2017届高考数学一轮复习 必考部分 第七篇 立体几何课件 文（打包6套）北师大版.zip

第七篇 立体几何 (必修 2)六年新课标全国卷试题分析第 1节 简单几何体、三视图和直观图知识链条完善考点专项突破易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.两面平行 ,其余各面都是平行四边形的几何体就是棱柱吗 ?2.用一个平面截锥体就会得到一个台体吗 ?提示 :不一定 .截面必须与锥体的底面平行 .3.几何体三视图中的实线与虚线如何区分 ?提示 :看得见的轮廓线和棱为实线 ,看不见的为虚线 .知识梳理1.多面体的结构特征多面体 结构特征棱柱一般棱柱 两个面互相 ,其余各面都是 ,并且每相 邻 两个四 边 形的公共 边 都互相平行直棱柱 侧 棱垂直于底面的棱柱正棱柱 底面是正多 边 形的直棱柱棱锥 一般棱 锥有一面是多 边 形 ,其余各面是有一个公共 顶 点的。正棱 锥 底面是正多 边 形 ,且各 侧 面全等棱台一般棱台 用一个平行于棱 锥 的平面去截棱 锥 ,底面与 之 间 的部分叫作棱台正棱台 上、下底面是相似的正多 边 形 ,侧 面是全等的等腰梯形平行 四边形三角形底面截面2.旋转体的形成及结构特征旋 转 体 形成 结 构特征圆 柱 矩形 绕 其一 边 所在直 线 旋 转 一周两个底面互相 ,有无数条母 线 ,且长 度 都与 轴 ,过轴 的截面是,侧 面展开 图 是 .圆锥直角三角形 绕 其所在直 线 旋 转 一周底面是 ,有无数条母 线 ,长 度 且交于一点 ,平行于底面的截面是与底面大小不同的 ,过轴 的截面是全等的,侧 面展开 图 是 .圆 台 直角梯形 绕 其所在直 线 旋 转 一周上、下底面 且不全等 ,母 线 的延 长线 ,平行于底面的截面是与两底面大小都不相等的 ,过轴 的截面是全等的 ,侧 面展开 图 是扇环 .球 半 圆绕 其 所在直 线 旋 转 一周 球的任何截面都是 面平行相等 平行全等的矩形 矩形一条直角边圆面 相等圆等腰三角形 扇形垂直底边的腰平行交于一点圆等腰梯形直径 圆3.简单几何体的三视图简单几何体的三视图是用 得到的 ,它包括 、左视图、俯视图 ,其画法规则是 、高平齐、宽相等 .4.简单几何体的直观图的画法简单几何体的直观图常用 画法来画 ,基本步骤是正投影 主视图长对正斜二测(1)画几何体的底面在已知图形中取互相垂直的 x轴、 y轴 ,两轴相交于点 O,画直观图时 ,把它们画成对应的 x′ 轴、 y′ 轴 ,两轴相交于点 O′, 且使 ∠ x′O′y ′= ,已知图形中平行于 x轴、 y轴的线段 ,在直观图中分别平行于 x′ 轴、 y′ 轴 .已知图形中平行于 x轴的线段 ,在直观图中长度,平行于 y轴的线段 ,长度变为 .(2)画几何体的高在已知图形中过 O点作 z轴垂直于 xOy平面 ,在直观图中对应的 z′ 轴 ,也垂直于 x′O′y ′ 平面 ,已知图形中平行于 z轴的线段 ,在直观图中仍平行于 z′ 轴且长度 .45°( 或 135°)保持不变 原来的一半不变【 重要结论 】 1.正方体的内切球直径等于其棱长 ;长方体的外接球直径等于其体对角线长 .2.三视图中 ,主、左视图高相等 ,主、俯视图长相等 ,左、俯视图宽相等 .夯基自测D 1.下列几何体是台体的是 ( )解析 :A中四条侧棱没有交于一点 ,不是台体 ;B中截面与圆锥底面不平行 ,不是台体 ;C是棱锥 ,结合棱台和圆台的定义可知 D正确 .根据定义排除2.(2015云南师大附中月考 )已知一几何体的三视图如图所示 ,主视图和左视图都是矩形 ,俯视图为正方形 ,在该几何体上任意选择 4个顶点 ,以这 4个点为顶点的几何体 (图形 )可能是 ( )① 矩形 ;② 有三个面为直角三角形 ,有一个面为等腰三角形的四面体 ;③ 每个面都是直角三角形的四面体 .(A)①②③ (B)②③ (C)①③ (D)①②A还原为直观图再确定3.(2016深圳月考 )用一个平行于水平面的平面去截球 ,得到如图所示的几何体 ,则它的俯视图是 ( )B解析 :因为截面被遮挡 ,所以截面在俯视图中应为虚线 ,故选 B.解析 :由斜二测画法规则可知 ,平行于 y轴的线段长度减半 ,且与 y轴仍平行 ,直角坐标系变成斜坐标系 ,而平行性没有改变 ,故只有选项 D正确 .4.关于斜二测画法所得直观图的说法正确的是 ( )(A)直角三角形的直观图仍是直角三角形(B)梯形的直观图是平行四边形(C)正方形的直观图是菱形(D)平行四边形的直观图仍是平行四边形D考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 简单几何体的结构特征【 例 1】 以下说法错误的个数是 ( )① 以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴 ,旋转所得的几何体是圆锥;② 圆台的任意两条母线的延长线可能相交 ,也可能不相交 ;③ 四棱锥的四个侧面都可以是直角三角形 ;④ 三棱锥的四个面可能都是直角三角形 ;⑤ 有两个面互相平行 ,其余各面都是梯形的多面体是棱台 .(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析 :① 若旋转轴为斜边所在直线 ,则旋转体为两个同底的圆锥构成的组合体 ,故 ① 不正确 ;② 圆台的任意两条母线都相交 ,交点为截得该圆台的圆锥顶点 ,故 ② 不正确 ;注意不是正确的个数！