1、二 平行线分线段成比例定理课标解读 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.1平行线分线段成比例定理(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2)图形语言：如图 121，l 1l 2l 3，则有： ，ABBC DEEF ， .ABAC DEDF BCAC EFDF2平行线分线段成比例定理的推论(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边( 或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)图形语言：如图 122，l 1l 2l 3，图 122则有： ， ， .ADAB AEAC ADDB AEEC DBAB ECAC1平行线分线段
2、成比例定理有哪些变式？【提示】 变式有 ， ， .ABDE BCEFABDE ACDFBCEF ACDF2平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正确的吗？【提示】 平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直线 平行， 这个命题是错误的3怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？【提示】 (1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定理(2)它包括以下三种基本图形(其中 DE 为 截线) 习惯上称前两种为“A 型” ，第三种为“X 型” (3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线) 所得的对应线段成比例，那么这条直线 平行
3、于三角形的第三边证明线段成比例如图 123，AD 为ABC 的中线，在 AB 上取点 E，AC 上取点F，使 AEAF，图 123求证： .EPFP ACAB【思路探究】 在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点 C 作 CMEF，交 AB 于点 M，交 AD 于点 N，且 BC 的中点为 D，可以考虑补一个平行四边形来求解【自主解答】 如图，过 C 作 CMEF，交 AB 于点 M，交 AD 于点 N，AEAF，AM AC.AD 为ABC 的中线，BDCD.延长 AD 到 G，使得 DGAD， 连接 BG，CG，则四边形 ABGC为平行四边形ABGC.CMEF，
4、，EPMN FPCN APAN .EPFP MNCN又 ABGC，AMAC，GCAB， .MNCN AMGC ACAB .EPFP ACAB1解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四 边形2比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行 线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例 线段的产生3利用平行线转移比例是常用的 证题技巧，当 题中没有平行 线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中， .EPFP MNCN AMGC ACAB已知如图 124，ADBECF，EGFH，求证： .ABAC EGFH图 124【证明】 ADBECF， ，ABA
5、C DEDF又 EGFH， ，EGFH DEDF .ABAC EGFH证明线段相等已知，如图 125 在梯形 ABCD 中， ADBC，F 为对角线 AC 上一点，FEBC 交 AB 于 E，DF 的延长线交 BC 于 H，DE 的延长线交 CB 的延长线于 G.图 125求证：BCGH.【思路探究】 从复杂的图形中找出基本图形ABC 和DHG，而 EF 是它们的截线，再使用定理或推论即可【自主解答】 FEBC， ， .EFBC AEABEFGH DFDHADEFBH， .AEAB DFDH .EFBC EFGHBCGH.1解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式2应用平行线分线段成比例定理
