2017届高考数学一轮复习 必考部分 第五篇 数列 文（课件+习题）（打包8套）北师大版.zip

第五篇 数列 (必修 5)六年新课标全国卷试题分析第 1节 数列的概念及数列的函数特性知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】 1.数列 an=3n+5与 y=3x+5有何区别与联系 ?2.数列的通项公式唯一吗 ?是否每个数列都有通项公式 ?提示 :an=3n+5是特殊的函数 ,其定义域为 N*,而函数 y=3x+5的定义域为R,an=3n+5的图像是离散的点 ,且排列在函数 y=3x+5的图像上 .知识梳理1.数列的定义按照 排列的一列数叫作数列 ,数列中的每一个数叫作这个数列的 .一定次序项2.数列的分类分类原则 类型 满足条件按 项 数分 类 有 穷 数列 项 数 .无 穷 数列 项 数 .按 项 与 项间的大小关系分 类递 增数列 an+1an 其中n∈ N*递 减数列 an+10,令 an≥0, 则 -n2+10n+11≥0, 所以 -1≤n≤11,可见 ,当 n=11时 ,a11=0,故前 10或 11项和最大 .答案 :10或 11答案 :5 239第 2节 等差数列知识链条完善 把散落的知识连起来提示 :充分必要条件 .2.如何推导等差数列的通项公式 ?提示 :可用累加法 .3.如何推导等差数列的前 n项和公式 ?提示 :利用倒序相加法推导 .知识梳理1.等差数列的相关概念(1)定义 :如果一个数列从第 2项起 ,每一项与它的前一项的 都等于 常数 ,那么这个数列就叫作等差数列 .符号表示为 .(n≥2,n∈ N*,d为常数 ).差2.等差数列的通项公式(1)若等差数列 {an}的首项是 a1,公差为 d,则其通项公式为 an= .(2)通项的推广 :an=am+( )d.a1+(n-1)dn-m同一个 an-an-1=d4.等差数列 {an}的性质(1)若 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(其中 m,n,p,q∈ N*),特别地 ,若 p+q=2m,则ap+aq= (p,q,m∈ N*).(2)若等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,则 Sk,S2k-Sk,S3k-S2k,… 成等差数列 .(3)若下标成等差数列 ,则相应的项也成等差数列 ,即 ak,ak+m,ak+2m,…(k,m∈ N*)成等差数列 .(4)若等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,则 S2n-1=(2n-1)an.2am5.等差数列的增减性与最值公差 d0时为递 数列 ,且当 a10时 ,前 n项和 Sn有最 值 .增 小减 大6.等差数列与一次函数的关系由等差数列的通项公式 an=a1+(n-1)d可得 an=dn+(a1-d),如果设 p=d,q=a1-d,那么 an=pn+q,其中 p,q是常数 .当 p≠0 时 ,(n,an)在一次函数 y=px+q的图像上 ,即公差不为零的等差数列的图像是直线 y=px+q上的均匀排开的一群孤立的点 .当 p=0时 ,an=q,等差数列为常数列 ,此时数列的图像是平行于 x轴的直线 (或 x轴 )上的均匀排开的一群孤立的点 .【 拓展提升 】1.等差数列 {an}中 ,若 am=n,an=m,则 am+n=0.2.等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,若 Sm=Sn(m≠n ),则 Sm+n=0.3.等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,若 Sm=n,Sn=m,则 Sm+n=-(m+n).夯基自测1.(2015高考新课标全国卷 Ⅱ) 设 Sn是等差数列 {an}的前 n项和 ,若 a1+a3+a5=3,则 S5等于 ( )(A)5 (B)7 (C)9 (D)11AC D解析 :设数列的首项为 a1,则 a1+2 015=2×1 010=2 020,所以 a1=5,故该数列的首项为 5.4.(2015高考陕西卷 )中位数为 1 010的一组数构成等差数列 ,其末项为2 015,则该数列的首项为 . 答案 :5答案 :27考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 等差数列的基本量运算解析 :(1)根据已知得 a1+2d=7且 6a1+15d=51,消去 a1,解得 d=3.故选 B.【 例 1】 (1)(2015榆林模拟 )等差数列 {an}前 n项和为 Sn,a3=7,S6=51,则公差 d的值为 ( )(A)2 (B)3 (C)-3 (D)4答案 :(1)B如何列方程组？解析 : (2)由 2d=a3-a1=5-1=4得 d=2,所以 an=1+(n-1)×2=2n-1,由 Sk+2-Sk=ak+2+ak+1=2(k+2)-1+2(k+1)-1=4k+4=36,得 k=8.故选 A.(2)(2015河南三市联考 )设 Sn为等差数列 {an}的前 n项和 ,a1=1,a3=5,Sk+2-Sk=36,则 k的值为 ( )(A)8 (B)7 (C)6 (D)5答案 :(2)A(3)若等差数列的前 6项和为 23,前 9项和为 57,则数列的前 n项和 Sn= . 反思归纳 等差数列基本运算的方法策略(1)等差数列中包含 a1,d,n,an,Sn五个量 ,可知三求二 .解决这些问题一般设基本量 a1,d,利用等差数列的通项公式与求和公式列方程 (组 )求解 ,体现方程思想 .