1、福州三中 2016-2017 年度高三 5 月模拟考（理科数学）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集 ，则图中阴影表示的集合为( )A. 1 B. 2 C. 3，4，5 D. 3，4【答案】A【解析】由题意可得： ，则图中阴影部分表示的集合为： .本题选择 A 选项.2. 若 an为等比数列，且 ，则公比 q( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等比数列 an的公比为 q，由 ，得 a3 a4， q ，本题选择 B 选项.3. 若 是 的充分不必要条件，则 的取值范围是（ ）A. B. C.
2、D. 【答案】D【解析】求解不等式 可得： ，即 是 的充分不必要条件，据此可知： 的取值范围是 .本题选择 D 选项.4. 已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数 .的图象，只要将 的图象（ ）A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】B【解析】由于 的最小正周期为 ，所以 .所以 .所以将函数 向右平移 ，即可得到 .本题选择 B 选项.5. 如图所示的程序框图，若输入的 x1,13，则 时， 的取值范围为( )A. 7,55 B. 15,111 C. 31,223 D. 65,447【答案】B【解析】开始输入 x
3、1,13， n1；第一次循环时， x3,27， n2；第二次循环时， x7,55， n3；第三次循环时， x15,111， n4；第四次循环时， x31,223， n5.则 时， 的取值范围为15,111.本题选择 B 选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘)变量，掌握循环体等关键环节6. 椭圆 的焦点为 F1， F2，点 P 在椭圆上，若线段 PF2的中点在 y 轴上，则| PF2|是|PF1|的( )A. 7 倍 B. 5 倍 C. 4 倍 D. 3 倍【答案】A【解
4、析】设线段 PF2的中点为 D，则| OD| |PF1|， OD PF1， OD x 轴， PF1 x 轴， .又| PF1| PF2|4 ， .| PF2|是| PF1|的 7 倍. 本题选择 A 选项.7. 已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，函数在 处图象有跳跃点，选项 AC 错误；当 时， ，即函数 过点 ，选项 B 错误；本题选择 D 选项.8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长 4
5、 丈，上棱长 2 丈，高 2 丈，问：它的体积是多少?”已知 l 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为 1，则该楔体的体积为（ ）A. 10000 立方尺 B. 11000 立方尺C. 12000 立方尺 D. 13000 立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱，则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等， 立方丈 立方尺故选 A【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分
6、割与计算是解题的关键9. 将 2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种【答案】A【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有 种选法；第三步，为乙地选 名教师和 名学生，有 种选法，故不同的安排方案共有 种，故选 A考点：排列组合的应用视频10. 直线 与平行四边形 ABCD 中的两边 AB、AD 分别交于 E、F，且交其对角线 AC 于 K，若， ， （R） ，则 =（ ）A. 2 B. C.
7、 3 D. 5【答案】D【解析】 ， ， ，由 E， F， K 三点共线可得 , =5.本题选择 D 选项.11. 过双曲线 的左焦点 F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于A、B 两点，若 ，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ，由角平分线定理知 = = ,由 AB AO 知 AOB=60 , AOF2=30 ,据此可知渐近线方程为： ，而双曲线 的渐近线方程为 ，故 ，则双曲线的离心率： .本题选择 A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围)，常见有两种方法：求出 a， c，代入公式 ；只需要根据一
