2017届高考数学一轮复习 必考部分 第三篇 三角函数、解三角形 文（课件+习题）（打包12套）北师大版.zip

第三篇 三角函数、解三角形 (必修 4、必修 5)六年新课标全国卷试题分析高考考点、示例分布 图 命 题 特点1.从高考 题 型、 题 量来看 ,一般有两种方式 :三个小 题 或一个小 题 另加一个解答 题 ,分 值上大 约 占 17分左右 .2.客 观题 主要考 查 :三角函数的定 义 ,图 象与性 质 ,同角三角函数关系 ,诱导 公式 ,和、差、倍角公式 ,正、余弦定理等知 识 .3.难 度 较 大的客 观题 ,主要在知 识 点的交 汇处 命制 ,如向量与三角的 结 合、正、余弦定理与三角恒等 变换 的 结 合等 ,主要考 查 数形 结合、 转 化与化 归 思想 .4.解答 题 涉及知 识 点 较为综 合 .在一个解答题 中涉及三角函数 图 象与性 质 、三角恒等 变换 与解三角形知 识较为 常 见 .第 1节 任意角和弧度制及任意角的三角函数最新考纲2.能 进 行弧度与角度的互化 .3.理解任意角的三角函数 (正弦、余弦、正切 )的定 义 . 1.了解任意角的概念和弧度制的概念 . 知识链条完善考点专项突破易混易错辨析知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.终边相同的角一定相等吗 ?提示 :不一定 ,因为终边相同的角有无数个 ,它们之间相差 360° 的整数倍 .2.若已知角 α 终边上任意一点 P(x,y)(原点除外 ),你能用 x,y表示角α 的正弦、余弦、正切吗 ?知识梳理1.角的有关概念(1)角的形成角可以看成平面内一条射线绕着端点从一个位置 到另一个位置所成的 .角的正负由方向确定角的象限由终边确定旋转图形(2)角的分类 (3)所有与角 α 终边相同的角 ,连同角 α 在内 ,可构成一个集合 :S={β|β = }或 {β|β =α+2kπ,k∈ Z}.α+k·360°,k∈ Z记住公式，注意换算2.弧度制(1)定义在单位圆中 ,长度为 1的弧所对的圆心角称为 1弧度角 ,单位 rad,读作弧度 ,这种用弧度作为单位来度量角的单位制叫作弧度制 .(3)规定正角的弧度数是一个 ,负角的弧度数是一个 ,零角的弧度数是0.正数 负数(2)三角函数值在各象限内符号为正的口诀一全正 ,二正弦 ,三正切 ,四余弦 .(3)几何表示三角函数线可以看作是三角函数的几何表示 .正弦线的起点都在 x轴上 ,余弦线的起点都是原点 ,正切线的起点都是 (1,0).如图中有向线段 MP、 OM、 AT分别叫作角 α 的 、余弦线、 .正弦线 正切线角的三角函数由点的坐标来定义注意：是有向线段 ！夯基自测B确定角的终边位置D确定象限，后求值3.若 sin α0, 则 α 是 ( )(A)第一象限角 (B)第二象限角(C)第三象限角 (D)第四象限角解析 :由 sin α0 知 α 的终边在第一或第三象限 ,故 α 是第三象限角 .C逐个判断，后求交集4.若 α 与 β 的终边关于 x轴对称 ,则有 ( )(A)α+β =90°(B)α+β =90°+k·360°,k∈ Z(C)α+β =2k·180°,k∈ Z(D)α+β =180°+k·360°,k∈ Z解析 :因为 α 与 β 的终边关于 x轴对称 ,所以 β=2k·180°-α,k∈ Z.C 5.弧长为 3π, 圆心角为 135° 的扇形半径为 ,面积为 . 答案 :4 6π准确利用公式考点专项突破 在讲练中理解知识象限角与终边相同的角考点一 可用列举法，也可根据 k为奇数偶数分析答案 :(1)B 答案： (2)一、三、四利用不等式的性质确定范围，然后判断象限反思归纳 (1)利用终边相同的角的集合可以求适合某些条件的角 ,方法是先写出与这个角的终边相同的所有角的集合 ,然后通过对集合中的参数 k赋值来求得所需的角 .(2)利用终边相同的角的集合 S={β|β =2kπ+α,k∈ Z}判断一个角 β 所在的象限时 ,只需把这个角写成 [0,2π) 范围内的一个角 α 与 2π 的整数倍的和 ,然后判断角 α 的象限 .弧度制及扇形面积公式的应用考点二【 例 2】 已知扇形的圆心角是 α, 半径是 r,弧长为 l,(1)若 α=100°,r=2, 求扇形的面积 ; 转换为弧度制后直接套用公式(2)若扇形的周长为 20,求扇形面积的最大值 ,并求此时扇形圆心角的弧度数 .