解析 :(1)因为 a1=0,所以 ak=(k-1)d,所以 a1+a2+a3+…+a 7=(1+2+3+4+5+6)d=21d=(k-1)d,所以 k=22.故选 A.【 即时训练 】 (1)(2015河南六市第一次联考 )在等差数列 {an}中 ,首项a1=0,公差 d≠0, 若 ak=a1+a2+a3+…+a 7,则 k等于 ( )(A)22 (B)23 (C)24 (D)25(2)(2015郑州第一次质量预测 )等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,且S3=6,a3=0,则公差 d等于 ( )(A)-1 (B)1 (C)2 (D)-2等差数列的判断与证明【 例 2】 (2014高考新课标全国卷 Ⅰ) 已知数列 {an}的前 n项和为 Sn,a1=1,an≠0,a nan+1=λS n-1,其中 λ 为常数 .(1)证明 :an+2-an=λ;(1)证明 :由题设 ,anan+1=λS n-1,an+1an+2=λS n+1-1.两式相减得 an+1(an+2-an)=λa n+1.由于 an+1≠0, 所以 an+2-an=λ.由 Sn于 an的关系式，用什么方法解题？(2)是否存在 λ, 使得 {an}为等差数列 ?并说明理由 .(2)解 :存在满足题意的 λ, 由题设 ,a1=1,a1a2=λS 1-1,可得 a2=λ-1.由 (1)知 ,a3=λ+1,令 2a2=a1+a3,解得 λ=4.故 an+2-an=4,由此可得{a2n-1}是首项为 1,公差为 4的等差数列 ,a2n-1=4n-3;{a2n}是首项为 3,公差为 4的等差数列 ,a2n=4n-1.所以 an=2n-1,an+1-an=2.因此存在 λ=4, 使得数列 {an}为等差数列 .等差数列求参数，先求数列的前三项，再用中项性质反思归纳 判定数列 {an}是等差数列的常用方法(1)定义法 :对任意 n∈ N*,an+1-an是同一个常数 ;(2)等差中项法 :对任意 n≥2,n∈ N*,满足 2an=an+1+an-1;(3)通项公式法 :数列的通项公式 an是 n的一次函数 ;(4)前 n项和公式法 :数列的前 n项和公式 Sn是 n的二次函数 ,且常数项为 0.(2)求 Sn及 an.考点三 等差数列的性质答案 :(1)B等差数列的性质？答案 :(2)D(2)(2015兰州高三诊断 )已知等差数列 {an}的前 n项和为 Sn,若 a4=18-a5,则 S8等于 ( )(A)18 (B)36 (C)54 (D)72答案 :(3)60(3)等差数列 {an}的前 m项和为 30,前 3m项和为 90,则它的前 2m项和为 . 反思归纳 一般地 ,运用等差数列性质可以优化解题过程 ,但要注意性质运用的条件 ,如 m+n=p+q,则 am+an=ap+aq(m,m,p,q∈ N*).答案 :(1)B 【 即时训练 】 (1)等差数列 {an}中 ,a1+a7=26,a3+a9=18,则数列 {an}的前 9项和为 ( )(A)66 (B)99 (C)144 (D)297答案 :(2)B (2)设 Sn是公差不为零的等差数列 {an}的前 n项和 ,且 a10,若 S5=S9,则当 Sn最大时 ,n等于 ( )(A)6 (B)7 (C)8 (D)9解析 : (2)因为 S5=S9,所以 a6+a7+a8+a9=0.又 a6+a9=a7+a8,所以 a7+a8=0,又 a10,所以 a70,a80.所以当 n=7时 Sn最大 .故选 B.答案 :(3)10 (3)(2015高考广东卷 )在等差数列 {an}中 ,若 a3+a4+a5+a6+a7=25,则 a2+a8=. 解析 : (3)因为 {an}是等差数列 ,所以 a3+a7=a4+a6=a2+a8=2a5,a3+a4+a5+a6+a7=5a5=25,即 a5=5,a2+a8=2a5=10.第 3节 等比数列知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.如何推导等比数列的通项公式 ?采用什么方法 ?提示 :可采用累积法推导 .2.b2=ac是 a,b,c成等比数列的什么条件 ?提示 :必要而不充分条件 ,因为 b2=ac时 ,不一定有 a,b,c成等比数列 (如 a=0,b=0,c=1),而 a,b,c成等比数列 ,则必有 b2=ac.3.如何推导等比数列的前 n项和公式 ?采用了什么方法 ?提示 :可用错位相减法推导 .知识梳理同一个 公比 ab2.等比数列的通项公式(1)设等比数列 {an}的首项为 a1,公比为 q,q≠0, 则它的通项公式 an=.(2)通项公式的推广an=am· .a1qn-1qn-m(3)在等比数列 {an}中 ,等距离取出若干项也构成一个等比数列 ,即an,an+k,an+2k,an+3k,… 为等比数列 ,公比为 qk.(4)公比不为 -1的等比数列 {an}的前 n项和为 Sn,则 Sn,S2n-Sn,S3n-S2n仍成等比数列 ,其公比为 qn,当公比为 -1时 ,Sn,S2n-Sn,S3n-S2n不一定构成等比数列.5.等比数列的单调性当 q1,a10或 01,a10时{an}是递减数列 ;当 q=1时 ,{an}是常数列 .夯基自测1.等比数列 x,3x+3,6x+6,… 的第四项等于 ( )(A)-24 (B)0 (C)12 (D)24AC A答案 :15.在等比数列 {an}中 ,各项均为正值 ,且 a6a10+a3a5=41,a4a8=5,则 a4+a8= . 