1、第 13章 稳恒磁场 【13.1】如题图所示的几种载流导线，在O点的磁感强度各为多少？ (a) (b) (c) 习题 131图 【13.1 解】 (a) R I R I B 8 0 2 4 1 0 0 0 ，方向朝里。 (b) R I R I B 2 2 0 0 。 (c) R I R I R I R I R I B 4 2 2 2 1 2 2 1 2 2 1 0 0 0 0 0 ，方向朝外。 【13.2】有一边长为a的正方形回路，回路电流为I，求回路中心处的磁感强度。 【13.2 解】如图所示，正方形中心对每个边所张的角都为 45和 135，各个边在中心产生的磁感强度方 向相同，故 a I
2、a I B 0 0 2 ) 135 cos 45 (cos 4 4 。 习题 132图 习题 133图 【13.3】以同样的导线联接成如图所示的立方形，在相对的两顶点A及C 上接一电源。试求立方形中心的 磁感强度B等于多少？ 【13.3 解】由对称性可知，相对的两条棱在立方体中心产生的磁感强度相等而方向相反，故中心处的磁感 强度为零。 【13.4】如图所示，半径为R 的半球上密绕有单层线圈，线圈平面彼此平行。设线圈的总匝数为N，通过 线圈的电流为I，求球心处O的磁感强度。 【13.4 解】在半球上距球心y 处取一个宽度为Rd 的园环，其对球心的张角为 ，半径为rRsin ，包含 的电流为 d
3、2 d 2 / d NI R R NI I ，在球心处产生的磁感强度为 d sin d 2 sin 2 ) ( d 2 d 2 0 3 2 2 0 2 / 3 2 2 2 0 R NI NI R R y r I r B 全部线圈在球心处产生的磁感强度可由积分求得： R NI R NI R NI B B 4 4 d sin d 0 0 2 / 0 2 0 习题 134图 习题135 图 【13.5】如图所示，电流I 沿着长度方向均匀地流过宽度为b 的无限长导体薄板。试求在薄板的平面内， 距板的一边为r 的点P的磁感强度。 【13.5 解】在薄板中距P 点为x 处取一宽度为 dx的窄条，窄条中的电
4、流 b x I I d d dI在P 点产生的磁感强度 bx x I x I B 2 d 2 d d 0 0 电流I在P点产生的磁感强度 r b r b I x bx I B B b r r ln 2 d 2 d 0 0 B 的方向垂直纸面朝里。 【13.6】半径为R 的圆盘均匀带有电荷q，圆盘绕过其中心且与盘面垂直的转轴以角速度 旋转，求圆心 O处的磁感应强度。 【13.6 解】取半径为r，宽度为 dr 的圆环，其上电荷为 2 2 d 2 d 2 d R r qr r r R q q 当圆盘以角速度 旋转时，此电荷形成的电流为： 2 d d 2 d R r r q q I 而此电流在圆盘中心
5、产生的磁感强度为： 2 0 2 0 0 2 d 2 d 2 d d R r q rR r r q r I B 整个圆盘在圆盘中心产生的磁感强度为： R R q R r q B B 0 0 2 0 2 2 d d 习题 136图 习题 137图 【13.7】如题图所示，载流长直导线的电流为I，试求通过矩形面积的磁通量。 【13.7 解】在矩形中距直导线为x 处取一宽为 dx、长为l 的面积元 dS, 此处的磁感强度 B 与矩形平面垂 直，大小为 x I B 2 0 ，通过面积元 dS 的磁通量为 x x Il 2 d d d 0 S B ， 因此， 1 2 0 0 ln 2 2 d d 2 1