利用二次函数求最值【 即时训练 】 (2015莆田模拟 )已知扇形的面积为 2,扇形圆心角的弧度数是 4,则扇形的周长为 ( )(A)2 (B)4 (C)6 (D)8三角函数的定义及应用考点三【 例 3】 (1)(2016汉中模拟 )已知角 α 的终边经过点 (3a-9,a+2),且cos α≤0,sin α0, 则实数 a的取值范围是 ( )(A)(-2,3] (B)(-2,3)(C)[-2,3) (D)[-2,3]答案 :(1)A 利用定义求三角函数，列不等式组求交集(2)(2015济南质检 )已知角 α 终边经过点 P(2sin 2,-2cos 2),则sin α= . 答案 :(2)-cos 2定义法求！反思归纳 (1)三角函数定义中的关键是求 r,若终边上的点同时在单位圆上 ,则 r=1.(2)根据三角函数定义中 x,y的符号来确定各象限三角函数的符号 ,理解并记忆 :“ 一全正、二正弦、三正切、四余弦 ” .【 即时训练 】 sin 2·cos 3·tan 4 的值 ( )(A)小于 0 (B)大于 0(C)等于 0 (D)不存在解析 :因为 sin 20,cos 30,所以 sin 2·cos 3·tan 40. 故选 A.备选例题【 例 1】 已知锐角 α 的终边上一点 P(sin 40°,1+cos 40°), 则锐角 α等于 ( )(A)80° (B)70° (C)20° (D)10°答案 :【 例 4】 (2015临沂模拟 )顶点在原点 ,始边在 x轴的正半轴上的角 α,β的终边与圆心在原点的单位圆交于 A,B两点 ,若 α=30°,β=60°, 则弦AB的长为 . 第 2节 同角三角函数的基本关系与诱导公式知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.同角三角函数的基本关系中 ,对任意角均成立吗 ?提示 :负角化正角 ,大角化小角 ,再求值 .2.诱导公式的功能是什么 ?知识梳理1.同角三角函数的基本关系式(1)平方关系sin2 α+cos 2 α= ;1 熟记基本关系式！cos α -cos α -tan α 夯基自测B利用诱导公式化为锐角的三角函数！DAC考点专项突破 在讲练中理解知识同角三角函数的基本关系考点一答案 :(1)D 结合同角三角函数关系列方程组如何化为已知的正切值？(2)关系式的逆用及变形用 :1=sin2α+cos 2α,sin 2α=1-cos 2α,cos2α=1-sin 2α.(3)sin α,cos α 的齐次式的应用 :分式中分子与分母是关于 sin α,cos α 的齐次式 ,或含有 sin2α,cos 2α 及 sin αcos α 的式子求值时 ,可将所求式子的分母看作 “ 1”, 利用 “ sin2α+cos 2α=1” 代换后转化为 “ 切 ” 后求解 .答案 :(1)B 三角函数的诱导公式考点二诱导公式化简注意角所在的象限反思归纳 利用诱导公式化简三角函数的思路和要求(1)思路方法 :① 分析结构特点 ,选择恰当公式 ;② 利用公式化成单角三角函数 ;③ 整理得最简形式 .(2)化简要求 :① 化简过程是恒等变形 ;② 结果要求项数尽可能少 ,次数尽可能低 ,结构尽可能简单 ,能求值的要求出值 .诱导公式与同角关系的综合应用考点三答案 :A先诱导公式，后同角关系答案 :(2)-1先诱导公式，后同角关系反思归纳 熟练运用诱导公式和同角三角函数基本关系 ,并确定相应三角函数值的符号是解题的关键 .另外 ,切化弦是常用的规律技巧 .答案 : (1)D 备选例题类题探源精析 把复杂的问题简单化同角关系与诱导公式结合解题方法总结 三角函数式化简目标方向(1)用同角关系中切弦互化 ,统一函数名 .(2)用诱导公式统一角 .(3)用因式分解将式子变形 ,化为最简 .第 3节 三角函数的图像与性质 知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.所有的周期函数都有最小正周期吗 ?提示 :不是所有的周期函数都有最小正周期 .如函数 f(x)=c(c为常数 )的周期为任意非零实数 ,但没有最小正周期 .2.正切函数 y=tan x在定义域是增函数吗 ?知识梳理正弦函数、余弦函数、正切函数的图像和性质2kπ(k∈ Z) (kπ,0)(k∈ Z) 奇函数 偶函数 奇函数 (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半周期 .夯基自测DCB考点专项突破 在讲练中理解知识三角函数的定义域与简单的三角不等式考点一 被开方数的范围？(2)不等式 2sin x-1≥0 的解集为 . 先求出［ 0,2π] 的范围，再求 R上范围？注意不要漏掉 k∈Z ② 转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域 .