考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 等比数列的基本运算想到方程的思想反思归纳 等比数列基本运算的方法策略(1)将条件用 a1,q表示 ,在表示 Sn时要注意判断 q是否为 1;(2)解方程 (组 )求出 a1,q,消元时要注意两式相除和整体代入 ;(3)利用 a1,q研究结论 .【 即时训练 】 (1)在等比数列 {an}中 ,若 a4-a2=6,a5-a1=15,则 a3= . 答案 :(1)4或 -4答案 :(2)28等比数列的判定与证明如何利用定义法证明？(3)求数列 {an}的通项公式 .反思归纳(2)等比中项法 :若数列 {an}中 ,an≠0 且 =an·a n+2(n∈ N*),则数列 {an}是等比数列 .(3)通项公式法 :若数列通项公式写成 an=c·q n(c,q均是不为 0的常数 ,n∈N*),则数列 {an}是等比数列 .(4)前 n项和公式法 :若数列 {an}的前 n项和 Sn=k·q n-k(k为常数且k≠0,q≠0,1),则数列 {an}是等比数列 .如果判定某数列不是等比数列 ,只需判定其任意的连续三项不成等比数列即可 .【 即时训练 】 设数列 {an}的前 n项和为 Sn,已知 a1=1,Sn+1=4an+2.(1)设 bn=an+1-2an,证明 :数列 {bn}是等比数列 ;(2)求数列 {an}的通项公式 .考点三 等比数列的性质及应用解析 :(1)因为 a7(a1+2a3)+a3a9=a1a7+2a3a7+a3a9=+2a4a6+=(a4+a6)2=100.故选 C.【 例 3】 (1)(2015河南六市第二次联考 )已知数列 {an}为等比数列 ,若a4+a6=10,则 a7(a1+2a3)+a3a9的值为 ( )(A)10 (B)20 (C)100 (D)200答案 :(1)C答案 :(2)9(2)(2015高考福建卷 )若 a,b是函数 f(x)=x2-px+q(p0,q0)的两个不同的零点 ,且 a,b,-2这三个数可适当排序后成等差数列 ,也可适当排序后成等比数列 ,则 p+q的值等于 . 反思归纳 在等比数列的基本运算问题中 ,一般是利用通项公式与前 n项和公式 ,建立方程 (组 )求解 ,但如果灵活运用等比数列的性质 ,可减少运算量 ,提高解题速度 .备选例题【 例 1】 (2015郑州市第三次质量预测 )已知等比数列 {an}中 ,a2=1,则其前 3项的和 S3的取值范围是 ( )(A)(-∞,-1] (B)(-∞,-1)∪(1,+∞)(C)[3,+∞) (D)(-∞,-1]∪[3,+∞)【 例 2】 (2015江西九江二模 )如图是一个 “ 直角三角形数阵 ” ,已知它的每一行从左往右的数均成等差数列 ,同时从左往右的第三列起 ,每一列从上往下的数成等比数列 ,且所有等比数列的公比相等 .记数阵第 i行第 j列的数为 aij(i≤j,i,j∈ N+),则 a68等于 ( )第 4节 数列求和及综合应用知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】数列求和有哪些方法 ?提示 :公式法、倒序相加法、裂项相消法、分组求和法、错位相减法 .知识梳理1.数列求和的基本方法(1)公式法直接用等差、等比数列的求和公式求解 .(2)倒序相加法如果一个数列 {an}满足与首末两项等 “ 距离 ” 的两项的和相等 (或等于同一常数 ),那么求这个数列的前 n项和 ,可用倒序相加法 .(3)裂项相消法把数列的通项拆成两项之差 ,在求和时中间的一些项可以相互抵消 ,从而求得其和 .(4)分组求和法一个数列的通项公式是由几个等差或等比或可求和的数列的通项公式组成 ,求和时可用分组求和法 ,分别求和而后相加 .熟记公式，最基本的要求(5)并项求和法一个数列的前 n项和中 ,若项与项之间能两两结合求解 ,则称之为并项求和 .形如 an=(-1)nf(n)类型 ,可采用并项法求解 .(6)错位相减法如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的 ,那么这个数列的前 n项和可用此法来求 ,如等比数列的前 n项和公式就是用此法推导的 .2.数列应用题的常见模型(1)等差模型 :当增加 (或减少 )的量是一个固定量时 ,该模型是等差模型 ,增加 (或减少 )的量就是公差 .(2)等比模型 :当后一个量与前一个量的比是一个固定的数时 ,该模型是等比模型 ,这个固定的数就是公比 .(3)递推模型 :找到数列中任一项与它前面项之间的递推关系式 ,可由递推关系入手解决实际问题 ,该模型是递推模型 .等差模型、等比模型是该模型的两个特例 .夯基自测1.(2015高考浙江卷 )已知 {an}是等差数列 ,公差 d不为零 ,前 n项和是 Sn,若a3,a4,a8成等比数列 ,则 ( )(A)a1d0,dS40 (B)a1d0,dS40BA C解析 :由已知可得 a1=4,a2=f(a1)=f(4)=2,a3=f(a2)=f(2)=4,所以数列 {an}为周期数列 ,an+2=an,所以 a2 015=a2×1 007+1 =a1=4.故选 C.5.3× 2-1+4× 2-2+5× 2-3+…+(n+2) · 2-n= . 考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 数列求和 (高频考点 )考查角度 1:分组法求和 .【 例 1】 (2016哈师大附中月考 )已知数列 {an},{bn}满足 a1=5,an=2an-1+3n-1(n≥2,n∈ N*),bn=an-3n(n∈ N*).(1)求数列 {bn}的通项公式 ; 先确定 {bn}是什么数列，再求通项(2)求数列 {an}的前 n项和 Sn.