③ 如图 ① 所示 ,在四棱锥 P-ABCD中 ,底面 ABCD是矩形 ,PA⊥ 平面 ABCD,则可以得到四个侧面都是直角三角形 .故 ③ 正确 ;④ 如图 ② 所示 ,在三棱锥中 ,PA⊥ 平面 ABC,AB⊥BC,则可得该棱锥的四个面都为直角三角形 ,故 ④ 正确 ;⑤ 如图 ③ 几何体 ,上、下两面平行 ,其余四面都是梯形 ,但其侧棱的延长线不能交于一点 ,该几何体不是棱台 .不正确 .综上 ,①②⑤ 不正确 .故选 C.反思归纳 (1)结合几何体图形对命题进行判断是很好的方法 .(2)利用反例对结构特征进行辨析 ,要说明某个命题是错误的 ,只要举出一个反例即可 .【 即时训练 】 给出以下命题 ,其中正确的是 . ① 由五个平面围成的多面体只能是四棱锥 ;② 多面体至少由四个面围成;③ 在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点 ,则这两点的连线是圆柱的母线 ;④ 圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线 .解析 :三棱柱也是由五个平面围成的 ,因此 ① 错误 ;三棱锥是最简单的多面体 ,由四个面围成 ,② 正确 ;在圆柱的上下底面的圆周上所取两点连线与旋转轴不平行时 ,则不是圆柱的母线 ,③ 错误 ;由圆锥的定义知④ 正确 .答案 :②④简单几何体的三视图 (高频考点 )考查角度 1:以网格形式给出三视图来判断其直观图 .【 例 2】 (2014高考新课标全国卷 Ⅰ) 如图 ,网格纸的各小格都是正方形,粗实线画出的是一个几何体的三视图 ,则这个几何体是 ( )(A)三棱锥 (B)三棱柱 (C)四棱锥 (D)四棱柱先确定几何体的形状，然后确定其度量？反思归纳 由网格形式给出的三视图 ,按照三视图对应网格确定长、宽、高的大小 ,以此画出其直观图 .考查角度 2:以空间直角坐标系形式给出几何体去判断三视图 .高考扫描 :2013高考全国卷 Ⅱ【 例 3】 (2014高考湖北卷 )在如图所示的空间直角坐标系 O-xyz中 ,一个四面体的顶点坐标分别是 (0,0,2),(2,2,0),(1,2,1),(2,2,2),给出编号为 ①②③④ 的四个图 ,则该四面体的主视图和俯视图分别为 ( )(A)① 和 ② (B)③ 和 ①(C)④ 和 ③ (D)④ 和 ②注意实线与虚线的区别！反思归纳 以空间直角坐标系形式给出几何体各顶点的坐标 ,常构造正方体或长方体 ,找出各点 ,连接得直观图 ,进而 ,确定三视图 .考查角度 3:切割或组合后几何体的三视图 .考点扫描 :2014高考全国卷 Ⅱ 、 2015高考全国卷 Ⅰ【 例 4】 (2015厦门模拟 )如图所示 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E为棱 BB1的中点 ,若用过点 A,E,C1的平面截去该正方体的上半部分 ,则剩余几何体的左视图为 ( )用平面基本性质找截面的第四个顶点AF∥EC 1？ AF=EC1？反思归纳 解决组合体问题关键是分清该几何体是由哪些简单几何体组成 ,或切割后剩余什么形状几何体 ,再画出其直观图求解 .考点三 简单几何体的直观图【 例 5】 (1)用斜二测画法画一个水平放置的平面图形的直观图为如图所示的一个正方形 ,则原来的图形是 ( )答案 :(1)A还原原图形，逆用斜二测法则(2)已知正三角形 ABC的边长为 a,则 △ABC 的水平放置直观图 △A′B′C′的面积为 . 斜二测法则画出直观图反思归纳第 2节 空间图形的基本关系与公理知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】 分别在两个平面内的直线一定是异面直线吗 ?提示 :不是 ,也可能相交或异面 .知识梳理平行 m∥n 相等或互补 ∠ A=∠A′ ∠ A+∠A′=π 【 重要结论 】1.a,b,c表示直线 ,a∥b,a⊥c, 则 b⊥c.2.如果直线和平面相交于一点 ,则平面内不过此交点的直线与该直线是异面直线 .3.异面直线所成的角(1)定义设 a、 b是两条异面直线 ,经过空间中任一点 O作直线 a′∥a,b′∥b ,把a′ 与 b′ 所成的 叫作异面直线 a与 b所成的角 .锐角 (或直角 )夯基自测A 解析 :如果直线上有两点在平面内 ,则这条直线就在该平面内 .2.分别和两条异面直线都相交的两条直线的位置关系是 ( )(A)异面 (B)相交(C)平行 (D)异面或相交D 3.已知 OA∥O 1A1,OB∥O 1B1,且 ∠ AOB=60° ,则 ∠ A1O1B1等于 ( )(A)60° (B)120° (C)60° 或 120° (D)90°C解析 :由定理知 ∠ AOB与 ∠ A1O1B1相等或互补 .A 解析 :由已知 A为 α,β 的公共点 ,所以该点在两个平面的交线 l上 ,即 A∈l.5.下列命题中不正确的是 .(填序号 ) ① 没有公共点的两条直线是异面直线 ;② 分别和两条异面直线都相交的两直线异面 ;③ 一条直线和两条异面直线中的一条平行 ,则它和另一条直线不可能平行 ;④ 一条直线和两条异面直线都相交 ,则它们可以确定两个平面 .