(2)简单三角不等式的解法① 利用三角函数的图象求解 .② 利用三角函数线求解 .三角函数的值域或最值考点二答案 :(1)1,0 先确定角的范围再求值(2)函数 f(x)=1-2sin2x+2cos x的值域为 . 先化为同名三角函数，利用二次函数求值域注意三角函数值的范围！反思归纳 三角函数值域的三种求法① 直接法 :利用 sin x,cos x的值域 .② 化一法 :化为 y=Asin(ωx + )+k的形式逐步分析 ωx + 的范围 ,根据正弦函数单调性写出函数的值域 .③ 换元法 :把 sin x或 cos x看作一个整体 ,可化为求函数在给定区间上的值域 (最值 )问题 .答案 :(1)B 三角函数的性质 (高频考点 )考点三考查角度 1:三角函数的奇偶性与周期性 .高考扫描 :2014高考新课标全国卷 Ⅰsinα ， cosα 的奇偶性、周期？利用二倍角公式化简反思归纳 奇偶性与周期性的判断方法(1)奇偶性 :由正、余弦函数的奇偶性可判断 y=Asin ωx 和 y=Acos ωx分别为奇函数和偶函数考查角度 2:三角函数的单调性 .高考扫描 :2015高考新课标全国卷 Ⅰ整体代入 tanx的单调区间解不等式已知区间是 f(x)增区间的子集，解不等式反思归纳 已知三角函数的单调区间求参数的取值范围的三种方法(1)求出原函数的相应单调区间 ,由已知区间是所求某区间的子集 ,列不等式 (组 )求解 .(2)由所给区间求出整体角的范围 ,由该范围是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集 ,列不等式 (组 )求解 .考查角度 3:三角函数的对称性 .高考扫描 :2012高考新课标全国卷对称轴处的函数值是多少？第 4节 函数 y=Asin(ωx+ )的图 像 及应用知识链条完善 把散落的知识连起来提示 :有两种方法 :一是用五点作图法 ,列表、描点、连线成图 ,二是由y=sin x平移伸缩变换得到 .2.如果将函数 y=Asin ωx 的图像向左平移 m个单位或向右平移 m(m0)个单位 ,得函数 y=Asin(ωx+m )或 y=Asin(ωx-m )的图象吗 ?提示 :不是 ,常说的 “ 左加右减 ” 指的是向左平移 m个单位时 ,x加上 m,向右平移 m个单位时 ,x减去 m,而不是 ωx 加上或减去 m,即由 y=Asin ωx向左平移 m个单位得 y=Asin [ω(x+m )],由 y=Asin ωx 向右平移 m个单位得 y=Asin [ω(x-m )].3.利用图像变换作图时 “ 先平移 ,后伸缩 ” 与 “ 先伸缩 ,后平移 ” 中平移长度一致吗 ?知识梳理2.在正弦函数图像、余弦函数图像中 ,相邻的两个对称中心以及相邻的两条对称轴之间的距离均为半个周期 .3.正弦函数和余弦函数一定在对称轴处取得最值 .夯基自测B B A D 考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 哪五个点？(2)说明此图象是由 y=sin x的图像经过怎么样的变化得到的 .先确定变换的顺序反思归纳反思归纳答案 : (1)A 考点三 三角函数模型的应用(2)求实验室这一天的最大温差 .反思归纳 三角函数模型在实际中的应用体现在两个方面 ,一是已知函数模型 ,利用三角函数的有关性质解决问题 ,其关键是准确理解自变量的意义及自变量与函数之间的对应法则 .二是把实际问题抽象转化成数学问题 ,建立三角函数模型 ,再利用三角函数的有关知识解决问题 ,其关键是建模 .第 5节 三角恒等变换1.会用向量的数量 积 推 导 出两角差的余弦公式 .2.会用两角差的余弦公式推 导出两角差的正弦、正切公式 .3.会用两角差的余弦公式推 导 出两角和的正弦、余弦、正切公式和二倍角的正弦、余弦、正切公式 ,了解它 们 的内在 联 系 .4.能运用上述公式 进 行 简单 的恒等 变换 (包括 导 出 积 化和差、和差化 积 、半角公式 ,但不要求 记忆 ).最新考纲知识链条完善 把散落的知识连起来2.一般情况下 ,tan 2α≠2tan α, 但是否存在 α, 使得 tan 2α=2tan α?知识梳理1.两角和与差的正弦、余弦、正切公式(1)两角和与差的余弦公式cos(α+β )= , cos(α-β )= . (2)两角和与差的正弦公式sin(α+β )= , sin(α-β )= . cos αcos β-sin αsin βcos αcos β+sin αsin βsin αcos β+cos αsin βsin αcos β-cos αsin β2.