先求 an，再确定求和方法反思归纳 分组法求和的常见类型(1)若 an=bn±c n,且 {bn},{cn}为等差或等比数列 ,可采用分组法求 {an}的前 n项和 .考查角度 2:裂项相消法 .高考扫描 :2013高考新课标全国卷 Ⅰ【 例 2】 (2015宁夏石嘴山高三联考 )已知各项都不相等的等差数列 {an}的前 7项和为 70,且 a3为 a1和 a7的等比中项 .(1)求数列 {an}的通项公式 ;列方程组求基本量先求 bn,后确定方法反思归纳(2)利用裂项相消法求和时 ,应注意抵消后不一定只剩下第一项和最后一项,也有可能前面剩两项 ,后面也剩两项 ,再就是将通项公式裂项后 ,有时候需要调整前面的系数 ,使前后相等 .考查角度 3:错位相减法求和 .高考扫描 :2014高考新课标全国卷 Ⅰ【例 3】 (2015东北三校第二次联考 )已知数列 {an}的前 n项和为 Sn,且a1=2,an+1=Sn+2,n∈ N*.(1)求数列 {an}的通项公式 ;构造法不要漏掉 n=1 的情况！(2)设 bn=n· an,求数列 {bn}的前 n项和 Tn.体现错位，幂指数相同的作差中间 n项反思归纳 错位相减法求和策略(1)如果数列 {an}是等差数列 ,{bn}是等比数列 ,求数列 {an·b n}的前 n项和时 ,可采用错位相减法 ,一般是和式两边同乘以等比数列 {bn}的公比 ,然后作差求解 .(2)在写 “ Sn” 与 “ qSn” 的表达式时应特别注意将两式 “ 错项对齐 ”以便下一步准确写出 “ Sn-qSn” 的表达式 .(3)在应用错位相减法求和时 ,若等比数列的公比为参数 ,应分公比等于 1和不等于 1两种情况求解 .数列与函数、不等式的综合列方程组求基本量构造法求 bn(2)若 λb nan对 n∈ N*均成立 ,求实数 λ 的取值范围 .分离参数转化成求最值问题反思归纳 (1)数列与函数的综合问题主要有以下两类 :① 已知函数条件 ,解决数列问题 ,一般利用函数的性质、图像 ;② 已知数列条件 ,解决函数问题 ,一般要充分利用数列的范围、公式、求和方法对式子化简变形 .(2)数列与不等式的恒成立问题 .此类问题常构造函数 ,通过函数的单调性、最值等解决问题 .(3)与数列有关的不等式证明问题 .解决此类问题要灵活选择不等式的证明方法 ,如比较法、综合法、分析法、放缩法等 .(1)证明 :由题意得 Sn=2an-2,所以 Sn-1=2an-1-2(n≥2,n∈N *).两式相减得 an=2an-2an-1,即 an=2an-1(n≥2,n∈N *).又 a1=S1=2a1-2,所以 a1=2.所以数列 {an}是以 2为首项 ,2为公比的等比数列 .(2)设数列 {bn}满足 bn=an+1-an,求数列 {bn}的前 n项和 Tn.(2)解 :法一 由 (1)得 an=2·2 n-1=2n,所以 Tn=(a2-a1)+(a3-a2)+(a4-a3)+…+(a n+1-an)=an+1-a1=2n+1-2.法二 由 (1)得 an=2·2 n-1=2n,则 bn=an+1-an=2n+1-2n=2n=an.故 Tn=Sn=2an-2=2n+1-2.备选例题【 例 2】 (2015河南省六市第二次联考 )已知数列 {an}的首项为 a1=1,a2=3,且满足对任意的 n∈ N*,都有 an+1-an≤2 n,an+2-an≥3 × 2n成立 ,则 a2 015= . 解析 :因为 an-an+2≤-3×2 n, ①an+1-an≤2 n. ②① 式与 ② 式相加得 an+1-an+2≤-2 n+1,所以 an+2-an+1≥2 n+1. ③又 an+2-an+1≤2 n+1. ④由 ③ 和 ④ 可得 an+2-an+1=2n+1,所以 an+1-an=2n.利用累加法可求得 an+1-a1=2n+2n-1+…+2 1=2n+1-2,所以 an+1=2n+1-1,所以 an=2n-1.所以 a2 015=22 015-1.答案 :22 015-1【 例 3】 (2015河南六市第一次联考 )已知 {an}是一个公差大于 0的等差数列 ,且满足 a3a5=45,a2+a6=14.(1)求数列 {an}的通项公式 ;解 :(1)设等差数列 {an}的公差为 d,由题意知 d0.由 a2+a6=14,可得 a4=7.由 a3a5=45,得 (7-d)(7+d)=45,可得 d=2.所以 a1=7-3d=1.可得 an=2n-1.【 例 4】 (2015石家庄一模 )设数列 {an}的前 n项和为Sn,a1=1,an+1=λS n+1(n∈ N*,λ≠-1), 且 a1,2a2,a3+3为等差数列 {bn}的前三项 .(1)求数列 {an},{bn}的通项公式 ;解 :(1)因为 an+1=λS n+1(n∈ N*),所以 an=λS n-1+1(n≥2),所以 an+1-an=λa n,即 an+1=(λ+1)a n(n≥2),λ+1≠0,又 a1=1,a2=λS 1+1=λ+1,所以数列 {an}为以 1为首项 ,公比为 λ+1 的等比数列 ,所以 a3=(λ+1) 2,所以 4(λ+1)=1+(λ+1) 2+3,整理得 λ 2-2λ+1=0, 得 λ=1.