6、及推 论应注意的问题(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化(2013信阳模拟)如图 12 6 所示，已知梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点P，两腰 BA、CD 的延长线相交于点 O，EFBC 且 EF 过点 P.图 126求证：(1)EPPF；(2)OP 平分 AD 和 BC.【解】 (1)EPBC， .EPBC AEAB又PFBC， .PFBC DFDCADEFBC ， .AEAB DFDC ，EPBC PFBCEPPF.(2)在OEP
7、中，ADEP ， .AHEP OHOP在OFP 中，HD PF， .HDPF OHOP .AHEP HDPF又由(1)知 EPPF，AHHD.同理 BGGC.OP 平分 AD 和 BC.平行线分线段成比例定理及推论的综合应用图 127如图 127 所示，在梯形 ABCD 中， ADBC，EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EFAD .(1)求 的值；OEAD OEBC(2)求证： .1AD 1BC 2EF【思路探究】 (1)利用比例线段转化所求；(2)证出 EF2OE，再利用(1)的结果证明【自主解答】 (1) OEAD， .OEAD BEABEFAD，ADBC，EFADBC， ，OEBC A
8、EAB 1.OEAD OEBC BEAB AEAB BE AEAB(2)证明：AD BCEF，可得 ，OFBC ODBD OAAC OEBC故 OFOE ，即 EF2OE .由(1)知， 1， 2.OEAD OEBC 2OEAD 2OEBC 2， .EFAD EFBC 1AD 1BC 2EF1本题要证明的结论较多，证 明时要注意与图形的结合和 对式子的合理变形2运用平行线分线段成比例定理的推 论来证明比例式或计 算比值， 应分清相关三角形中的平行线段及所截边，并注意在求解 过程中运用等比性 质、合比性 质等如图 128，M 是ABCD 的边 AB 的中点，直线 l 过 M 分别交 AD，AC
9、于 E，F，交 CB 延长线于 N，若 AE2，AD6.求 AFAC 的值图 128【解】 ADBC， ， .AFFC AENC AFAF FC AEAE NC 1，AEBN.AEBN AMMB .AFAC AEAE BN BC AE2AE BCAE2，BCAD6， ，AFAC 222 6 15即 AFAC15.(教材第 10 页习题 1.2 第 4 题)图 129如图 129，梯形 ABCD 中，点 E、F 分别在 AB、CD 上，EFAD .假设 EF 作上下平行移动，(1)如果 ，AEEB 12求证：3EFBC 2AD ；(2)如果 ，AEEB 23求证：5EF2BC 3AD ；(3)请
10、你探究一般结论，即如果 ，那么可以得到什么结论AEEB mn(2011广东高考) 如图 1210 所示，在梯形 ABCD 中，AB CD，AB 4，CD 2.E ， F 分别为 AD，BC 上点，且 EF3，EFAB ，则梯形 ABFE与梯形 EFCD 的面积比为_图 1210【命题意图】 本题以梯形为载体，主要考 查平行线分线 段成比例定理及其推论的应用【解析】 如图，延长 AD、BC 交于点 O，作 OHAB 于点 H. ，得 x2h 1， ，得 h1h 2.xx h1 23 x h1x h1 h2 34S 梯形 ABFE (34) h2 h1，12 72S 梯形 EFCD (23) h1
11、 h1，12 52S 梯形 ABFES 梯形 EFCD75.【答案】 751如图 1211，已知 DEBC，则下列比例式成立的是( )A. DAAB ACAEB. DEBC DAABC. EAAB DAACD. DAAB AEAC【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论知， .DAAC EAAB【答案】 C图 12122如图 1212，已知 ，DE BC ，则 等于ADDB 45 ECAC( )A. B.95 54C. D.59 49【解析】 DEBC， .ADDB 45 ，ABDB 95 ，DBAB 59又 ，DBAB ECAC .ECAC 59【答案】 C3如图 1213 所示，ABCD，
12、AC 与 BD 相交于 E， ，则 _.AEBE 53 DEEC图 1213【解析】 ABCD， ，AEEC BEDE .DEEC BEAE 35【答案】 354如图 1214 所示，已知 ab， ， 3，则 AEEC_.AFBF 35 BCCD图 1214【解析】 ab， ， .AEEC AGCDAFBF AGBD 3，BC3CD，BCCDBD4CD .又 ，AFBF 35 ，AGBD AFBF 35 ， .AG4CD 35 AGCD 125 .AEEC AGCD 125【答案】 125一、选择题图 12151如图 1215，梯形 ABCD 中，ADBC，E 是 DC 延长线上一点，AE 分