6、d d Il x x Il d d 【13.8】已知 1.010 -5 mm 2 的裸铜线允许通过 50 A电流而不致过热，电流在导线横截面上均匀分布。求： （1）导线内、外磁感强度的分布； （2）导线表面的磁感强度。 【13.8 解】 （1）设导线的半径为 R，导线中电流密度为 j。在导线内作一个半径为 r 的圆形回路，由安培 环路定理有 2 0 2 r j rB ， 2 0 2 0 2 2 R Ir r jr B 。 导线外有 I rB 0 2 ， r I B 2 0 。 （2）令rR，代入数据得B5.610 -3 T。 【13.9】一根很长的同轴电缆，由一半径为R 1 的圆柱形直导体和同
7、轴导体圆筒组成。导体圆筒的内半径为 R 2 ，外半径为 R 3 ，圆柱形直导体和同轴导体圆筒中的电流大小均为 I，方向相反，导体的磁性可不考虑。 试计算以下各处的磁感强度： （1）rR 1 ； （2）R 1 rR 2 ； （3）R 2 rR 3 ； （4）rR 3 。 【13.9 解】分别在圆柱形直导体内，圆柱形直导体和同轴导体圆筒之间，同轴导体圆筒内及同轴导体圆筒 之外作半径为r 的圆形回路，利用安培环路定理可得 ) ( , 2, 2 1 2 1 0 2 2 1 0 R r R Ir B r R I rB ) ( , 2, 2 2 1 0 0 R r R r I B I rB ) ( , 2
8、, ) ( ) ( 2 3 2 2 2 2 3 2 2 3 0 2 2 2 3 2 2 2 0 R r R R R r R r I B R R R r I I rB ) ( , 0 , 0 2 3 R r B rB 习题 139图 习题 1310图 【13.10】如题图所示，N匝线圈均匀密绕在截面为长方形的中空骨架上，求通入电流I后环内外磁场的分 布。 【13.10 解】在圆环内外分别作半径为r 的圆形回路，由安培定理可得 ) ( , 0 , 0 2 ) ( , 2, 2 ) ( , 0 , 0 2 0 0 b r B rB b r a r NI B NI rB a r B rB 【13.11
9、】有两无限大平行载流平面，它们的电流方向相同，在平面内与电流垂直的方向上，单位宽度里 的电流为j。求： （1）两载流平面之间的磁感强度； （2）两面之外空间的磁感强度。 【13.11 解】无限大载流平面在其左右两侧所产生的磁感强度大小均为 B 0 j/2，但方向相反。设在平面 左边 k B 2 0 j ，右边则为 k B 2 0 j 。当有两个电流方向相同的平行平面时，由场的迭加原理可得 （1）两平面之间，是处在一个平面的左边而另一个平面的右边，故 0 2 2 0 0 k k B j j 合 。 （2）在两平面之外，是同在两个平面的左边或右边，故 k k k B j j j 0 0 0 2 2
10、 合， 或 k k k B j j j 0 0 0 2 2 合 。 【13.12】一个电子射入 B(0.2i0.5j)T 的非均匀磁场中，当电子速度为v510 6 j ms -1 时，求电子所 受的力。 【13.12 解】 N 10 6 . 1 2 . 0 10 5 10 6 . 1 13 6 19 k k B F v e 【13.13】速率为 1.010 6 的电子进入一均匀磁场，其速度方向与磁场方向垂直。已知电子在磁场中作半 径为 0.1m的圆周运动，求磁感强度的大小和电子旋转的角速度。 【13.13 解】由 eB m R v 得 T 10 7 . 5 5 eR v m B ， 电子旋转的
11、角速度 1 - 7 s rad 10 R v 。 【13.14】测定离子质量的质谱仪如图所示，离子源S 产生质量为m，电荷为q 的离子。离子的初速很小， 可看作静止，经电势差U加速后进入磁感强度为 B 的均匀磁场，并沿一半圆形轨道到达离入口x处的感光 底板上。试证明离子的质量为 2 2 8 x U q B m 。 【13.14 证】由电子动能 qU m 2 2 1 v 可得电子速度 m qU / 2 v ，代入 圆形轨道的半径公式 qB m x v 2即可解出 U qx B m 8 2 2 ，证毕。 【13.15】已知地面上空某处地磁场的磁感强度B0.410 4 T，方向向北。若宇宙射线中有一