所以 an=2n-1,bn=1+3(n-1)=3n-2.1第五篇 数列(必修 5)第 1 节 数列的概念及数列的函数特性【选题明细表】 知识点、方法 题号观察法求通项 1,7由相邻项的关系求通项 3,4,13,14an与 Sn的关系 2,8,10数列的函数特性 5,9,12综合问题 6,11,15基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016 宜春校级模拟)已知数列 , , , , ,…,则 5 是它的( C )5 11172329 5(A)第 19 项 (B)第 20 项 (C)第 21 项 (D)第 22 项解析:数列 , , , , ,…,中的各项可变形为:5 11172329, , , , ,…,5 5+6 5+2×6 5+3×6 5+4×6所以通项公式为 an= = ,5+6(𝑛‒1) 6𝑛‒1令 =5 ,得 n=21.6𝑛‒1 52.设数列{a n}的前 n 项和 Sn=n2,则 a8的值为( A )(A)15 (B)16 (C)49 (D)64解析:由 a8=S8-S7=64-49=15.3.对于数列{a n},a1=4,an+1=f(an),依照下表则 a2 015等于( D )x 1 2 3 4 5f(x) 5 4 3 1 2(A)2 (B)3 (C)4 (D)5解析:由题意 a2=f(a1)=f(4)=1,a3=f(a2)=f(1)=5,a4=f(a3)=f(5)=2,a5=f(a4)=f(2)=4,a6=f(a5)=f(4)=1.则数列{a n}的项周期性出现,其周期为 4,a2 015=a4×503+3=a3=5.4.(2016 吉林校级模拟)已知 a1=1,an+1= ,则数列{a n}的通项为 an等于( C )𝑎𝑛3𝑎𝑛+1(A) (B)2n-112𝑛‒1(C) (D)3n-213𝑛‒2解析:因为 an+1= ,𝑎𝑛3𝑎𝑛+1所以 3an+1an=an-an+1,两边同除以 an+1an2得 3= - ,1𝑎𝑛+11𝑎𝑛由 a1=1,所以 =1,1𝑎1所以数列{ }是首项为 1,公差为 3 的等差数列,1𝑎𝑛所以 =1+3(n-1)=3n-2,1𝑎𝑛所以 an= .13𝑛‒25.设 an=-3n2+15n-18,则数列{a n}中的最大项的值是( D )(A) (B) (C)4 (D)0163 133解析:a n=-3(n- )2+ ,52 34由二次函数性质,得当 n=2 或 n=3 时,a n取最大值,最大值为 a2=a3=0.6.(2015 衢州一模)数列{a n}满足 an=n2+kn+2,若不等式 an≥a 4恒成立,则实数 k 的取值范围是( B )(A)[-9,-8] (B)[-9,-7](C)(-9,-8) (D)(-9,-7)解析:a n=n2+kn+2=（n+ ） 2+2- ,𝑘2 𝑘24因为不等式 an≥a 4恒成立,所以 3.5≤- ≤4.5,𝑘2解得-9≤k≤-7.7.数列- , ,- , ,…的一个通项公式为 . 21×2 42×3 83×4 164×5解析:观察各项知,其通项公式可以为 an= .(‒2)𝑛𝑛(𝑛+1)答案:a n=(‒2)𝑛𝑛(𝑛+1)8.(2015 红河州一模)已知数列{a n}的前 n 项和为 Sn,且 a1=1,Sn=an+1-1,则 an= . 解析:由 Sn=an+1-1,Sn+1=an+2-1,所以 an+1=an+2-an+1,所以 an+2=2an+1.又 a1=S1=a2-1,解得 a2=2=2a1,3所以数列{a n}是等比数列,所以 an=2n-1.答案:2 n-19.已知数列{a n}的通项 an=n2(7-n)(n∈N *),则 an的最大值是 . 解析:设 f(x)=x2(7-x)=-x3+7x2,当 x0 时,由 f′(x)=-3x 2+14x=0 得,x= .143当 00,143则 f(x)在 上单调递增,(0,143)当 x 时,f′(x)0 时,f(x) max=f .(143)又 n∈N *,40,an0,解得 n6 或 n6(n∈N *)时,a n0.令 n2-n-3012). {an}是递减数列,则实数 a 的取值范围是( C )(A)( ,1) (B)( , ) (C)（ , ） (D)（ ,1）12 1234 1223 34解析:由已知可知 1-2aa13=1,解得 a1.综上,所求的 a 的取值范围是[-9,3)∪(3,+∞).精彩 5 分钟1.(2015 衡水四模)已知数列{a n}满足 a1=1,且 an= an-1+( )n(n≥2,且 n∈N *),则数列{a n}的13 13通项公式为( B )(A)an= (B)an=3𝑛𝑛+2 𝑛+23𝑛6(C)an=n+2 (D)an=(n+2)3n解题关键:对 an= an-1+( )n两边同除以( )n,构造等差数列.13 13 13解析:因为 an= an-1+（ ） n(n≥2,且 n∈N *)⇔ = +1,即 bn= ,则数列{b n}为13 13𝑎𝑛(13) 𝑛𝑎𝑛‒1(13) 𝑛‒1𝑎𝑛(13) 𝑛首项 b1= =3a1=3,公差为 1 的等差数列,𝑎113所以 bn=b1+(n-1)×1=3+n-1=n+2,所以 an= .𝑛+23𝑛2.(2015 湖北模拟)已知函数 f(x)是定义在 R 上的奇函数,当 x≤0 时,f(x)=x(1-x),若数列{an}满足 a1= ,且 an+1= ,则 f(a11)等于( A )12 11‒𝑎𝑛(A)6 (B)-6 (C)2 (D)-2解题关键:求出 a11;再根据 a11的正负选用解析式.解析:设 x0,则-x0,因为 f(x)是定义在 R 上的奇函数,所以 f(x)=-f(-x)=-[-x(1+x)]=x(1+x).由 a1= ,且 an+1= ,12 11‒𝑎𝑛所以 a2= = =2,11‒𝑎1 11‒12a3= = =-1,11‒𝑎2 11‒2a4= = = .11‒𝑎3 11‒(‒1)12…所以数列{a n}是以 3 为周期的周期数列,则 a11=a3×3+2=a2=2.