13、别交 BD于 G，交 BC 于 F.下列结论： ； ； ； ，其中正ECCD EFAF FGAG BGGD AEAG BDDG AFCD AEDE确的个数是( )A1 B2 C3 D4【解析】 BC AD， ， .故正确ECCD EFAFAFAE CDDEBFAD， ，故正确FGAG BGGD【答案】 C2如图 1216，E 是ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 ，则 ( )DCBE 32 ADBF图 1216A. B. C. D.32 23 52 25【解析】 CD AB， ，CDBE FDEF 32又 ADBC， .BFAD EFED由 得 ，即 .FDEF 32 FD EFEF 3
14、 22 EDEF 52 .故选 C.ADBF EDEF 52【答案】 C图 12173如图 1217，平行四边形 ABCD 中，N 是 AB 延长线上一点，则 为( )BCBMABBNA. B112C. D.32 23【解析】 ADBM， .ABBN DMMN又 DCAN， ，DMMN MCBM .DM MNMN MC BMBM ，DNMN BCBM 1.BCBMABBN DNMN DMMN MNMN【答案】 B图 12184如图 1218，已知ABC 中，AEEB13，BDDC21，AD 与 CE 相交于 F，则 的值为( )EFFC AFFDA. B112C. D232【解析】 过点 D
15、作 DGAB 交 EC 于点 G，则 .而 ，即DGBE CDBC CGEC 13 AEBE 13 ，所以 AEDG，从而有 AFFD ，EFFG CG，故 1 .AEBE DGBE EFFC AFFD EF2EF AFAF 12 32【答案】 C二、填空题图 12195(2013焦作模拟)如图 1 219，已知 B 在 AC 上，D 在 BE 上，且AB： BC2：1 ，ED ：DB2：1，则 AD：DF _.【解析】 如图，过 D 作 DGAC 交 FC 于 G.则 .DGBC EDEB 23DG BC.23又 BC AC，DG AC.13 29DGAC， .DF AF.DFAF DGAC
16、 29 29从而 AD AF，AD：DF7：2.79【答案】 72图 12206如图 1220，在梯形 ABCD 中，ADBC，BD 与 AC 相交于 O，过 O 的直线分别交 AB、CD 于 E、F ，且 EFBC，若 AD12，BC20，则 EF_.【解析】 ADEF BC， ，EOAD BEAB CFCD FOADEOFO，而 ， ，BC20， AD12，EOBC AEAB AB BEAB EOAD BEAB 1 1 ，EO20 BEAB EO12EO7.5，EF15.【答案】 15三、解答题图 12217如图 1221，AD 平分 BAC ，DEAC，EFBC，AB15 cm，AF4
17、cm，求BE 和 DE 的长【解】 DEAC，32.又 AD 平分BAC，12.13，即 AEED.DEAC，EFBC，四 边形 EDCF 是平行四边形EDFC，即 AEEDFC.设 AEDE FC x .由 EFBC 得 .即 ，AEBE AFFC x15 x 4x解之得 x16，x 210(舍去 )所以 DE6(cm)，BE1569(cm)图 12228如图 1222 所示，已知直线 FD 和ABC 的 BC 边交于 D，与 AC 边交于 E，与BA 的延长线交于 F，且 BDDC，求证：AEFBEC FA.【证明】 过 A 作 AGBC，交 DF 于 G 点，如图所示AGBD， .FAF
18、B AGBD又 BDDC ， .FAFB AGDCAGDC， .AGDC AEEC ，AEEC FAFB即 AEFBECFA .图 12239如图 1223，ABBD 于 B，CDBD 于 D，连接 AD，BC 交于点 E，EFBD于 F，求证： .1AB 1CD 1EF【证明】 ABBD，CD BD，EFBD，ABEFCD， ， ，EFAB DFBDEFCD BFBD 1，EFAB EFCD DFBD BFBD DF BFBD BDBD .1AB 1CD 1EF10某同学的身高为 1.6 米，由路灯下向前步行 4 米，发现自己的影子长为 2 米，求这个路灯的高【解】 如图所示，AB 表示同学的身高，PB 表示该同学的影长， CD 表示路灯的高，则AB 1.6 m，PB2 m，BD4 m.ABCD PBPD ABCDCD 4.8(m)ABPDPB 1.62 42即路灯的高为 4.8 米