二倍角的正弦、余弦和正切公式(1)二倍角的正弦公式sin 2α= . (2)二倍角的余弦公式cos 2α= =2cos2α-1=1-2sin 2α.2sin αcos αcos2α-sin 2αtan(α ± β )(1∓tan α tan β )夯基自测D D A C 考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 三角函数式的化简、求值答案 : (1)C 反思归纳 三角函数式的化简常用方法(1)善于发现角之间的差别与联系 ,合理对角拆分 ,恰当选择三角公式 ,能求值的求出值 ,减少角的个数 .(2)统一三角函数名称 ,利用诱导公式切弦互化、二倍角公式等实现名称的统一 .反思归纳 已知三角函数值 ,求三角函数式值的一般思路(1)先化简所求式子 ;(2)观察已知条件与所求式子之间的联系 (从三角函数名及角入手 );(3)将已知条件代入所求式子 ,化简求值 .答案 : (1)A 考点三 三角函数的给值求角问题(2)求 β 的值 .反思归纳 (1)解决给值求角问题的一般步骤是 :① 求角的某一个三角函数值 ;② 确定角的范围 ;③ 根据角的范围写出要求的角 .(2)在求角的某个三角函数值时 ,应注意根据条件选择恰当的函数 ,尽量做到所选函数在确定角的范围内为一对一函数 .① 已知正切函数值 ,选正切函数 ;答案 : (1)C 考点四 三角恒等变换的综合应用 (高频考点 )考查角度 1:与三角函数的图像及性质相结合命题 .第 6节 正弦定理和余弦定理及其应用1.掌握正弦定理、余弦定理 ,并能解决一些 简单 的三角形度量 问题.2.能 够 运用正弦定理、余弦定理等知 识 和方法解决一些与 测 量和几何 计 算有关的 实际问题 .最新考纲知识链条完善 把散落的知识连起来【 教材导读 】1.已知 △ ABC中的三边 ,如何判断三角形是锐角、钝角、直角三角形的形状 .提示 :利用余弦定理可判断出最大边所对的角的余弦值的正负 ,从而判断出三角形是锐角、钝角、直角三角形的形状 .2.在三角形 ABC中 ,“AB” 是 “ sin Asin B” 的什么条件 ?“AB”是 “ cos AB” 是 “ sin Asin B” 的充要条件,“AB” 是 “ cos Ac2” 是 “△ ABC为锐角三角形 ” 的什么 条件 ?提示 :“a 2+b2c2” 是 “△ ABC为锐角三角形 ” 的必要不充分条件 .知识梳理1.正弦定理和余弦定理b2+c2-2bccos Ac2+a2-2cacos Ba2+b2-2abcos C2Rsin B 2Rsin C sin B 3.解三角形在测量中的常见题型(1)利用正弦定理和余弦定理解三角形的常见题型有 :测量距离问题、测量高度问题、测量角度问题、计算面积问题、航海问题、物理问题等 .(2)有关测量中的几个术语① 仰角和俯角 :与目标视线同在一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角 ,目标视线在水平视线上方时叫 ,目标视线在水平视线下方时叫 .(如图 (1)所示 )② 方位角 :一般指从正北方向顺时针到目标方向线的水平角 ,如方位角 45° ,是指北偏东 45° ,即东北方向 .③ 坡角 :坡面与水平面的夹角 .仰角俯角【 拓展提升 】在 △ ABC中 ,常有以下结论 :(1)∠A+∠B+∠C=π.(2)任意两边之和大于第三边 ,任意两边之差小于第三边 .(4)tan A+tan B+tan C=tan A· tan B· tan C.(5)∠A∠B ⇔ ab⇔ sin Asin B⇔ cos Acos B.夯基自测A C 3.(2015石景山区模拟 )已知 △ ABC的三个内角满足 sin A∶sin B∶sin C=5∶11∶13, 则 △ ABC是 ( )(A)等腰三角形 (B)锐角三角形(C)直角三角形 (D)钝角三角形D 答案 :30°③ 错误 .当已知三个角时不能求三边 .答案 :②④考点专项突破 在讲练中理解知识考点一 正、余弦定理应用 (高频考点 )答案 :(2)4反思归纳 利用正、余弦定理解三角形关键是根据已知条件及所求结论确定三角形及所需应用的定理 ,有时需结合图形分析求解 ,有时需根据三角函数值的有界性、三角形中大边对大角等确定解的个数 .反思归纳(2)与面积有关的问题 ,一般是用正弦定理或余弦定理进行边角的转化 ,得到两边乘积 ,再整体代入 .【 例 3】 在 △ ABC中 ,a,b,c分别为内角 A,B,C的对边 ,且 2a· sin A=(2b-c)sin B+(2c-b)sin C.