解析 :没有公共点的两直线平行或异面 ,故 ① 错 ;如果与两异面直线中一条交于一点 ,则两直线相交 ,故命题 ② 错 ;命题 ③ ,设两条异面直线为 a,b,c∥a ,若 c∥b ,则 a∥b ,这与 a,b异面矛盾 ,故 c,b不可能平行 ,③正确 ;命题 ④ 正确 ,若 c与两异面直线 a,b都相交 ,a,c可确定一个平面,b,c也可确定一个平面 ,这样 a,b,c共确定两个平面 .答案 :①②考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 平面的基本性质及应用【 例 1】 (1)以下四个命题中 ,正确命题的个数是 ( )① 不共面的四点中 ,其中任意三点不共线 ;② 若点 A,B,C,D共面 ,点 A,B,C,E共面 ,则 A,B,C,D,E共面 ;③ 若直线 a,b共面 ,直线 a,c共面 ,则直线 b,c共面 ;④ 依次首尾相接的四条线段必共面(A)0 (B)1 (C)2 (D)3解析 :(1)① 正确 ,假设其中有三点共线 ,则该直线和直线外的另一点确定一个平面 ,这与四点不共面矛盾 ,故其中任意三点不共线 ;② 不正确 ,从条件看出两平面有三个公共点 A,B,C,但是若 A,B,C共线 ,则结论不正确 ;③ 不正确 ,共面不具有传递性 ;④ 不正确 ,因为此时所得的四边形四条边可以不在同一个平面上 ,如空间四边形 .故选 B.(2)如图所示 ,平面 α∩ 平面 β=l, 点 A∈α ,点 B∈α ,点 C∈β ,点 C∉l,又AB∩l =R,设 A,B,C三点确定的平面为 γ, 则 β∩γ 是 ( )(A)直线 AC (B)直线 BC(C)直线 CR (D)以上均错反思归纳 确定两个平面的交线的关键是找出两个平面的两个公共点 ;若已知两平面的交线 ,则这两个平面的公共点必在交线上 .【 即时训练 】 (1)下列四个命题中 ,真命题的个数为 ( )① 如果两个平面有三个公共点 ,那么这两个平面重合 ;② 两条直线可以确定一个平面 ;③ 若 M∈α,M∈β,α∩β =l,则 M∈l ;④ 空间中 ,相交于同一点的三条直线在同一平面内 .(A)1 (B)2 (C)3 (D)4解析 :(1)① 若三个公共点不共线 ,则两个平面重合 ;否则这三个点都在两个平面的交线上 ,故 ① 不正确 .② 若两直线相交或平行 ,则可以确定一个平面 ;若两直线异面 ,则不能确定一个平面 .故 ② 不正确 .③ 由公理知该命题正确 .④ 相交于同一点的三条直线也可能不共面 ,如墙角的三条直线 .综上 ,只有 ③ 正确 .故选 A.解析 : (2)A项 ,由已知 A,M,O同在平面 ACC1A1与平面 AB1D1的交线上 ,该项正确 ;B,C项 ,由 A知 A,M,O三点共线 ,A1∉直线 AO,C∉直线 AO,所以 A,M,O,A1四点共面 ,B项正确 ;A,O,C,M四点共面 ,C项正确 .D项 ,BB1与 OM为异面直线 ,故该项错误 .故选 D.(2)如图所示 ,ABCD-A1B1C1D1是长方体 ,O是 B1D1的中点 ,直线 A1C交平面AB1D1于点 M,则下列结论错误的是 ( )(A)A,M,O三点共线(B)A,M,O,A1四点共面(C)A,O,C,M四点共面(D)B,B1,O,M四点共面空间两条直线的位置关系【 例 2】 如图是正四面体的平面展开图 ,G,H,M,N分别为 DE,BE,EF,EC的中点 ,在这个正四面体中 ,①GH 与 EF平行 ;②BD 与 MN为异面直线 ;③GH 与 MN是相交直线 ;④DE 与 MN是异面直线 .以上四个命题中 ,正确命题的序号是 . (注 :把你认为正确的结论的序号都填上 )答案 :②③④反思归纳 判定空间直线位置关系的方法空间中两直线位置关系的判定 ,主要是异面、平行和垂直的判定 ,对于异面直线 ,可采用直接法或反证法 ;对于平行直线 ,可利用三角形 (梯形)中位线的性质、公理 4及线面平行与面面平行的性质定理 ;对于垂直关系 ,往往利用线面垂直的性质来解决 .【 即时训练 】 正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,M,N分别为棱 C1D1,C1C的中点 ,有以下四个结论 :① 直线 AM与 CC1是相交直线 ;② 直线 AM与 BN是平行直线 ;③ 直线 BN与 MB1是异面直线 ;④ 直线 AM与 DD1是异面直线 .其中正确的结论为 .(注 :把你认为正确的结论的序号都填上 ) 解析 :直线 AM与 CC1是异面直线 ,直线 AM与 BN也是异面直线 ,所以 ①②错误 .点 B,B1,N在平面 B1C中 ,点 M在此平面外 ,所以 BN,MB1是异面直线 .同理 AM,DD1也是异面直线 .答案 :③④备选例题【 例 1】 如图所示 ,正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E,F分别是 AB和 AA1的中点 .求证 :(1)E,C,D1,F四点共面 ;(2)CE,D1F,DA三线共点 .(2)∠EA 1F=∠E 1CF1.【 例 3】 在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,(1)求 AC与 A1D所成角的大小 ;(2)若 E,F分别为 AB,AD的中点 ,求 A1C1与 EF所成角的大小 .