12、速率v5.0 10 7 ms 1 的质子垂直地通过该处，求： （1）洛伦兹力的方向； （2）洛伦兹力的大小，并与质子受到的 地球引力相比较。 【13.15 解】（1）质子的速度方向垂直向下，且带正电荷，故由 B v 的方向知道其受到的洛伦兹力方向 朝东。 （2）洛伦兹力 N 10 2 . 3 90 sin 16 qvB F m ， 而质子所受的万有引力 N 10 64 . 1 26 mg G ，两者之比约为 1.9510 10 。 【13.16】显像管中的电子水平地由南向北运动，能量为 1.210 4 eV；地球磁场的垂直分量B5.510 5 T，方向向下。试求： （l）电子束偏转方向； （2
13、）电子束在显像管内通过 20 cm到达屏面时光点的偏转距 习题 1314图离。 【13.16 解】（1）注意电子带负电，由洛伦兹力公式 B F v q 可判断出电子受力向东，故电子束向东 偏转。 （ 2）由电子作圆周运动的半径 m 71 . 6 2 eB mE eB m R k v 和轨迹可得其向东偏转距离为 m 10 98 . 2 3 2 2 y R R x 【13.17 解】利用霍耳元件可以测量磁感强度，设一霍耳元件用金属材料制成，其厚度为 0.15 mm，载流 子数密度为 10 24 m 3 ，将霍耳元件放入待测磁场中，测得霍耳电压为 42 V，通过电流为 10 mA。求待测磁 场的磁感
14、强度。 【13.17 解】由霍耳电压的公式可得 T 1 . 0 I dnq U B H 。 【13.18】如题图所示，无限长直导线通入电流I 1 ，半径为R的圆环通入电流I 2 ，直导线和圆环共面如图放 置，求圆环受到的作用力。 【13.18 解】由对称性分析可知，左右对称的两段电流元所受的竖直方向的力互相抵消，水平方向的力则 相迭加。在圆环上取一段电流元 I 2 dl，它到圆心的连线与水平方向的夹角为 ，受到安培力的水平方向分 量为 2 d cos cos 2 d cos d d 2 1 0 1 0 2 2 I I R I R I lB I F 整个圆环受到的力为 2 1 0 2 0 2 1
15、 0 d 2 d I I I I F F ，方向向右。 习题 1318图 习题 1319图 【13.19】如题图所示，一个半径为R 的圆形线圈，通有电流I，放在磁感强度为B的均匀磁场中，磁场方 向与线圈平面平行，试求线圈受到的对于轴OO的力矩。 【13.19 解】线圈的磁矩 I R IS m 2 当线圈平面与磁场平行时，线圈受到的力矩为 IB R mB M 2 90 sin 【13.20】如题图所示，长直导线载有电流I 1 30 A，矩形回路载有电流I 2 20 A，试计算作用在矩形回路 上的合力。已知d0.01m，b0.08 m，l0.12 m。 【13.20 解】线框上、下两边受到的安培力
16、大小相等，方向相反，抵消为零。左、右两边受到的安培力方 向相反，大小分别为 ) ( 2, 2 2 1 0 2 1 0 b d l I I F d l I I F 右 左故合力大小为 N 10 28 . 1 ) ( 2 2 3 2 1 0 2 1 0 b d l I I d l I I F F F 右 左合力的方向朝左。 习题 1320图 习题 1321图 【13.21】 如题图所示， 一通有电流为I 1 的无限长直导线和一通有电流为I 2 的直角三角形回路共面， 60， 求回路各边所受的力及穿过回路的磁通量。 【13.21 解】设竖直边、水平边和斜边受到的力分别为F 1 、F 2 和F 3 ，