(1)求角 A的大小 ;反思归纳 判定三角形形状的两种常用途径 :(1)通过正弦定理和余弦定理 ,化边为角 ,利用三角变换得出三角形内角之间的关系进行判断 .(2)利用正弦定理、余弦定理 ,化角为边 ,通过代数恒等变换 ,求出三条边之间的关系进行判断 .考点三 用正、余弦定理解决实际问题【 例 4】 (1)(2016广州七区联考 )某观察站 C与两灯塔 A,B的距离分别为300米和 500米 ,测得灯塔 A在观察站 C北偏东 30° ,灯塔 B在观察站 C南偏东30° 处 ,则两灯塔 A,B间的距离为 . 答案 : (1)700米 (2)(2015高考湖北卷 )如图 ,一辆汽车在一条水平的公路上向正西行驶 ,到 A处时测得公路北侧一山顶 D在西偏北 30° 的方向上 ,行驶 600 m后到达 B处 ,测得此山顶在西偏北 75° 的方向上 ,仰角为 30° ,则此山的高度 CD= m. 反思归纳 利用正、余弦定理解决实际问题的一般步骤(1)分析 —— 理解题意 ,分清已知与未知 ,画出示意图 ;(2)建模 —— 根据已知条件与求解目标 ,把已知量与求解量尽量集中在有关的三角形中 ,建立一个解斜三角形的数学模型 ;(3)求解 —— 利用正弦定理或余弦定理有序地解出三角形 ,求得数学模型的解 ;(4)检验 —— 检验上述所求的解是否符合实际意义 ,从而得出实际问题的解 .【 即时训练 】 如图所示 ,一艘海轮从 A处出发 ,测得灯塔在海轮的北偏东15° 方向 ,与海轮相距 20海里的 B处 ,海轮按北偏西 60° 的方向航行了 30分钟后到达 C处 ,又测得灯塔在海轮的北偏东 75° 的方向 ,则海轮的速度为 海里 /分钟 . 备选例题【 例 1】 在 △ ABC中 ,a,b,c分别是角 A,B,C所对的边 ,且 a=c+bcos C.(1)求角 B的大小 ;1第三篇 三角函数、解三角形(必修 4、必修 5)第 1 节 任意角和弧度制及任意角的三角函数【选题明细表】 知识点、方法 题号象限角、终边相同的角 1,2,6弧度制、扇形弧长、面积公式 4,7,14,16三角函数的定义 3,5,8,9,10,13综合应用 11,12,15基础对点练(时间:30 分钟)1.下列说法中,正确的是( C )(A)小于 的角是锐角𝜋2(B)第一象限的角不可能是负角(C)终边相同的两个角的差是 360°的整数倍(D)若 α 是第一象限角,则 2α 是第二象限角解析:锐角的范围是（0, ）,小于 的角还有零角和负角,𝜋2 𝜋2A 不正确;-300°角的终边就落在第一象限,所以 B 不正确;C 正确;若 α 是第一象限的角,则 k·360°0,所以 = ,4𝑚264𝑚2+9 125即 m= .126.若角 α 的终边在直线 y=-x 上,则角 α 的取值集合为( D )(A){α|α=k·360°-45°,k∈Z}(B){α|α=k·2π+ π,k∈Z}34(C){α|α=k·π+ π,k∈Z}34(D){α|α=k·π- ,k∈Z}𝜋4解析:角 α 的取值集合为{α|α=2nπ+ π,n∈Z}∪{α|α=2nπ- ,n∈Z}34 𝜋4={α|α=(2n+1)π- ,n∈Z}∪{α|α=2nπ- ,n∈Z}𝜋4 𝜋4={α|α=kπ- ,k∈Z}.𝜋47.-300°角的弧度数是 . 3解析:-300°角的弧度数是-300× =- π.𝜋18053答案:- π538.已知点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,则角 θ 是第 象限角. 解析:因为点 P(sin θcos θ,2cos θ)位于第三象限,所以 sin θcos θ0,𝑐𝑜𝑠𝜃0,tan α0,又因为 α∈[0,2π],所以( , )∪(π, ).𝜋4𝜋2 5𝜋413.(2015 龙岩模拟)下列各选项中正确的是( D )(A)sin 300°0 (B)cos(-305°)0 (D)sin 100;因为- π=-8π+ π,223 23所以- π 是第二象限角,则 tan(- π)0;223 223因为 3π10 π,72所以 10 是第三象限角,sin 100.14.一扇形的圆心角为 120°,则此扇形的面积与其内切圆的面积之比为 . 解析:设扇形半径为 R,内切圆半径为 r.则(R-r)sin 60°=r,即 R=(1+ )r.233又 S 扇 = |α|R 2= × ×R2= R2= πr 2,12 12 2𝜋3 𝜋3 7+439所以 = .𝑆扇𝜋𝑟27+439答案:(7+4 )∶9315.