类题探源精析 把复杂的问题简单化线面位置关系真假的判断方法总结 (1)构造法实质上是结合题意构造合题意的直观模型 ,然后将问题利用模型直观地作出判断 ,这样减少了抽象性 ,避免了因考虑不全面而导致解题错误 ;(2)对于线面、面面平行、垂直的位置关系的判定 ,可构造长方体或正方体化抽象为直观去判断 .(3)判断两直线是否为异面直线可利用两直线位置关系 ,排除平行与相交的可能性即可 .【 源题变式 】 已知 m,n是两条不同的直线 ,α,β 为两个不同的平面 ,有下列四个命题 :① 若 m⊥α,n⊥β,m⊥n ,则 α⊥β ;② 若 m∥α,n∥β,m⊥n ,则 α∥β ;③ 若 m⊥α,n∥β,m⊥n ,则 α∥β ;④ 若 m⊥α,n∥β,α∥β ,则 m⊥n .其中所有正确的命题是 ( )(A)①④ (B)②④ (C)① (D)④解析 :对于 ① ,可以得到平面 α,β 互相垂直 ,正确 ;对于 ② ,平面 α,β 可能垂直 ,不正确 ;对于 ③ ,平面 α,β 可能相交 ,不正确 ;对于 ④ ,由 m⊥α ,α∥β 可得 m⊥β ,因为 n∥β ,所以 m⊥n ,正确 .故选 A.第 4节 直线、平面平行的判定与性质知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】 1.若直线 a与平面 α 内无数条直线平行是否有 a∥α ?2.如果一个平面内有无数条直线都平行于另一个平面 ,那么两个平面一定平行吗 ?提示 :不一定 ,如果这无数条直线都平行 ,则这两个平面可能相交 ,此时这无数条直线都平行于交线 .3.直线与直线平行有传递性 ,那么平面与平面的平行有传递性吗 ?提示 :有 ,即三个不重合的平面 α,β,γ ,若 α∥β,β∥γ ,则 α∥β .知识梳理平行 l∥α 条件要全，不能漏(2)性质定理平行 a∥b 条件要全，不能漏相交直线 平行 a∥b 【 重要结论 】1.如果两平面平行 ,则其中一平面内任一直线平行于另一平面 .2.垂直于同一条直线的两平面平行 .∥ 夯基自测D 解析 :当 a⊈α 时 ,a∥α .D 3.已知平面 α∥ 平面 β,P 是 α,β 外一点 ,过 P点的两条直线 AC,BD分别交 α 于 A,B,交 β 于 C,D,且 PA=6,AC=9,AB=8,则 CD的长为 . 答案 :20或 44.如图 ,在正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,O为底面 ABCD的中点 ,P是 DD1的中点 ,设 Q是 CC1上的点 ,问 :当点 Q在什么位置时 ,平面 D1BQ∥ 平面 PAO?考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 与平行相关命题的判断结合正方体判断简便！反思归纳 平行命题的判断(1)解决与平行相关命题的判断问题 ,以与平行相关的判定定理和性质定理为依据 ,注意定理中相关条件的检验 ,必须进行严密的逻辑推理 .(2)如果判断某个命题错误 ,则往往利用正方体或其他几何体作为模型构造反例说明 .【 即时训练 】 以下命题中真命题的个数是 ( )(1)若 a∥b,b∥c ,则 a∥c ; (2)若 a⊥b,b⊥c ,则 a∥c ;(3)若 a∥b,b∥α ,则 a∥α ; (4)若 a∥α,α∥β ,则 a∥β .(A)0个 (B)1个 (C)2个 (D)3个解析 :(1)正确 ; (2)如图正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AB与 BC都与 BB1垂直 ,而 AB与 BC相交 ;AB与 B1C1都与 BB1垂直 ,而 AB与 B1C1异面 ,所以该命题错误 ;考点二 直线与平面平行的判定与性质 (高频考点 )【 例 2】 如图 ,四棱锥 P-ABCD中 ,底面 ABCD为矩形 ,E为 PD的中点 .(1)证明 :PB∥ 平面 AEC; 转化成证线线平行 利用三角形的中位线证线线平行线面平行的判定(2)若平面 APD∩ 平面 PBC=直线 l.证明 :l∥BC .线线平行 → 线面平行 → 线线平行线面平行的判定线面平行的性质反思归纳 (1)判定线面平行的方法① 利用定义 :判定直线与平面没有公共点 (一般结合反证法进行 );② 利用线面平行的判定定理 ,关键在于利用平面图形的性质构造两直线的平行关系 ;③ 利用面面平行的性质 ,即两平面平行 ,则其中一平面内的直线平行于另一平面 .(2)线面平行的性质① 直线与平面平行 ,则该直线与平面无公共点 ;② 由线面平行可得线线平行 .【 即时训练 】 如图 ,直三棱柱 ABC-A′B′C′, 点 M,N分别为 A′B 和B′C′ 的中点 .(1)证明 :MN∥ 平面 A′ACC′;(2)若平面 A′BC′∩ 平面 ABC=l,求证 :l∥AC .考点三 平面与平面平行的判定与性质【 例 3】 如图 ,四棱柱 ABCD-A1B1C1D1的底面 ABCD是正方形 .