8、个条件得到关于 a， b， c 的齐次式，结合 b2 c2 a2转化为 a， c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2转化为关于 e 的方程(不等式)，解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围)12. 已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 ，若对任意 恒成立，则 的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ， ，即 ，即 ，故 ，由 知 ， ， ；若对任意 恒成立，只需使 ，即 ，解得 .本题选择 D 选项.点睛：给出 与 的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用 转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn
9、与 n 之间的关系，再求 an.13. 若复数 满足 ，其中 是虚数单位，则复数 的共轭复数为_.【答案】【解析】 ，则 ，所以复数 的共轭复数为 .故答案为： 14. 设变量 x， y 满足 若直线 kx y20 经过该可行域，则 k 的最大值为_【答案】1【解析】试题分析：直线 过定点（0，2） ，作可行域如图所示，由 得 B（2，4） 当定点（0，2）和 B 点连接时，斜率最大，此时 ，则 k 的最大值为 1故选 A考点：简单线性规划15. 正三棱锥 A-BCD 外接球半径为 ， 为 中点， ， 分别表示 、 、 的面积，则 的值是_.【答案】2【解析】如图所示，依题意得，正三棱锥为 A
10、-BCD 的各个侧面为全等的等腰直角三角形，设侧棱长为 x，则 3x2=22, 故 的值为 .故答案为： 216. 对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，称 为“局部奇函数” ，若 为定义域 上的“局部奇函数” ，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 “局部奇函数” ，存在实数 满足 ，即 ，令 ，则 ，即 在 上有解，再令 ，则 在 上有解，函数的对称轴为 ，分类讨论：当 时， ， ，解得 ；当 时， ， ，解得 .综合，可知 .点睛：“新定义”主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新
11、定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“难题” ，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D，E，F 分别在三边 AB，BC 和 CA 上，且 D 为 AB 的中点， ， ， （1）若 ，求DEF 的面积；（2）若 ，求 的大小【答案】(1) ；(2)60【解析】试题分析：（1）由题意结合正弦定理可得 ， ，则以 .（2）由（1）可得 ， 结合题意可知 ，据此解得 60试
12、题解析：（1）在 BDE 中，由正弦定理得在 ADF 中，由正弦定理得所以 .（2）由（1） ， 由 tan DEF ，得 ，整理得 ，所以 6018. 若质地均匀的六面体玩具各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等抛掷该玩具一次，记事件 A=“向上的面标记的数字是完全平方数（即能写出整数的平方形式的数，如 9=32,9 是完全平方数） ” （1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：甲抛掷一次，若事件 A 发生，则向上一面的点数的 6 倍为甲的得分；若事件 A 不发生，则甲得 0 分；乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分。现甲、乙二
13、人各抛掷该玩具一次，分别求二人得分的期望；（2）抛掷该玩具一次，记事件 B=“向上一面的点数不超过 ”，若事件 A 与 B 相互独立，试求出所有的整数【答案】(1)答案见解析；(2)3 或 6.【解析】试题分析：（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为 ， 由题意可得 ,计算相应的分布列可得 EX=5. ，计算相应的分布列可得 （2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有 6 个，事件 包含 2 个基本事件（1 点，2 点）记 ， 分别表示事件 ， 包含的基本事件数，由题意可得 = ,则 k=3或 6，经检验可知 3 或 6 均满足题意， 的值可能为 3 或 6试题解析：（1）设甲、乙二人抛掷
14、该玩具后，得分分别为 ， ,则 的分布列为0 6 24EX=5.，1 2 3 4 5 6（2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有 6 个，事件 包含 2 个基本事件（1 点，2 点）记 ， 分别表示事件 ， 包含的基本事件数，由 及古典概型，得 ， = ,故 事件包含的基本事件数必为 3 的倍数，即 k=3,6，当 k=3 时， n(B)=3， ， ，符合，当 时， ， ， ，符合，故 的值可能为 3 或 619. 如图，在空间几何体 ABCDFE 中，底面 是边长为 2 的正方形， ， ，.（1）求证：AC/平面 DEF；（2）已知 ，若在平面 上存在点 ，使得 平面 ，试确定点 的位置.