角 α 的终边上的点 P 与 A(a,b)关于 x 轴对称(a≠0,b≠0),角 β 的终边上的点 Q 与 A关于直线 y=x 对称,求 + + 的值.𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽 1𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽解:由题意得 P(a,-b),Q(b,a),所以 sin α= ,cos α= ,‒𝑏𝑎2+𝑏2 𝑎𝑎2+𝑏2tan α=- ,𝑏𝑎sin β= ,𝑎𝑎2+𝑏26cos β= ,tan β= ,𝑏𝑎2+𝑏2 𝑎𝑏所以 + + =-1- + =0.𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛽𝑡𝑎𝑛𝛼𝑡𝑎𝑛𝛽 1𝑐𝑜𝑠𝛼𝑠𝑖𝑛𝛽 𝑏2𝑎2𝑎2+𝑏2𝑎216.如图所示,动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点 P 按逆时针方向每秒钟转 弧度,点𝜋3Q 按顺时针方向每秒钟转 弧度,求点 P,点 Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及𝜋6P,Q 点各自走过的弧长.解:设 P,Q 第一次相遇时所用的时间是 t,则 t· +t·|- |=2π.𝜋3 𝜋6所以 t=4(秒),即第一次相遇所用的时间为 4 秒.设第一次相遇点为 C,第一次相遇时 P 点和 Q 点已运动到终边在 ·4= 的位置,𝜋3 4𝜋3则 xC=4·cos =-2,4𝜋3yC=4·sin =-2 .4𝜋3 3所以 C 点的坐标为(-2,-2 ).3P 点走过的弧长为 π·4= π,43 163Q 点走过的弧长为 π·4= π.23 83精彩 5 分钟1.若 α 是第三象限角,则 y= + 的值为( A )|𝑠𝑖𝑛 𝛼2|𝑠𝑖𝑛 𝛼2|𝑐𝑜𝑠 𝛼2|𝑐𝑜𝑠 𝛼2(A)0 (B)2(C)-2 (D)2 或-2解题关键:解答本题关键是对 所在象限分类讨论.𝛼2解析:因为 α 是第三象限角,7所以 2kπ+πα2kπ+ π(k∈Z),32所以 kπ+ kπ+ (k∈Z),𝜋2𝛼2 3𝜋4所以角 终边在第二象限或第四象限.𝛼2当 终边在第二象限时 ,𝛼2y= - =0,𝑠𝑖𝑛 𝛼2𝑠𝑖𝑛 𝛼2𝑐𝑜𝑠 𝛼2𝑐𝑜𝑠 𝛼2当 终边在第四象限时 ,y= + =0,𝛼2‒𝑠𝑖𝑛 𝛼2𝑠𝑖𝑛 𝛼2𝑐𝑜𝑠 𝛼2𝑐𝑜𝑠 𝛼2综上,y=0.2.已知角 α 的终边经过点(1,-1),始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,则角 α 的取值集合为 . 解题关键:先由角 α 的终边经过点(1,-1)在[0,2π)或(-2π,0]内确定一个角,再加上2kπ(k∈Z).解析:终边经过点(1,-1),在[-2π,0)内,取 β=- ,𝜋4所以角 α 的取值集合即与 β 终边相同的角的集合,可表示为{α|α=- +2kπ,k∈Z}.𝜋4答案:{α|α=- +2kπ,k∈Z}𝜋41第 2 节 同角三角函数的基本关系与诱导公式【选题明细表】 知识点、方法 题号同角三角函数关系 1,5,8,10,11诱导公式 2,3,7,9诱导公式在三角形中应用 6,13,14,15综合应用问题 4,12,16基础对点练(时间:30 分钟)1.(2015 青岛模拟)已知 α 是第四象限角,sin α=- ,则 tan α 等于( C )1213(A)- (B) (C)- (D)513 513 125 125解析:因为 α 是第四象限角,sin α=- ,1213所以 cos α= = ,1‒𝑠𝑖𝑛2𝛼513故 tan α= =- .故选 C.𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼 1252.(2015 石家庄一模)已知 cos α=k,k∈R,α∈（ ,π） ,则 sin(π+α)等于( A )𝜋2(A)- (B)1‒𝑘2 1‒𝑘2(C)± (D)-k1‒𝑘2解析:由 cos α=k,α∈（ ,π）得 sin α= ,𝜋2 1‒𝑘2所以 sin(π+α)=-sin α=- .故选 A.1‒𝑘23.若 cos（ +α）=- ,则 sin（α- ）等于( A )𝜋3 13 𝜋6(A) (B)- (C) (D)-13 13 233 233解析:因为（ +α）-（α- ）= ,𝜋3 𝜋6 𝜋2即 α- =（ +α）- ,𝜋6 𝜋3 𝜋2所以 sin（α- ）=sin[( +α)- ]𝜋6 𝜋3 𝜋2=-sin[ -( +α)]𝜋2 𝜋32=-cos( +α)𝜋3= .13故选 A.4.