(1)证明 :平面 A1BD∥ 平面 CD1B1;线面平行的判定面面平行的判定证明 : (2)由 (1)知平面 A1BD∥ 平面 CD1B1,又平面 ABCD∩ 平面 B1D1C=直线 l,平面 ABCD∩ 平面 A1BD=直线 BD,所以直线 l∥ 直线 BD,在四棱柱 ABCD-A1B1C1D1中 ,四边形 BDD1B1为平行四边形 ,所以 B1D1∥BD,所以 B1D1∥l.(2)若平面 ABCD∩ 平面 B1D1C=直线 l,证明 B1D1∥l.反思归纳 (1)证明两平面平行的主要方法是面面平行的判定定理 ,另外还可以用结论 :“ 垂直于同一直线的两个平面平行 ” .(2)已知面面平行 ,可以得出如下结论 (性质 ):其中一个平面内的直线必平行于另一平面 .(3)“ 面面平行 ” 最终转化为 “ 线线平行 ” .【 即时训练 】 如图所示 ,已知点 P是平行四边形 ABCD所在平面外的一点 ,E,F分别是 PA,BD上的点且 PE∶EA=BF∶FD=1∶2,N∈AB, 且 AN∶NB=2∶1.(1)证明 :平面 EFN∥ 平面 PBC.(2)若平面 EFN∩ 平面 PCD=直线 l,求证 :l∥PC .证明 : (2)由 (1)知平面 EFN∥ 平面 PBC,又平面 EFN∩ 平面 PCD=直线 l,平面 PBC∩ 平面 PCD=PC,所以直线 l∥PC .备选例题【 例题 】 (2014高考陕西卷 )四面体 ABCD及其三视图如图所示 ,平行于棱 AD,BC的平面分别交四面体的棱 AB,BD,DC,CA于点 E,F,G,H.(1)求四面体 ABCD的体积 ;(2)证明 :四边 形 EFGH是矩形 .(2)证明 :因为 BC∥ 平面 EFGH,平面 EFGH∩ 平面 BDC=FG,平面 EFGH∩ 平面ABC=EH,所以 BC∥FG,BC∥EH,所以 FG∥EH.同理 EF∥AD,HG∥AD,所以 EF∥HG,所以四边形 EFGH是平行四边形 .又因为 AD⊥ 平面 BDC,所以 AD⊥BC,所以 EF⊥FG,所以四边形 EFGH是矩形 .解题规范夯实 把典型问题的解决程序化空间中平行关系的证明问题第 4节 垂直关系 知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.若一条直线 a垂直于平面 α 内的无数条直线 ,则 a⊥α 吗 ?提示 :当这无数条直线相互平行时 ,a与 α 不一定垂直 .2.若 α⊥β ,则 α 内的任意直线都与 β 垂直吗 ?提示 :不一定 ,平面 α 内只有垂直于交线的直线才与 β 垂直 .知识梳理1.直线与平面垂直(1)直线与平面垂直的定义如果一条直线和一个平面内的 一条直线都垂直 ,那么称这条直线和这个平面垂直 .任何两条相交直线平行a∥b 2.二面角、平面与平面垂直(1)二面角① 二面角的定义 .从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫作二面角 .这条直线叫作二面角的 .两个半平面叫作二面角的 .如图 ,记作 :二面角 α-l-β 或二面角 α-AB-β .棱② 二面角的平面角 .以二面角的棱上任一点为端点 ,在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线 ,这两条射线所成的角叫作二面角的平面角 .(2)平面与平面的垂直① 定义 .一般地 ,两个平面相交 ,如果它们所成的二面角是 ,就说这两个平面互相垂直 .面直二面角垂线垂直夯基自测1.如果一条直线垂直于一个平面内的下列各种情况 ,能保证该直线与平面垂直的是 ( )① 三角形的两边 ;② 梯形的两边 ;③ 圆的两条直径 ;④ 平行四边形的两边.(A)①③ (B)② (C)②④ (D)①②④解析 :①③ 中的两条直线一定相交 ,所以这条直线必和两图形所在平面垂直 ,而 ②④ 中的两条直线可能平行 ,该直线和两图形所在平面不一定垂直 .A2.在空间 ,下列命题正确的是 ( )(A)平行直线在同一平面内的射影平行或重合(B)垂直于同一平面的两条直线平行(C)垂直于同一平面的两个平面平行(D)平行于同一直线的两个平面平行B 解析 :选项 A中两直线的射影也可能是两个点 ,选项 A不正确 .选项 C,D中两个平面也可能相交 ,即选项 C,D均不正确 .由线面垂直的性质定理知选项 B正确 .3.已知直线 a⊥ 平面 α,b∥α ,则 a与 b的位置关系是 ( )(A)平行 (B)垂直(C)异面 (D)以上都有可能解析 :因为 b∥α ,则 b一定平行于平面 α 内的某一条直线 c,又 a⊥α ,所以 a⊥c ,又 b∥c ,所以 a⊥b .B4.已知 α⊥β,α∩β =l,a⊥l ,则 ( )(A)a∥α (B)a⊥β(C)a⊥α (D)以上都有可能D5.PA垂直于正方形 ABCD所在平面 ,连接 PB,PC,PD,AC,BD,则下列垂直关系正确的序号有 . ① 平面 PAB⊥ 平面 PBC ② 平面 PAB⊥ 平面 PAD ③ 平面 PAB⊥ 平面 PCD ④ 平面 PAB⊥ 平面 PAC解析 :易证 BC⊥ 平面 PAB,则平面 PAB⊥ 平面 PBC;又 AD∥BC,故 AD⊥ 平面 PAB,则平面 PAD⊥ 平面 PAB.答案 :①②考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 直线与平面垂直的判定和性质 (高频考点)考查角度 1:利用定理进行逻辑推理证明 .