1、二 平行线分线段成比例定理课标解读 1.掌握平行线分线段成比例定理及其推论2.能利用平行线分线段成比例定理及推论解决有关问题.1平行线分线段成比例定理(1)文字语言：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例(2)图形语言：如图 121， l1 l2 l3，则有： ，ABBC DEEF ， .ABAC DEDF BCAC EFDF2平行线分线段成比例定理的推论(1)文字语言：平行于三角形一边的直线截其他两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例(2)图形语言：如图 122， l1 l2 l3，图 122则有： ， ， .ADAB AEAC ADDB AEEC DBAB ECAC1平行线分线段成
2、比例定理有哪些变式？【提示】 变式有 ， ， .ABDE BCEF ABDE ACDF BCEF ACDF2平行线分线段成比例定理的逆命题是什么？它是正确的吗？【提示】 平行线分线段成比例定理的逆命题是：如果三条直线截两条直线所得的对应线段成比例，那么这三条直线平行，这个命题是错误的3怎样理解平行线分线段成比例定理的推论？【提示】 (1)这个推论也叫三角形一边平行线的性质定理(2)它包括以下三种基本图形(其中 DE 为截线)习惯上称前两种为“ A 型” ，第三种为“ X 型” (3)此推论的逆命题也正确，即如果一条直线截三角形的两边(或两边的延长线)所得的对应线段成比例，那么这条直线平行于三角
3、形的第三边证明线段成比例如图 123， AD 为 ABC 的中线，在 AB 上取点 E， AC 上取点 F，使AE AF，图 123求证： .EPFP ACAB【思路探究】 在这道题目中所证的比例组合都没有直接的联系，可以考虑把比例转移，过点 C 作 CM EF，交 AB 于点 M，交 AD 于点 N，且 BC 的中点为 D，可以考虑补一个平行四边形来求解【自主解答】 如图，过 C 作 CM EF，交 AB 于点 M，交 AD 于点 N， AE AF， AM AC. AD 为 ABC 的中线， BD CD.延长 AD 到 G，使得 DG AD，连接 BG， CG，则四边形 ABGC 为平行四边
4、形 AB GC. CM EF， ，EPMN FPCN APAN .EPFP MNCN又 AB GC， AM AC， GC AB， .MNCN AMGC ACAB .EPFP ACAB1解答本题的关键是添加辅助线，构造平行四边形2比例线段常由平行线产生，因而研究比例线段问题应注意平行线的应用，在没有平行线时，可以添加平行线来促成比例线段的产生3利用平行线转移比例是常用的证题技巧，当题中没有平行线条件而有必要转移比例时，也常添加辅助平行线，从而达到转移比例的目的，如本题中， .EPFP MNCN AMGC ACAB已知如图 124， AD BE CF， EG FH，求证： .ABAC EGFH图
5、124【证明】 AD BE CF， ，ABAC DEDF又 EG FH， ，EGFH DEDF .ABAC EGFH证明线段相等已知，如图 125 在梯形 ABCD 中， AD BC， F 为对角线 AC 上一点，FE BC 交 AB 于 E， DF 的延长线交 BC 于 H， DE 的延长线交 CB 的延长线于 G.图 125求证： BC GH.【思路探究】 从复杂的图形中找出基本图形 ABC 和 DHG，而 EF 是它们的截线，再使用定理或推论即可【自主解答】 FE BC， ， .EFBC AEAB EFGH DFDH AD EF BH， .AEAB DFDH .EFBC EFGH BC
6、GH.1解答本题的关键是构造分子或分母相同的比例式2应用平行线分线段成比例定理及推论应注意的问题(1)作出图形，观察图形及已知条件，寻找合适的比例关系；(2)如果题目中没有平行线，要注意添加辅助线，可添加的辅助线可能很多，要注意围绕待证式；(3)要注意“中间量”的运用与转化(2013信阳模拟)如图 126 所示，已知梯形 ABCD 的对角线 AC 与 BD 相交于点 P，两腰 BA、 CD 的延长线相交于点 O， EF BC 且 EF 过点 P.图 126求证：(1) EP PF；(2)OP 平分 AD 和 BC.【解】 (1) EP BC， .EPBC AEAB又 PF BC， .PFBC