(2016 临沂模拟)已知 cos( - )= ,且| | ,则 tan 等于( D )𝜋232 𝜋2 (A)- (B) (C)- (D)33 33 3 3解析:cos( - )=sin = ,𝜋232又因为| | ,𝜋2所以 = ,𝜋3所以 tan = .故选 D.35.(2015 雅安模拟)已知 tan α=2,则 7sin2α+3cos 2α 等于( D )(A) (B) (C) (D)15 115 215 315解析:7sin 2α+3cos 2α= = = = .故选 D.7𝑠𝑖𝑛2𝛼+3𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼 7𝑡𝑎𝑛2𝛼+3𝑡𝑎𝑛2𝛼+1 7×22+322+1 3156.在△ABC 中, sin( -A)=3sin(π-A), 且 cos A=- cos(π-B),则 C 等于( C )3𝜋2 3(A) (B) (C) (D)𝜋3 𝜋4 𝜋2 2𝜋3解析:因为 sin( -A)=3sin(π-A),3𝜋2所以 cos A=3sin A,3所以 tan A= ,33又 0Aπ,所以 A= .𝜋6又因为 cos A=- cos(π-B),3即 cos A= cos B,3所以 cos B= cos = ,13 𝜋612又 0Bπ,所以 B= .𝜋33所以 C=π-(A+B)= .故选 C.𝜋27.(2015 厦门模拟)已知 sin( +α)= ,α 是第四象限角,则 sin α= . 𝜋2 13解析:sin( +α)=cos α= ,𝜋2 13因为 α 是第四象限角,所以 sin α=- =- .1‒𝑐𝑜𝑠2𝛼223答案:-2238.(2015 高考四川卷)已知 sin α+2cos α=0,则 2sin αcos α-cos2α 的值是 . 解析:sin α+2cos α=0⇔tan α=-2,所以 2sin αcos α-cos 2α=2𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼‒𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼=2𝑡𝑎𝑛𝛼‒1𝑡𝑎𝑛2𝛼+1=‒4‒14+1=-1.答案:-19.(2015 衡阳模拟)已知 tan α=2,则 = . 𝑠𝑖𝑛(𝛼+3𝜋)+𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝛼)𝑠𝑖𝑛(‒𝛼)‒𝑐𝑜𝑠(𝜋+𝛼)解析:原式= ,然后再上下同时除以 cos α,得到 =3.‒𝑠𝑖𝑛𝛼+(‒𝑐𝑜𝑠𝛼)‒𝑠𝑖𝑛𝛼+𝑐𝑜𝑠𝛼 ‒𝑡𝑎𝑛𝛼‒1‒𝑡𝑎𝑛𝛼+1答案:310.已知 sin θ= , θπ.45𝜋2(1)求 tan θ 的值;(2)求 的值 .𝑠𝑖𝑛2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃3𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃解:(1)因为 sin2θ+cos 2θ=1,所以 cos2θ= .925又 θπ,𝜋2所以 cos θ=- .35所以 tan θ= =- .𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃 434(2)由(1)知 = =- .𝑠𝑖𝑛2𝜃+2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃3𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃 𝑡𝑎𝑛2𝜃+2𝑡𝑎𝑛𝜃3𝑡𝑎𝑛2𝜃+1 85711.已知 2sin2α+sin αcos α-3cos 2α= ,求 tan α 的值 .75解:由题意得 = ,2𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑠𝑖𝑛𝛼𝑐𝑜𝑠𝛼‒3𝑐𝑜𝑠2𝛼𝑠𝑖𝑛2𝛼+𝑐𝑜𝑠2𝛼 75所以 = ,2𝑡𝑎𝑛2𝛼+𝑡𝑎𝑛𝛼‒3𝑡𝑎𝑛2𝛼+1 75所以 10tan2α+5tan α-15=7tan 2α+7,所以 3tan2α+5tan α-22=0,所以(3tan α+11)(tan α-2)=0,所以 tan α=- 或 tan α=2.113能力提升练(时间:15 分钟)12.