高考扫描 :2011高考新课标全国卷 Ⅰ,2014 高考新课标全国卷 Ⅰ【 例 1】 如图 ,已知 PA⊥ 平面 ABCD,且四边形 ABCD为矩形 ,M,N分别是AB,PC的中点 .(1)求证 :MN⊥CD;转化为证线面垂直。找其它棱的中点，与直线 MN做平面是关键！(2)若 ∠ PDA=45° ,求证 :MN⊥ 平面 PCD.证明 : (2)因为 PA⊥ 平面 ABCD,所以 PA⊥AD,又 ∠ PDA=45°,所以 △ PAD为等腰直角三角形 ,又 E为 PD的中点 ,所以 AE⊥PD,又由 (1)知 CD⊥AE,所以 AE⊥ 平面 PCD.又 AE∥MN,所以 MN⊥ 平面 PCD.判定定理证明反思归纳 (1)证明线面垂直的方法① 直线和平面垂直的判定定理 .充分利用条件寻找平面内的两条相交直线和已知直线垂直 .② 常用结论 :a.两平行线中的一条与平面垂直 ,则另一条也与这个平面垂直 ;b.一条直线垂直于两平行平面中的一个 ,则与另一个也垂直 .(2)直线与平面垂直的性质 .已知线面垂直 ,则直线与平面内任意直线都垂直 .勾股定理的逆定理？(2)求点 D到面 AEC的距离 .转换三棱锥底面与高的位置反思归纳 计算证明的关键是利用几何体中的相关数据得到两直线的垂直关系 ,常与解三角形的应用相关 ,验证的主要依据就是勾股定理 .平面与平面垂直的判定和性质 (高频考点 )高考扫描 :2015高考新课标全国卷 Ⅰ,2012 高考新课标全国卷 ,2010高考新课标全国卷【 例 3】 (2015河南、河北、山西三省一模 )如图 ,三棱柱 ABC-A1B1C1的侧面 AA1B1B为正方形 ,侧面 BB1C1C为菱形 ,∠CBB 1=60° ,AB⊥B 1C.(1)求证 :平面 AA1B1B⊥ 平面 BB1C1C;(1)证明 :由侧面 AA1B1B为正方形 ,知 AB⊥BB 1,又因为 AB⊥B 1C,BB1∩B 1C=B1,所以 AB⊥ 平面 BB1C1C,又因为 AB 平面 AA1B1B,所以平面 AA1B1B⊥ 平面 BB1C1C.判定定理(2)若 AB=2,求三棱柱 ABC-A1B1C1的体积 .以侧面为底分解成几个棱锥求解简便！反思归纳 (1)判定面面垂直的方法① 面面垂直的定义 (作两平面构成二面角的平面角 ,计算其为 90°).(2)三种垂直关系的转化(3)面面垂直性质的应用① 两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据 ,运用时要注意 “ 平面内的直线 ” .② 两个相交平面同时垂直于第三个平面 ,它们的交线也垂直于第三个平面 .(1)证明 :因为四边形 ABCD为菱形 ,所以 AC⊥BD,又因为 A1O⊥ 平面 ABCD,所以 A1O⊥BD.因为 AC∩A 1O=O,所以 BD⊥ 平面 A1AC,所以 BD⊥A 1C.由已知 AA1=2,AC=2,又 AO=OC,A1O⊥AC,所以 A1C=A1A=2,所以 A1A2+A1C2=AC2,所以 A1C⊥A 1A,因为 B1B∥A 1A,所以 A1C⊥B 1B,因为 BD∩B 1B=B,所以 A1C⊥ 平面 BB1D1D.(2)求三棱锥 A-C1CD的体积 .考点三 垂直关系中的探究性问题【 例 4】 (2015河南郑州二模 )如图 ,已知三棱柱 ABC-A′B′C′ 侧棱垂直于底面 ,AB=AC,∠BAC=90 ° ,点 M,N分别为 A′B 和 B′C′ 的中点 .(1)证明 :MN∥ 平面 AA′C′C; 转化为面面平行！(2)设 AB=λAA ′, 当 λ 为何值时 ,CN⊥ 平面 A′MN, 试证明你的结论 .反思归纳 处理空间中垂直关系的探索性问题 ,一般应先根据条件猜测点或直线的位置 ,然后再给出证明 ,存在性问题可利用垂直关系和几何体中的数据构造方程 ,然后转化为方程解的存在性进行判断 .【 即时训练 】 棱长为 2的正方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,E为棱 C1D1的中点 ,F为棱 BC的中点 .(1)求证 :AE⊥DA 1;(1)证明 :连接 AD1,BC1,由正方体的性质可知 DA1⊥AD 1,DA1⊥AB,所以 DA1⊥ 平面 ABC1D1,所以 DA1⊥AE.(2)求在线段 AA1上是否存在点 G,使 AE⊥ 面 DFG?试证明你的结论 .(2)解 :存在点 G,当点 G为 A1点 ,AE⊥ 平面 DFG.证明如下 :由 (1)知 DA1⊥AE, 取 CD的中点 H,连 AH,EH.由 DF⊥AH,DF⊥EH,AH∩EH=H,得 DF⊥ 平面 AHE,所以 DF⊥AE.又因为 DF∩A 1D=D,所以 AE⊥ 平面 DFA1,即 AE⊥ 平面 DFG.考点四 折叠问题中的垂直关系【 例 5】 如图 1,在 Rt△ABC 中 ,∠C=90 ° ,D,E分别为 AC,AB的中点 ,点 F为线段 CD上的一点 .将 △ ADE沿 DE折起到 △ A1DE的位置 ,使 A1F⊥CD, 如图 2.(1)求证 :DE∥ 平面 A1CB;折叠后 DE与 CB平行吗！第 5节 简单几何体的表面积与体积知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是如何导出的 ?