15、【答案】(1)证明见解析；(2) 是线段 上靠近 的三等分点.【解析】试题分析：（1）连 BD 交 AC 于 O，取 DE 中点 K，连结 OK、 KF，由题意结合三角形中位线的性质可得四边形 AOKF 为平行四边形，则 ，由线面平行的判断定理可得 AC/平面 DEF（2）由题意，以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系.由题意可得 ， ，设 ，计算可得，由 可得方程组，求解方程组有 即. 是线段 上靠近 的三等分点.试题解析：（1）连 BD 交 AC 于 O，取 DE 中点 K，连结 OK、 KF AC、 BD 是正方形 的对角线 O 为 BD 中点， ，四边形 AOKF
16、为平行四边形，又 平面 DEF， 平面 DEF AC/平面 DEF（2）在 DAF 中， ， ， ，所以又因为 ， ， 平面 ABCD 平面 .以 为原点， 、 、 分别为 、 、 轴建立空间直角坐标系（如图）.则 ， ， ， ， ，设 ，因为 ， ，又 ，所以 ， 解得 即 .所以 是线段 上靠近 的三等分点.20. 已知菱形 ， 在 轴上且 ， （ ， ） （）求 点轨迹 的方程；（）延长 交轨迹 于点 ，轨迹 在点 处的切线与直线 交于点 ，试判断以 为圆心，线段 为半径的圆与直线 的位置关系，并证明你的结论【答案】() （ ） ；()答案见解析.【解析】试题分析：（）由题意可知对角线
17、与 垂直平分，由题意结合垂直平分线的性质可得点 到直线的距离与 到 点的距离相等，结合几何关系可知 点轨迹方程为 （ ）.（）设 ， ，联立直线 AD 是方程与抛物线方程可得 ,由题意结合韦达定理可得 ， ， ，利用导数研究切线方程可得在点 处的切线方程为： ，且直线 的方程为 ，据此可得交点坐标 ，即，计算可得点 到直线 的距离 ，则圆与直线相切.试题解析：（）因为 是菱形，所以对角线 与 垂直平分，因为 在 轴上，所以 与直线 垂直，所以点 到直线 的距离与 到 点的距离相等，所以 点轨迹 为抛物线（不包含顶点） ，其轨迹方程为 （ ）.（）设 ， ，设直线 的方程为 ，联立 可得：所以
18、， 因为菱形 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以 ，所以由 可得所以在点 处的切线方程的斜率为则切线的方程为： ，即 因为 ， ，所以 ，又 中点 ，所以直线 的方程为 联立可得 ，即点 ，又 ，所以所以 ，点 到直线 的距离所以圆与直线相切.点睛：(1)直线与抛物线的位置关系和直线与椭圆、双曲线的位置关系类似，一般要用到根与系数的关系；(2)有关直线与抛物线的弦长问题，要注意直线是否过抛物线的焦点，若过抛物线的焦点，可直接使用公式| AB| x1 x2 p，若不过焦点，则必须用一般弦长公式21. 已知函数 .（1）若 ，求 在点 处的切线方程；（2）令 ，判断 在 上极值点的个数，并加以
19、证明；(3) 令 ，定义数列 . 当 且 时，求证:对于任意的 ，恒有 .【答案】(1) ；(2)答案见解析；(3)证明见解析.【解析】试题分析：（1）由题意可得 ，则切线斜率为 且 ，据此可得所求切线方程为.（2）由题意可得 ，令 ， ，且 ，则 在 上有唯一零点. 在区间 上有唯一极值点 .（3）当 时， ， ， ， ， ，放缩可得 ，且由绝对值三角不等式结合等比数列求和公式可得.试题解析：（1） ，所以所求切线方程为.（2） ，令 ， 则 在上为减函数.， ，所以 在 上有唯一零点.所以在 上有唯一零点.所以 在区间 上有唯一极值点.（3）当 时， ， ， ， ， ，又.22. 在极坐标
20、系下，点 是曲线 上的动点， ，线段 的中点为 ，以极点为原点，极轴为 轴正半轴建立平面直角坐标系（1）求点 的轨迹 的直角坐标方程；（2）若轨迹 上点 处的切线斜率的取值范围是 ，求点 横坐标的取值范围【答案】(1) ；(2) .【解析】 （）由 ，得 ，设 ， ，则 ，即 ， 代入 ，得 ， ； （不写 累计扣 1 分）（）设 ， ，设点 处切线 的倾斜角为 ，由 斜率范围 ，可得 ，而 ， ， ，所以，点 横坐标的取值范围是 23. 已知函数 （1）若 ，求不等式 的解集；（2）若 ，求 的最小值【答案】(1) ；(2)4.【解析】试题分析：（1）当 时，函数的解析式 ，分类讨论可得不等式 的解集为.（2） 时，结合绝对值三角不等式的结论可得 .当且仅当 时取等号，即的最小值是 4.试题解析：（1）当 时， 当 时， ，解得 ；当 时， 不成立；当 时， ，解得 ；综上，不等式 的解集为 .（2） 时， .当且仅当 ，即 时取等号，所以当 时， 取得最小值 4.点睛：绝对值不等式的解法： 法一：利用绝对值不等式的几何意义求解，体现了数形结合的思想；法二：利用“零点分段法”求解，体现了分类讨论的思想；法三：通过构造函数，利用函数的图象求解，体现了函数与方程的思想