7、DFDC AD EF BC， .AEAB DFDC ，EPBC PFBC EP PF.(2)在 OEP 中， AD EP， .AHEP OHOP在 OFP 中， HD PF， .HDPF OHOP .AHEP HDPF又由(1)知 EP PF， AH HD.同理 BG GC. OP 平分 AD 和 BC.平行线分线段成比例定理及推论的综合应用图 127如图 127 所示，在梯形 ABCD 中， AD BC， EF 经过梯形对角线的交点 O，且 EF AD.(1)求 的值；OEAD OEBC(2)求证： .1AD 1BC 2EF【思路探究】 (1)利用比例线段转化所求；(2)证出 EF2 OE，
8、再利用(1)的结果证明【自主解答】 (1) OE AD， .OEAD BEAB EF AD， AD BC， EF AD BC， ，OEBC AEAB 1.OEAD OEBC BEAB AEAB BE AEAB(2)证明： AD BC EF，可得 ，OFBC ODBD OAAC OEBC故 OF OE，即 EF2 OE.由(1)知， 1， 2.OEAD OEBC 2OEAD 2OEBC 2， .EFAD EFBC 1AD 1BC 2EF1本题要证明的结论较多，证明时要注意与图形的结合和对式子的合理变形2运用平行线分线段成比例定理的推论来证明比例式或计算比值，应分清相关三角形中的平行线段及所截边，
9、并注意在求解过程中运用等比性质、合比性质等如图 128， M 是 ABCD 的边 AB 的中点，直线 l 过 M 分别交 AD， AC 于 E， F，交 CB延长线于 N，若 AE2， AD6.求 AF AC 的值图 128【解】 AD BC， ， .AFFC AENC AFAF FC AEAE NC 1， AE BN.AEBN AMMB .AFAC AEAE BN BC AE2AE BC AE2， BC AD6， ，AFAC 222 6 15即 AF AC15.(教材第 10 页习题 1.2 第 4 题)图 129如图 129，梯形 ABCD 中，点 E、 F 分别在 AB、 CD 上， E
10、F AD.假设 EF 作上下平行移动，(1)如果 ，AEEB 12求证：3 EF BC2 AD；(2)如果 ，AEEB 23求证：5 EF2 BC3 AD；(3)请你探究一般结论，即如果 ，那么可以得到什么结论AEEB mn(2011广东高考)如图 1210 所示，在梯形 ABCD 中，AB CD， AB4， CD2. E， F 分别为 AD， BC 上点，且 EF3， EF AB，则梯形 ABFE 与梯形EFCD 的面积比为_图 1210【命题意图】 本题以梯形为载体，主要考查平行线分线段成比例定理及其推论的应用【解析】 如图，延长 AD、 BC 交于点 O，作 OH AB 于点 H. ，得
11、 x2 h1， ，得 h1 h2.xx h1 23 x h1x h1 h2 34 S 梯形 ABFE (34) h2 h1，12 72S 梯形 EFCD (23) h1 h1，12 52 S 梯形 ABFE S 梯形 EFCD75.【答案】 751如图 1211，已知 DE BC，则下列比例式成立的是( )A. DAAB ACAEB. DEBC DAABC. EAAB DAACD. DAAB AEAC【解析】 由平行线分线段成比例定理的推论知， .DAAC EAAB【答案】 C图 12122如图 1212，已知 ， DE BC，则 等于ADDB 45 ECAC( )A. B.95 54C. D
12、.59 49【解析】 DE BC， .ADDB 45 ，ABDB 95 ，DBAB 59又 ，DBAB ECAC .ECAC 59【答案】 C3如图 1213 所示， AB CD， AC 与 BD 相交于 E， ，则 _.AEBE 53 DEEC图 1213【解析】 AB CD， ，AEEC BEDE .DEEC BEAE 35【答案】 354如图 1214 所示，已知 a b， ， 3，则 AE EC_.AFBF 35 BCCD图 1214【解析】 a b， ， .AEEC AGCD AFBF AGBD 3， BC3 CD，BCCD BD4 CD.又 ，AFBF 35 ，AGBD AFBF
13、35 ， .AG4CD 35 AGCD 125 .AEEC AGCD 125【答案】 125一、选择题图 12151如图 1215，梯形 ABCD 中， AD BC， E 是 DC 延长线上一点， AE 分别交 BD 于G，交 BC 于 F.下列结论： ； ； ； ，其中正确的个数是ECCD EFAF FGAG BGGD AEAG BDDG AFCD AEDE( )A1 B2 C3 D4【解析】 BC AD， ， .故正确ECCD EFAF AFAE CDDE BF AD， ，故正确FGAG BGGD【答案】 C2如图 1216， E 是 ABCD 的边 AB 延长线上的一点，且 ，则 ( )