提示 :将其侧面展开利用平面图形面积公式求解 .2.将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别得到什么图形 ?提示 :矩形、扇形、扇环 .知识梳理πrl πr 2 π(r+r′)l 夯基自测A 1.(2014高考福建卷 )以边长为 1的正方形的一边所在直线为旋转轴 ,将该正方形旋转一周所得圆柱的侧面积等于 ( )(A)2π (B)π (C)2 (D)1解析 :所得圆柱体的底面半径为 1,母线长为 1,所以其侧面积S=2π×1×1=2π.D 3.(2015高考陕西卷 )一个几何体的三视图如图所示 ,则该几何体的表面积为 ( )(A)3π (B)4π (C)2π+4 (D)3π+4D几何体的形状？D 考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 几何体的表面积【 例 1】 (1)(2015高考新课标全国卷 Ⅰ) 圆柱被一个平面截去一部分后与半球 (半径为 r)组成一个几何体 ,该几何体三视图中的主视图和俯视图如图所示 .若该几何体的表面积为 16+20π, 则 r等于 ( )(A)1 (B)2 (C)4 (D)8 几何体的形状？几何体的度量？有哪几部分构成？如何求？几何体的三个侧面分别是什么形状？反思归纳 (1)几何体的侧面积是几何体表面积中的一部分 ,应注意两者区别 .(2)多面体的表面积是该几何体各个面的面积之和 ;求组合体的表面积时 ,应注意重合部分面积的处理 .(3)由空间几何体的三视图求其表面积 ,应先画出其直观图确定各面的形状 ,再根据三视图中的量度进行计算 .解析 : (2)由三视图可知 ,该几何体是一个球和正四棱柱构成的组合体 ,其中球的半径 r=1,正四棱柱底面边长 a=2,高 h=3.故球的表面积 S1=4πr 2=4π.正四棱柱的表面积 S2=4ah+2a2=4×2×3+2×2 2=32.所以组合体的表面积 S=S1+S2=4π+32. 故选 A.几何体的体积 (高频考点 )考查角度 1:根据简单几何体的结构特征求其体积 .高考扫描 :2015高考新课标全国卷 Ⅰ,2013 高考新课标全国卷 Ⅰ, 新课标全国卷 Ⅱ几何体的形状？三棱锥 的体积公式？反思归纳 (1)简单几何体的体积可直接代入公式求解 ,如柱体、锥体、台体及球的体积等 ;(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高 .特别要注意根据几何体的结构特征准确求解相关的基本量 .考查角度 2:根据几何体的三视图求其体积 .高考扫描 :2015高考课标全国卷 Ⅱ,2013 高考课标全国卷 Ⅰ,2012 高考课标全国卷【 例 3】 (1)(2015高考新课标全国卷 Ⅱ) 一个正方体被一个平面截去一部分后 ,剩余部分的三视图如图 ,则截去部分体积与剩余部分体积的比值为 ( )看俯视图截面过正方体上底面的对角线！看主视图截面过正方体前侧面的对角线！看侧视图截面过正方体上左侧面的对角线！反思归纳 (1)以三视图形式给出的几何体 ,应先根据三视图确定几何体的形状和构成 ,作出其直观图 ;然后再由三视图中的数据确定几何体的数字特征 .(2)求解组合体的体积 ,应根据组合体的结构特征 ,利用分割法、补形法将其转化为规则几何体的体积求解 .(3)对于棱锥常用等体积转化法求体积 .球截面直径是多少？球心到截面的距离？反思归纳 解决球与多面体 (旋转体 )接切问题的关键是确定球心在多面体 (旋转体 )中的位置 ,找到球半径 (或直径 )与几何体相关元素之间的关系 ,有时将多面体补形为正 (长 )方体再求解 .考点三 折叠与展开问题答案 :(1)C(2)如图 ,三棱锥 S-ABC中 ,SA=AB=AC=2,∠ASB=∠BSC=∠CSA=30 ° ,M,N分别为 SB,SC上的点 ,则 △ AMN周长最小值为 . 反思归纳 (1)解决折叠问题时 ,要分清折叠前后两图形中 (折叠前的平面图形和折叠后的空间图形 )元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化 ,哪些没有发生变化 .(2)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开 ,转化为平面上两点间的最短距离 .【 即时训练 】 (1)如图所示 ,已知一个多面体的平面展开图由一个边长为1的正方形和 4个边长为 1的正三角形组成 ,则该多面体的体积是 . 第 6节 空间直角坐标系知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】 1.如何确定空间中点的坐标 ?提示 :确定点在三条轴上的射影 .2.坐标轴上的点至少有几个坐标为 0,坐标平面上的点呢 ?提示 :坐标轴上的点至少有 2个坐标为 0,坐标平面内的点至少有一个坐标为 0.知识梳理1.空间直角坐标系及有关概念(1)空间直角坐标系在平面直角坐标系的基础上 ,通过原点 O,再增加一条与 xOy平面 的 z轴 ,就建立了三个维度的空间直角坐标系 O-xyz.一般将 x轴和 y轴放置在 上 ,那么 z轴就垂直于水平面 .它们的方向通常符合右手螺旋法则 1.在空间直角坐标系中 ,O叫作原点 ,x,y,z轴统称为坐标轴 .