(2016 高唐质检)已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 3x-y=0 上,则 等于( B )𝑠𝑖𝑛(3𝜋2+𝜃)+2𝑐𝑜𝑠(𝜋‒𝜃)𝑠𝑖𝑛(𝜋2‒𝜃)‒𝑠𝑖𝑛(𝜋‒𝜃)(A)- (B) (C)0 (D)32 32 23解析:由题可知 tan θ=3,=𝑠𝑖𝑛(3𝜋2+𝜃)+2𝑐𝑜𝑠(𝜋‒𝜃)𝑠𝑖𝑛(𝜋2‒𝜃)‒𝑠𝑖𝑛(𝜋‒𝜃) ‒𝑐𝑜𝑠𝜃‒2𝑐𝑜𝑠𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃‒𝑠𝑖𝑛𝜃=‒31‒𝑡𝑎𝑛𝜃= ,32故选 B.13.已知关于 x 的方程 4x2-2(m+1)x+m=0 的两个根恰好是一个直角三角形的两个锐角的余弦,则实数 m 的值为 . 解析:设直角三角形的两锐角为 A,B,则 A+B= ,𝜋2由题{𝑐𝑜𝑠𝐴+𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑚+12 ,𝑐𝑜𝑠𝐴𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑚4, 5可得 {𝑠𝑖𝑛𝐵+𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑚+12 ,𝑠𝑖𝑛𝐵·𝑐𝑜𝑠𝐵=𝑚4. ①②由①②得( )2=1+ ,𝑚+12 𝑚2解得 m= ,m=- (舍).3 3答案: 314.在△ABC 中,已知 2cos2A-3cos(B+C)=2,则 A= . 解析:由 2cos2A-3cos(B+C)=2,得 2cos2A-3cos(π-A)=2,即 2cos2A+3cos A-2=0,得 cos A= 或 cos A=-2(舍去),12则在△ABC 中,A= .𝜋3答案:𝜋315.在三角形 ABC 中,求 cos2 +cos2 的值.𝐴+𝐵2 𝐶解:在△ABC 中,A+B=π-C,所以 = - ,𝐴+𝐵2 𝜋2𝐶2所以 cos =cos( - )=sin ,𝐴+𝐵2 𝜋2𝐶2 𝐶2所以 cos2 +cos2 =sin2 +cos2 =1.𝐴+𝐵2 𝐶 𝐶 𝐶16.已知 f(x)= (n∈Z).𝑐𝑜𝑠2(𝑛𝜋+𝑥)·𝑠𝑖𝑛2(𝑛𝜋‒𝑥)𝑐𝑜𝑠2[(2𝑛+1)𝜋‒𝑥](1)化简 f(x)的表达式;(2)求 f（ ）+f（ ）的值.𝜋2 014 503𝜋1 007解:(1)当 n 为偶数,即 n=2k(k∈Z)时,f(x)=𝑐𝑜𝑠2(2𝑘𝜋+𝑥)·𝑠𝑖𝑛2(2𝑘𝜋‒𝑥)𝑐𝑜𝑠2[(2×2𝑘+1)𝜋‒𝑥]=𝑐𝑜𝑠2𝑥·𝑠𝑖𝑛2(‒𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝜋‒𝑥)=𝑐𝑜𝑠2𝑥·(‒𝑠𝑖𝑛𝑥)2(‒𝑐𝑜𝑠𝑥)2=sin2x;6当 n 为奇数,即 n=2k+1(k∈Z)时,f(x)=𝑐𝑜𝑠2[(2𝑘+1)𝜋+𝑥]·𝑠𝑖𝑛2[(2𝑘+1)𝜋‒𝑥]𝑐𝑜𝑠2{[2×(2𝑘+1)+1]𝜋‒𝑥}=𝑐𝑜𝑠2[2𝑘𝜋+(𝜋+𝑥)]·𝑠𝑖𝑛2[2𝑘𝜋+(𝜋‒𝑥)]𝑐𝑜𝑠2[2×(2𝑘+1)𝜋+(𝜋‒𝑥)]=𝑐𝑜𝑠2(𝜋+𝑥)·𝑠𝑖𝑛2(𝜋‒𝑥)𝑐𝑜𝑠2(𝜋‒𝑥)=(‒𝑐𝑜𝑠𝑥)2𝑠𝑖𝑛2𝑥(‒𝑐𝑜𝑠𝑥)2=sin2x.综上得 f(x)=sin2x.(2)由(1)得 f（ ）+f（ ）𝜋2 014 503𝜋1 007=sin2 +sin2𝜋 014 1 006𝜋2 014=sin2 +sin2（ - ）𝜋 014 𝜋2 𝜋2 014=sin2 +cos2𝜋 014 𝜋 014=1.精彩 5 分钟1.(2016 湖北重点中学月考)已知角 α 的终边上一点的坐标为（sin ,cos ）,则角 α 的最小正值为( B )5𝜋6 5𝜋6(A) (B) (C) (D)5𝜋6 5𝜋3 11𝜋6 2𝜋3解题关键:利用诱导公式与同角关系求出角 α 的一个三角函数值,表示出 α,再求最小正值.解析:点（sin ,cos ）即（ ,- ）在第四象限.5𝜋6 5𝜋6 12 32又因为 tan α=- ,3所以 α=2kπ- ,k∈Z,𝜋3所以角 α 的最小正值为 .5𝜋32.已知 sin θ+cos θ= （0θ ）,则 sin θ-cos θ= . 43 𝜋4解题关键:把握好 sin θ+cos θ,sin θ-cos θ 与 sin θ·cos θ 的关系解题.解析:因为 0θ ,𝜋4所以 sin θcos θ,7又因为 sin θ+cos θ= ,43所以 1+2sin θcos θ= ,169所以 2sin θcos θ= ,79所以 sin θ-cos θ=- 𝑠𝑖𝑛2𝜃+𝑐𝑜𝑠2𝜃‒2𝑠𝑖𝑛𝜃𝑐𝑜𝑠𝜃=-1‒79=- .23答案:-23