分类讨论思想本章常见分类讨论思想的应用如下表：问题 讨论标准 分类情况比较 af(x)与 ag(x)的大小 a 与 1 的大小关系(1)a 1 时，若 f(x) g(x)，则 af(x) ag(x)；(2)0 a1 时，若 f(x) g(x)，则 af(x) ag(x)解不等式 af(x) ag(x) a 与 1
11、 的大小关系(1)a1 时， f(x) g(x)；(2)0 a1 时， f(x) g(x)比较 logax1与 logax2的大小 a 与 1 的大小关系(1)a1 时，若 x1 x20，则logax1log ax2；(2)0 a1 时，若 x1 x20，则logax1log ax2解不等式 logaf(x)log ag(x)a 与 1 的大小关系(1)a1 时， f(x) g(x)0；(2)0 a1 时，0 f(x) g(x)例 4 已知偶函数 f(x)在 x0，)上是增函数， f 0，求不等式 f(logax)(12)0( a0，且 a1)的解集.解 f(x)是偶函数，且 f(x)在0，)
12、上是增函数，又 f 0，(12) f(x)在(，0)上是减函数， f 0.(12)故若 f(logax)0，则有 logax 或 logax .12 12当 a1 时，由 logax 或 logax ，12 12得 x 或 0 x .aaa当 0 a1 时，由 logax 或 logax ，12 12得 0 x 或 x .aaa综上可知，当 a1 时， f(logax)0 的解集为 ( ，)；(0，aa) a当 0 a1 时， f(logax)0 的解集为(0， ) .a (aa， )跟踪演练 4 已知函数 y ax23 x3 在 x1,3时有最小值 ，求 a 的值.18解 令 t x23 x3 2 ，(x32) 34当 x1,3时， t .34， 3若 a1 时，则 ymin a ，18解得 a ，与 a1 矛盾.116若 0 a1，则 ymin a3 ，18解得 a ，满足题意.综合，知， a .12 121.函数是高中数学极为重要的内容，函数思想和函数方法贯穿整个高中数学的过程，纵观历年高考试题，对本章的考查是以基本函数形式出现的综合题和应用题，一直是常考不衰的热点问题.2.从考查角度看，指数函数、对数函数概念的考查以基本概念与基本计算为主；对图象的考查重在考查平移变换、对称变换以及利用数形结合的思想方法解决数学问题的能力；对幂函数的考查将会从概念、图象、性质等方面来考查.