由坐标轴确定的平面叫作坐标平面 ,x,y轴确定的平面记作 xOy平面 ,y,z轴确定的平面记作 yOz平面 ,x,z轴确定的平面记作 xOz平面 .(2)空间直角坐标系中点的坐标空间中任意一点 P的坐标记为 (x,y,z),第一个是 坐标 ,第二个是 坐标 ,第三个是 坐标 .垂直水平面x yz【 重要结论 】 坐标轴上的点至少有两个坐标为 0;坐标平面内的点至少有一个坐标为 0.夯基自测1.在空间直角坐标系中 P(1,0,0)在 ( )(A)x轴上 (B)y轴上(C)yOz平面内 (D)xOz平面内解析 :因为该点的 y坐标、 z坐标为 0,所以在 x轴上 .A2.点 P(2,0,3)在空间直角坐标系中的位置是在 ( )(A)y轴上 (B)xOy平面上(C)xOz平面上 (D)yOz平面上C 解析 :结合空间直角坐标系及点 P的坐标特点 ,可知点 P在 xOz平面上 .3.点 P(1,2,3)关于 xOy面的对称点为 ( )(A)(-1,2,3) (B)(1,-2,3)(C)(1,2,-3) (D)(-1,-2,3)解析 :点 P(x,y,z)关于面 xOy的对称点为 Q(x,y,-z),即 P(1,2,3)关于面 xOy对称点为 (1,2,-3).C4.已知 A(-2,3,4),在 y轴上求一点 B,使 |AB|=6,则点 B的坐标为 ( )(A)(0,-1,0) (B)(0,-7,0)(C)(0,-1,0)或 (0,7,0) (D)(0,1,0)或 (0,-7,0)C5.点 A(-1,0,3)关于点 B(1,-1,2)的对称点的坐标为 . 答案 :(3,-2,1)考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 求空间点的坐标答案 :(1)D(2)点 A(3,2,7),B(3,5,-2)关于点 C对称 ,则 C点坐标为 . 反思归纳 求空间中点 P的坐标的方法(1)过点 P作与 x轴垂直的平面 ,垂足在 x轴上对应的数即为点 P的 x坐标 ;同理可求 y坐标、 z坐标 .(2)从点 P向三个坐标平面作垂线 ,所得点 P到三个平面的距离等于点 P的对应坐标的绝对值 ,再判断出对应数值的符号 ,进而可求得点 P的坐标 .(3)常见对称点的坐标规律点 P(x,y,z)关于各点、线、面的对称点的坐标点、线、面 对称点坐标原点 (-x,-y,-z)x轴 (x,-y,-z)y轴 (-x,y,-z)z轴 (-x,-y,z)坐标平面 xOy (x,y,-z)坐标平面 yOz (-x,y,z)坐标平面 xOz (x,-y,z)(4)若 A,B关于 C点对称 ,则 C为 AB的中点 .【 即时训练 】 已知 P(1,-2,3).(1)过 P作面 xOz的垂线 PH,垂足为 H,则 H点的坐标为 ; (2)过 P作 x轴的垂线 PQ,垂足为 Q,则 Q点坐标为 ; (3)P点关于 xOy面的对称点 A的坐标为 ; (4)P点关于 y轴的对称点 B的坐标为 . 解析 :(1)H点在 xOz面内 ,其 y坐标为 0,x坐标和 z坐标不变 ,故 H(1,0,3);(2)Q点在 x轴上 ,其 y坐标、 z坐标为 0,x坐标不变 ,故 Q(1,0,0).(3)A,P两点 x,y坐标不变 ,z坐标互为相反数 ,故 A(1,-2,-3).(4)B,P两点 y坐标不变 ,x,z坐标互为相反数 ,故B(-1,-2,-3).答案 :(1)(1,0,3) (2)(1,0,0)(3)(1,-2,-3) (4)(-1,-2,-3)考点二 空间两点间的距离公式【 例 2】 已知 P(a,b,c)(1)P点到坐标平面 xOy的距离为 ; (2)P点到 x轴的距离为 ; 解析 :(1)P到坐标平面 xOy的距离 d=|c|;(3)P在 y轴上 ,且 |OP|=2,则 P到 Q(1,0,1)的距离为 . 反思归纳 (1)求空间两点间距离的步骤① 建立坐标系 ,写出相关点的坐标 ;② 利用公式求出两点间的距离 .(2)两点间距离公式的应用① 求两点间的距离或线段的长度 ;② 已知两点间距离 ,确定坐标中参数的值 ;③ 根据已知条件探求满足条件的点的存在性 .【 即时训练 】 已知 A(1,0,2),B(1,-3,1),点 M在 z轴上 ,且 |AM|=|BM|,则 M点的坐标为 . 答案 :(0,0,-3)易混易错辨析 用心练就一双慧眼混淆对称轴与对称面导致求错点的坐标【 典例 】 已知 A(-2,3,1)关于坐标平面 yOz的对称点为 B,则 B点到C(1,0,1)的距离为 . 易错提醒 :空间中两点关于坐标平面的对称与关于坐标轴的对称易于混淆 ,如该题 ,易误认为 A,B两点 x坐标相等 ,y坐标和 z坐标互为相反数导致失误 ,所以要把握空间坐标系中点的坐标的特点 ,熟记相关结论 ,避免失误 .备选例题【 例 1】 已知一长方体 ABCD-A1B1C1D1的对称中心在坐标原点 O,交于同一顶点的三个面分别平行于三个坐标平面 ,其中顶点 A1、 B1、 C1、 D1分别位于第 Ⅰ 、 Ⅱ 、 Ⅲ 、 Ⅳ 象限 ,且棱长 AA1=2,AB=6,AD=4.求长方体各顶点的坐标 .【 例 2】 在长方体 ABCD-A1B1C1D1中 ,AB=AD=2,AA1=4,点 M在 A1C1上 ,|MC1|=2|A1M|,N在 D1C上且为 D1C中点 ,求 M,N两点间的距离 .