14、DCBE 32 ADBF图 1216A. B. C. D.32 23 52 25【解析】 CD AB， ，CDBE FDEF 32又 AD BC， .BFAD EFED由 得 ，即 .FDEF 32 FD EFEF 3 22 EDEF 52 .故选 C.ADBF EDEF 52【答案】 C图 12173如图 1217，平行四边形 ABCD 中， N 是 AB 延长线上一点，则 为( )BCBM ABBNA. B112C. D.32 23【解析】 AD BM， .ABBN DMMN又 DC AN， ，DMMN MCBM .DM MNMN MC BMBM ，DNMN BCBM 1.BCBM ABB
15、N DNMN DMMN MNMN【答案】 B图 12184如图 1218，已知 ABC 中， AE EB13， BD DC21， AD 与 CE 相交于F，则 的值为( )EFFC AFFDA. B112C. D232【解析】 过点 D 作 DG AB 交 EC 于点 G，则 .而 ，即 ，所DGBE CDBC CGEC 13 AEBE 13 AEBE DGBE以 AE DG，从而有 AF FD， EF FG CG，故 1 .EFFC AFFD EF2EF AFAF 12 32【答案】 C二、填空题图 12195(2013焦作模拟)如图 1219，已知 B 在 AC 上， D 在 BE 上，且
16、AB： BC2：1， ED： DB2：1，则 AD： DF_.【解析】 如图，过 D 作 DG AC 交 FC 于 G.则 .DGBC EDEB 23 DG BC.23又 BC AC， DG AC.13 29 DG AC， . DF AF.DFAF DGAC 29 29从而 AD AF， AD： DF7：2.79【答案】 72图 12206如图 1220，在梯形 ABCD 中， AD BC， BD 与 AC 相交于 O，过 O 的直线分别交AB、 CD 于 E、 F，且 EF BC，若 AD12， BC20，则 EF_.【解析】 AD EF BC， ，EOAD BEAB CFCD FOAD E
17、O FO，而 ， ， BC20， AD12，EOBC AEAB AB BEAB EOAD BEAB 1 1 ，EO20 BEAB EO12 EO7.5， EF15.【答案】 15三、解答题图 12217如图 1221， AD 平分 BAC， DE AC， EF BC， AB15 cm， AF4 cm，求 BE和 DE 的长【解】 DE AC，32.又 AD 平分 BAC，12.13，即 AE ED. DE AC， EF BC，四边形 EDCF 是平行四边形 ED FC，即 AE ED FC.设 AE DE FC x.由 EF BC 得 .即 ，AEBE AFFC x15 x 4x解之得 x16
18、， x210(舍去)所以 DE6(cm)， BE1569(cm)图 12228如图 1222 所示，已知直线 FD 和 ABC 的 BC 边交于 D，与 AC 边交于 E，与 BA的延长线交于 F，且 BD DC，求证： AEFB ECFA.【证明】 过 A 作 AG BC，交 DF 于 G 点，如图所示 AG BD， .FAFB AGBD又 BD DC， .FAFB AGDC AG DC， .AGDC AEEC ，AEEC FAFB即 AEFB ECFA.图 12239如图 1223， AB BD 于 B， CD BD 于 D，连接 AD， BC 交于点 E， EF BD 于 F，求证： .1AB 1CD 1EF【证明】 AB BD， CD BD， EF BD， AB EF CD， ， ，EFAB DFBD EFCD BFBD 1，EFAB EFCD DFBD BFBD DF BFBD BDBD .1AB 1CD 1EF10某同学的身高为 1.6 米，由路灯下向前步行 4 米，发现自己的影子长为 2 米，求这个路灯的高【解】 如图所示， AB 表示同学的身高， PB 表示该同学的影长， CD 表示路灯的高，则 AB1.6 m， PB2 m， BD4 m. AB CD PBPD ABCD CD 4.8(m)ABPDPB 1.6 2 42即路灯的高为 4.8 米