所以 f(a11)=f(2)=2×(2+1)=6.1第 2节 等差数列【选题明细表】 知识点、方法 题号等差数列的判定与证明 13,14等差数列的基本运算 1,4,10等差数列的性质 2,3,7,9等差数列的单调性及最值 5,8,12等差数列的综合应用 6,11,15基础对点练(时间:30 分钟)1.(2016昆明一中月考)设 Sn为等差数列{a n}的前 n项和,若 a3=3,S9-S6=27,则该数列的首项 a1等于( D )(A)- (B)- (C) (D)65 35 65 35解析:由 得{𝑎1+2𝑑=3,9𝑎1+36𝑑‒(6𝑎1+15𝑑)=27 {𝑎1+2𝑑=3,𝑎1+7𝑑=9,解得 a1= .故选 D.352.(2015河北石家庄二模)已知数列{a n}为等差数列,且 a1+a7+a13=4,则 a2+a12的值为( B )(A) (B) (C)2 (D)443 83解析:因为 a1+a7+a13=3a7=4,所以 a7= .43所以 a2+a12=2a7=2× = .43833.(2015云南第二次检测)设 Sn是等差数列{a n}的前 n项和,若 a1∶a 2=1∶2,则 S1∶S 3等于( D )(A)1∶3 (B)1∶4 (C)1∶5 (D)1∶6解析:因为 S3= =3a2,3(𝑎1+𝑎3)2又因为 a1∶a 2=1∶2,所以 S1∶S 3=a1∶3a 2=1∶6.4.(2015云南第二次检测)设 Sn是等差数列{a n}的前 n项和,若 = ,则 等于( D )𝑎5𝑎373𝑆5𝑆3(A) (B) (C)4 (D)573 3592解析:因为 = ,𝑎5𝑎373所以 = ,解得 a1=- .𝑎1+4𝑑𝑎1+2𝑑73 𝑑2所以 = = = =5.𝑆5𝑆35(𝑎1+𝑎5)23(𝑎1+𝑎3)2 5𝑎33𝑎25·3𝑑23·𝑑25.设等差数列{a n}的前 n项和为 Sn,若 a2=-9,a3+a7=-6,则当 Sn取得最小值时,n 等于( D )(A)9 (B)8 (C)7 (D)6解析:因为 a3+a7=2a5=-6,所以 a5=-3,所以 d=2,所以 a6=-1,a7=1,所以 S6最小.故选 D.6.(2014高考辽宁卷)设等差数列{a n}的公差为 d,若数列{ }为递减数列,则( D )2𝑎1𝑎𝑛(A)d0 (B)d0(D)a1d0,a7+a100,即 a80.又 a8+a9=a7+a100,S180,17·(𝑎1+𝑎17)2所以 a90,又 S18=9(a1+a18)=9(a9+a10)0, 0,…, 0, a2…a9,所以 , ,…, 中最大的项为 .𝑆1𝑎1𝑆2𝑎2𝑆15𝑎15𝑆9𝑎913.正项数列{a n}满足:a 1=1,a2=2,2 = + (n∈N *,n≥2), 则 a7= . 𝑎2𝑛𝑎2𝑛+1𝑎2𝑛‒15解析:因为 2 = + (n∈N *,n≥2),所以数列{ }是以 =1为首项,以 d= - =4-1=3𝑎2𝑛𝑎2𝑛+1𝑎2𝑛‒1 𝑎2𝑛 𝑎21 𝑎22𝑎21为公差的等差数列,所以 =1+3(n-1)=3n-2,所以 an= ,n≥1.所以 a7= = .𝑎2𝑛 3𝑛‒2 3×7‒2 19答案: 1914.已知等差数列的前三项依次为 a,4,3a,前 n项和为 Sn,且 Sk=110.(1)求 a及 k的值;(2)设数列{b n}的通项公式 bn= ,证明数列{b n}是等差数列,并求其前 n项和 Tn.𝑆𝑛𝑛解:(1)设该等差数列为{a n},则 a1=a,a2=4,a3=3a,由已知有 a+3a=8,得 a1=a=2,公差 d=4-2=2,所以 Sk=ka1+ ·d=2k+ ×2=k2+k.𝑘(𝑘‒1)2 𝑘(𝑘‒1)2由 Sk=110,得k2+k-110=0,解得 k=10或 k=-11(舍去),故 a=2,k=10.(2)由(1)得 Sn= =n(n+1),𝑛(2+2𝑛)2则 bn= =n+1,𝑆𝑛𝑛故 bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,即数列{b n}是首项为 2,公差为 1的等差数列,所以 Tn= = .𝑛(2+𝑛+1)2 𝑛(𝑛+3)215.(2015南昌模拟)已知数列{a n}满足 a1=1,an= (n∈N *,n≥2),数列{b n}满足关系𝑎𝑛‒12𝑎𝑛‒1+1式 bn= (n∈N *).1𝑎𝑛(1)求证:数列{b n}为等差数列;(2)求数列{a n}的通项公式.(1)证明:因为 bn= ,且 an= ,1𝑎𝑛 𝑎𝑛‒12𝑎𝑛‒1+1所以 bn+1= = = .1𝑎𝑛+11𝑎𝑛2𝑎𝑛+12𝑎𝑛+1𝑎𝑛6所以 bn+1-bn= - =2.2𝑎𝑛+1𝑎𝑛 1𝑎𝑛又 b1= =1,1𝑎1所以数列{b n}是首项为 1,公差为 2的等差数列.(2)解:由(1)知数列{b n}的通项公式为bn=1+(n-1)×2=2n-1,又 bn= ,1𝑎𝑛所以 an= = .1𝑏𝑛 12𝑛‒1所以数列{a n}的通项公式为 an= .12𝑛‒1精彩 5分钟1.(2015江西校级二模)已知函数 f(x)=x2-2x+4,数列{a n}是公差为 d的等差数列,若a1=f(d-1),a3=f(d+1),则{a n}的通项公式为( B )(A)2n-2 (B)2n+1 (C)2n+3 (D)n+2解题关键:解决本题的关键是构建方程求出 d.解:因为 f(x)=x2-2x+4,所以 a1=f(d-1)=(d-1)2-2(d-1)+4=d2-4d+7,a3=f(d+1)=(d+1)2-2(d+1)+4=d2+3,所以 a3-a1=4d-4,即 2d=4d-4,解得 d=2,所以 a1=3,所以 an=3+2(n-1)=2n+1.2.