17、由安培定律得 ) ( 2 3 ) ( 2 60 tan 2 1 0 1 0 2 2 1 b a b I I b a I b I lB I F a b a I I l l a I I lB I F b b ln 2 d ) ( 2 d 2 1 0 0 2 1 0 0 2 2 a b a I I l l a I I lB I F b b ln d ) 60 cos ( 2 d 3 2 1 0 60 cos / 0 2 1 0 60 cos / 0 2 在距直导线x 取一平行于导线的窄条，其高为（xa）tan60，宽度为 dx，通过此窄条的磁通量为 x x a I x a x x I d 1 2 3
18、 d 60 tan ) ( 2 d d 1 0 1 0 S B 通过整个三角形回路的磁通量为 a b a a b I x x a I b a a ln 2 3 d 1 2 3 d 1 0 1 0 【13.22】设氢原子的电子以轨道角动量Lh/2 绕质子作圆周运动，圆周半径为a 0 5.2910 11 m，求质 子所在处的磁感强度。h6.6310 34 Js 为普朗克常量。 【13.22 解】由题意，质子的角动量 2 / 0 h a m v ，可解出 0 2 ma h v ，电子运动时等效为一个圆电流， 其大小为 2 0 2 0 4 / 2 ma he a e I v此电流在圆心处旌的磁感强度为
19、 T 5 . 12 8 2 3 0 2 0 0 0 ma he a I B 。 【13.23】如题图所示，一根长直同轴电缆，内、外导体之间充满磁介质，磁介质的相对磁导率为 r （ r 1） ，导体的磁化可以略去不计电缆沿轴向有稳恒电流 I 通过，内外导体上电流的方向相反求空间各 区域内的磁感强度和磁化强度。 习题 1323图【13.23 解】取与电缆轴线同心的圆形回路 L，由磁介质中的安培环路定理 L d C I l H 可解出空间各 区域的磁场强度： r I H I rH R r R R Ir H R Ir rH R r 2, 2 ： 2, 2 ： 2 1 2 1 2 1 2 1 0 , 0
20、 2 ： ) ( 2 ) (, ) ( 2 ： 3 2 2 2 3 2 2 3 2 2 2 3 2 2 2 3 2 H rH R r R R r r R I H R R R r I I rH R r R 再由公式 H B r 0 和 H M r ) 1 ( 即可得 0 , 0 ： 0 , ) ( 2 ) (1)： ( 2 ) 1 (, 2： 0 , 21)： ( 3 2 2 2 3 2 2 3 0 3 2 0 2 1 2 1 0 1 M B R r M R R r r R I B R r R r I M r I B R r R M R Ir B R r r r r r 【13.24】设长L0.
21、05 m，截面积S110 -3m 2 的铁棒中所有铁原子的磁偶极矩都沿轴向整齐排列，且 每个铁原子的磁偶极矩 m 0 1810 23 Am 2 ，求（1）铁棒的磁偶极矩； （2）如果要使铁棒与磁感强度 B 0 15T的外磁场正交， 需用多大的力矩？设铁的密度 7.8 10 3 kgm 3 ， 铁的摩尔质量M 0 5. 58510 -2kgmol 1 【13.24 解】（1）铁原子的数密度 0 A M N n 式中N A 为阿伏伽德罗常数。此铁棒中的原子总数为 0 A M SL N nV N 铁棒的磁偶极矩为所有原子的磁矩之和， 2 0 m A 58 . 7 N m m （2）铁棒与磁场正交时所需的力矩即铁棒所受的磁力矩 N 4 . 11 90 sin 0 mB M 【13.25】将磁导率 5010 4 Wb 1 m 1 的铁磁质做成一个细圆环，环上密绕线圈，单位长度匝数 n=500，形成有铁心的螺绕环。当线圈中电流I8A时，计算环内 B 和 H的大小。 【13.25 解】由磁介质中的安培环路定理 L C d I l H 可求出环内磁场强度的大小为 -1 3 m A 10 4 nI H 环内磁感强度的大小为 T 20 H B