等差数列{a n}满足 a3=3,a6=-3,则数列{a n}的前 n项和 Sn的最大值为 . 解题关键:解出 a1和 d,采用 Sn=An2+Bn利用函数求最值,也可利用通项公式求最值.解析:法一 由 a3=3,a6=-3得,{𝑎1+2𝑑=3,𝑎1+5𝑑=‒3,解得 {𝑎1=7,𝑑=‒2.所以 Sn=na1+ d=-n2+8n=-(n-4)2+16.𝑛(𝑛‒1)2所以当 n=4时 Sn取最大值 16.法二 由 a3=3,a6=-3得{𝑎1+2𝑑=3,𝑎1+5𝑑=‒3,解得 {𝑎1=7,𝑑=‒2,7所以 an=9-2n.则 n≤4 时,a n0,当 n≥5 时,a n0,故前 4项和最大且 S4=4×7+ ×(-2)=16.4×32答案:161第 3节 等比数列【选题明细表】 知识点、方法 题号等比数列的判定与证明 6,10,14等比数列的基本运算 1,5,7,9等比、等差数列的综合 2,4,11等比数列的性质 8,13等比数列与其他知识的综合 3,12,15基础对点练(时间:30 分钟)1.(2015沈阳模拟)已知数列{a n}是等比数列,且 a1= ,a4=-1,则{a n}的公比 q为( C )18(A)2 (B)- (C)-2 (D)12 12解析:由 =q3=-8⇒q=-2.𝑎4𝑎12.(2015商丘一模)公差不为零的等差数列{a n}中,2a 3- +2a11=0,数列{b n}是等比数列,且𝑎27b7=a7,则 b6b8等于( D )(A)2 (B)4 (C)8 (D)16解析:由等差数列的性质,2a 3- +2a11=0得𝑎27=2(a3+a11)=4a7,𝑎27所以 a7=4或 a7=0.由数列{b n}是等比数列,且 b7=a7,所以 b7=4,所以 b6b8= =16.𝑏273.(2015山东一模)已知正数组成的等比数列{a n},若 a1·a20=100,那么 a7+a14的最小值为( A )(A)20 (B)25 (C)50 (D)不存在解析:因为正数组成的等比数列{a n},a1·a20=100,所以 a7+a14≥2 =2 =2 =20.𝑎7𝑎14 𝑎1𝑎20 100当且仅当 a7=a14时,a 7+a14取最小值 20.4.(2015湛江一模)已知等比数列{a n}的各项均为正数,且公比 q≠1,若 a2, a3,a1成等差数12列,则公比 q等于( D )2(A) 或 (B)1+32 1‒ 32 1+32(C) 或 (D)1+52 1‒ 52 1+52解析:因为 a2, a3,a1成等差数列,12所以 2× a3=a1+a2,12即 a3=a1+a2,因为等比数列{a n}的各项均为正数,且公比 q≠1,所以 a1q2=a1+a1q,化简得 q2-q-1=0,解得 q= 或 q= (舍去).1+52 1‒ 525.在等比数列{a n}中,a 1=1,公比为 q,且|q|≠1,若 am=a1a2a3a4a5,则 m等于( C )(A)9 (B)10 (C)11 (D)12解析:因为 a1=1,所以 am=a1a2a3a4a5=q·q2·q3·q4=q10,即 am=a1·q10,所以 m=11.6.(2015奉贤区一模)已知数列{a n}的首项 a1=1,an+1=3Sn(n∈N *),则下列结论正确的是( B )(A)数列{a n}是等比数列(B)数列 a2,a3,…,an是等比数列(C)数列{a n}是等差数列(D)数列 a2,a3,…,an是等差数列解析:由 an+1=3Sn(n≥1),得an=3Sn-1(n≥2),两式作差得 an+1-an=3an(n≥2),即 an+1=4an(n≥2),因为 a1=1,an+1=3Sn(n≥1),所以 a2=3,所以数列 a2,a3,…,an是公比为 4的等比数列.7.已知等比数列{a n}的公比为正数,且 a2·a6=9a4,a2=1,则 a1= . 解析:由 a2·a6=9a4得 a2(a2q4)=9a2q2,解得 q2=9,所以 q=3或 q=-3(舍去),所以由 a2=a1q,得 a1= = .𝑎2𝑞13答案:138.等比数列{a n}的首项 a1=-1,前 n项和为 Sn,若 = ,则{a n}的通项公式 an= . 𝑆10𝑆531323解析:因为 = ,𝑆10𝑆53132所以 =- ,𝑆10‒𝑆5𝑆5 132因为 S5,S10-S5,S15-S10成等比数列,且公比为 q5,所以 q5=- ,q=- ,132 12则 an=-1×（- ） n-1=-（- ） n-1.12 12答案:-(- )n-1129.(2015扬州期末)等比数列{a n}中,S n是其前 n项和,S 3=7,S6=63.(1)求 an;(2)记数列{S n}的前 n项和为 Tn,求 Tn.解:(1)若 q=1,则 S6=2S3,与已知矛盾,所以 q≠1,则{𝑆3=𝑎1(1‒𝑞3)1‒𝑞 =7,𝑆6=𝑎1(1‒𝑞6)1‒𝑞 =63,解得 即 an=2n-1.{𝑎1=1,𝑞=2,(2)由(1),求得 Sn=2n-1,于是 Tn=21-1+22-1+…+2n-1= -n=2n+1-n-2.2(1‒2𝑛)1‒210.(2015蓟县期中)已知数列{a n}的首项 a1=5,Sn+1=2Sn+n+5(n∈N *).(1)证明:数列{a n+1}是等比数列;(2)求数列{a n}的通项公式 an.(1)证明:因为 Sn+1=2Sn+n+5,所以当 n≥2 时,S n=2Sn-1+n-1+5,两式相减可得 Sn+1-Sn=2(Sn-Sn-1)+1(n≥2),即 an+1=2an+1,所以 = =2,𝑎𝑛+1+1𝑎𝑛+12(𝑎𝑛+1)𝑎𝑛+1又当 n=1时,S 2=2S1+1+5=16,所以 a2=S2-S1=16-5=11,所以 = =2,𝑎2+1𝑎1+111+15+14所以数列{a n+1}是以 6为首项,2 为公比的等比数列.(2)解:由(1)知 a1+1=6,所以 an+1=6×2n-1=3×2n,所以 an=3×2n-1.能力提升练(时间:15 分钟)11.(2015宣城三模)在等比数列{a n}中,S n是它的前 n项和,若 a2·a3=2a1,且 a4与 2a7的等差中项为 17,则 S6等于( A )(A) (B)16 (C)15 (D)634 614解析:设等比数列{a n}的公比为 q,由等比数列的性质可得a1·a4=a2·a3=2a1,解得 a4=2,由 a4与 2a7的等差中项为 17可得a4+2a7=2×17,解得 a7= (2×17-a4)=16,所以 q3= = =8,12 𝑎7𝑎4162解得 q=2.所以 a1= = = ,𝑎4𝑞322314所以 S6= = .14(1‒26)1‒2 63412.(2015重庆一模)已知正项等比数列{a n}满足 a7=a6+2a5,若存在两项 am,an使得=4a1,则 + 的最小值为 . 𝑎𝑚𝑎𝑛1𝑚4𝑛解析:设等比数列{a n}的首项为 a1,公比为 q,因为 a7=a6+2a5,则 a1·q6=a1·q5+2a1q4,即 q2-q-2=0,解得 q=2或 q=-1(舍去),若 =4a1,𝑎𝑚𝑎𝑛则 a1qm-1a1qn-1=16 ,𝑎21解得 m+n=6.则 6( + )=(m+n)( + )=5+( + )≥5+4=9,1𝑚4𝑛 1𝑚4𝑛 𝑛𝑚4𝑚𝑛则 + ≥ = .1𝑚4𝑛 96325当且仅当 = 即 m=2且 n=4时取等号.𝑛𝑚4𝑚𝑛答案:3213.设数列{a n},{bn}都是正项等比数列,S n,Tn分别为数列{lg a n}与{lg b n}的前 n项和,且= ,则 lo a5= . 𝑆𝑛𝑇𝑛 𝑛2𝑛+1 𝑔𝑏5解析:设正项数列{a n}的公比为 q,正项数列{b n}的公比为 p,则数列{lg a n}是公差为 lg q的等差数列,{lg b n}是公差为 lg p的等差数列.故 Sn=nlg a1+ lg q.𝑛(𝑛‒1)2Tn=nlg b1+ lg p.𝑛(𝑛‒1)2又 =𝑆𝑛𝑇𝑛 𝑛2𝑛+1= .𝑙𝑔 𝑎1+𝑛‒12 𝑙𝑔𝑞𝑙𝑔 𝑏1+𝑛‒12 𝑙𝑔𝑝所以 lo a5= = = = .𝑔𝑏5𝑙𝑔 𝑎5𝑙𝑔 𝑏5𝑙𝑔 𝑎1+4𝑙𝑔𝑞𝑙𝑔 𝑏1+4𝑙𝑔𝑝𝑆9𝑇9919答案:91914.(2014高考江西卷)已知数列{a n}的前 n项和 Sn= ,n∈N *.3𝑛2‒𝑛2(1)求数列{a n}的通项公式;(2)证明:对任意的 n1,都存在 m∈N *,使得 a1,an,am成等比数列.(1)解:由 Sn= ,3𝑛2‒𝑛2得 a1=S1=1,当 n≥2 时,a n=Sn-Sn-1=3n-2,所以数列{a n}的通项公式为:a n=3n-2.(2)证明:要使得 a1,an,am成等比数列,只需要 =a1·am,𝑎2𝑛即(3n-2) 2=1·(3m-2),即 m=3n2-4n+2,而此时 m∈N *,且 mn.所以对任意的 n1,都存在 m∈N *,6使得 a1,an,am成等比数列.15.(2015宜昌校级二模)在等比数列{a n}中,其前 n项和为 Sn,已知 a3= ,S3= ,32 92(1)求数列{a n}的通项公式;(2)是否存在正整数 n,使得 Sn-Sn+2= 成立,若存在,求出 n的值,若不存在,请说明理由.332解:(1)设等比数列的公比为 q,依题意,有 a1q2= ,a1+a1q+a1q2= ,32 92解得 a1= ,q=1或 a1=6,q=- ,32 12故数列{a n}的通项公式为 an= 或 an=6·(- )n-1.32 12(2)假设存在正整数 n,使得 Sn-Sn+2= 成立,332①当 a1= ,q=1时,由 Sn-Sn+2=32 332⇒ n- (n+2)= ,无解;32 32 332②当 a1=6,q=- 时,12Sn=4[1-(- )n],12由 Sn-Sn+2= ⇒(- )n=- ⇒n=5.332 12 132综合①②知,存在正整数 n=5,使得 Sn-Sn+2= 成立.332精彩 5分钟1.(2015上饶二模)三个实数 a,b,c成等比数列,若 a+b+c=1成立,则 b的取值范围是( D )(A)(0, ] (B)[-1, ]13 13(C)[- ,0） (D)[-1,0)∪(0, ]13 13解题关键:把 a,c用 b与公比 q表示,由 a+b+c=1进而得出 b关于 q的函数,利用基本不等式即可求出范围.解析:因为三个实数 a,b,c成等比数列,可设 ,b,bq,𝑏𝑞因为 a+b+a=1成立,所以 +b+bq=1,𝑏𝑞所以 b= = ,𝑞𝑞2+𝑞+1 1𝑞+1𝑞+17因为 q+ ∈(-∞,-2]∪[2,+∞),1𝑞所以 b∈[-1,0)∪（0, ].132.(2015日照二模)函数 y= 的图像上存在不同的三点到原点的距离构成等比数9‒(𝑥‒5)2列,则以下不可能成为等比数列的公比的数是( D )(A) (B) (C) (D)34 2 3 5解题关键:由图像上的点到原点的距离的最大值、最小值,求出公比的最大值、最小值.解析:函数 y= 等价于9‒(𝑥‒5)2 {(𝑥‒5)2+𝑦2=9,𝑦≥0, 表示圆心在(5,0),半径为 3的上半圆(如图所示),圆上点到原点的最短距离为 2(点(2,0)处),最大距离为 8(点(8,0)处),若存在三点成等比数列,则最大的公比 q应有 8=2q2,即 q2=4,q=2,最小的公比应满足 2=8q2,即 q2= ,解得 q= .14 12又不同的三点到原点的距离不相等,故 q≠1,所以公比的取值范围为 ≤q≤2,且 q≠1.12