1、福州三中 2016-2017 年度高三 5 月模拟考（理科数学）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1. 设全集 ，则图中阴影表示的集合为( )A. 1 B. 2 C. 3，4，5 D. 3，4【答案】A【解析】由题意可得： ，则图中阴影部分表示的集合为： .本题选择 A 选项.2. 若 an为等比数列，且 ，则公比 q( )A. B. C. D. 【答案】B【解析】设等比数列a n的公比为 q，由 ，得 a3 a4，q ，本题选择 B 选项.3. 若 是 的充分不必要条件，则的取值范围是（ ）A. B. C. D.
2、 【答案】D【解析】求解不等式 可得： ，即 是 的充分不必要条件，据此可知：的取值范围是 .本题选择 D 选项.4. 已知函数 的最小正周期为 ，为了得到函数 .的图象，只要将的图象（ ）A. 向左平移 个单位长度 B. 向右平移 个单位长度C. 向左平移 个单位长度 D. 向右平移 个单位长度【答案】B【解析】由于 的最小正周期为 ，所以 .所以 .所以将函数 向右平移 ，即可得到 .本题选择 B 选项.5. 如图所示的程序框图，若输入的 x1,13，则 时， 的取值范围为( )A. 7,55 B. 15,111 C. 31,223 D. 65,447【答案】B【解析】开始输入 x1,13
3、，n1；第一次循环时，x3,27，n2；第二次循环时，x7,55，n3；第三次循环时，x15,111，n4；第四次循环时，x31,223，n5.则 时， 的取值范围为 15,111.本题选择 B 选项.点睛：此类问题的一般解法是严格按照程序框图设计的计算步骤逐步计算，逐次判断是否满足判断框内的条件，决定循环是否结束要注意初始值的变化，分清计数变量与累加(乘) 变量，掌握循环体等关键环节6. 椭圆 的焦点为 F1，F2，点 P 在椭圆上，若线段 PF2 的中点在 y 轴上，则| PF2|是|PF 1|的( )A. 7 倍 B. 5 倍 C. 4 倍 D. 3 倍【答案】A【解析】设线段 PF2
4、的中点为 D，则|OD| PF1|，ODPF 1，ODx 轴，PF 1x 轴， .又|PF 1| PF2|4 ， .|PF 2|是 |PF1|的 7 倍. 本题选择 A 选项.7. 已知函数 ，则函数 的大致图象是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ，函数在 处图象有跳跃点， 选项 AC 错误；当 时， ，即函数 过点 ，选项 B 错误；本题选择 D 选项.8. 九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有刍甍，下广三丈，袤四丈，上袤二丈，无广，高二丈，问：积几何?”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的楔体，下底面宽 3 丈，长4 丈，上棱长 2 丈，高 2
5、丈，问：它的体积是多少?”已知 l 丈为 10 尺，该楔体的三视图如图所示，其中网格纸上小正方形边长为 1，则该楔体的体积为（ ）A. 10000 立方尺 B. 11000 立方尺C. 12000 立方尺 D. 13000 立方尺【答案】A【解析】由题意，将楔体分割为三棱柱与两个四棱锥的组合体，作出几何体的直观图如图所示：沿上棱两端向底面作垂面，且使垂面与上棱垂直，则将几何体分成两个四棱锥和 1 个直三棱柱，则三棱柱的 四棱锥的体积 由三视图可知两个四棱锥大小相等， 立方丈 立方尺故选 A【点睛】本题考查三视图及几何体体积的计算，其中正确还原几何体，利用方格数据分割与计算是解题的关键9. 将
6、2 名教师，4 名学生分成 2 个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由 1 名教师和 2 名学生组成，不同的安排方案共有（ ）A. 12 种 B. 10 种 C. 9 种 D. 8 种【答案】A【解析】试题分析：第一步，为甲地选一名老师，有 种选法；第二步，为甲地选两个学生，有种选法；第三步，为乙地选 名教师和 名学生，有 种选法，故不同的安排方案共有 种，故选 A考点：排列组合的应用视频10. 直线与平行四边形 ABCD 中的两边 AB、AD 分别交于 E、F，且交其对角线 AC 于 K，若 ， （R） ，则 =（ ）A. 2 B. C. 3 D. 5【答案】D【解析】 ，
7、 ， ，由 E，F，K 三点共线可得 ,=5.本题选择 D 选项.11. 过双曲线 的左焦点 F 作某一渐近线的垂线，分别与两渐近线相交于 A、B 两点，若，则双曲线的离心率为（ ）A. B. C. D. 【答案】A【解析】由 ，由角平分线定理知 = = ,由 ABAO 知AOB=60,AOF 2=30,据此可知渐近线方程为： ，而双曲线 的渐近线方程为 ，故 ，则双曲线的离心率： .本题选择 A 选项.点睛：双曲线的离心率是双曲线最重要的几何性质，求双曲线的离心率(或离心率的取值范围) ，常见有两种方法：求出 a，c，代入公式 ；只需要根据一个条件得到关于 a，b，c 的齐次式，结合 b2c
8、 2a 2 转化为 a，c 的齐次式，然后等式(不等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程( 不等式)，解方程(不等式) 即可得 e(e 的取值范围)12. 已知数列 的首项 ，其前 项和为 ，且满足 ，若对任意恒成立，则的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】 ， ， ，即 ，即，故 ，由 知 ， ， ；若对任意 恒成立，只需使 ，即 ，解得 .本题选择 D 选项.点睛：给出 与 的递推关系，求 an，常用思路是：一是利用 转化为 an的递推关系，再求其通项公式；二是转化为 Sn的递推关系，先求出 Sn与 n 之间的关系，再求 an.13. 若复数满足 ，
9、其中是虚数单位，则复数的共轭复数为_.【答案】【解析】 ，则 ，所以复数的共轭复数为 .故答案为： 14. 设变量 x，y 满足 若直线 kxy20 经过该可行域，则 k 的最大值为_【答案】1【解析】试题分析：直线 过定点（0，2） ，作可行域如图所示，由 得 B（2，4） 当定点（0，2）和 B 点连接时，斜率最大，此时 ，则 k 的最大值为 1故选 A考点：简单线性规划15. 正三棱锥 A-BCD 外接球半径为 ， 为 中点， ， 分别表示 、 、的面积，则 的值是_.【答案】2【解析】如图所示，依题意得，正三棱锥为 A-BCD 的各个侧面为全等的等腰直角三角形，设侧棱长为 x，则 3x
10、2=22, 故 的值为 .故答案为： 216. 对于函数 ，若在定义域内存在实数 ，满足 ，称 为“局部奇函数”，若为定义域 上的“局部奇函数”，则实数 的取值范围是_【答案】【解析】 “局部奇函数”，存在实数 满足 ，即 ，令 ，则 ，即 在 上有解，再令 ，则 在 上有解，函数的对称轴为 ，分类讨论：当 时， ， ，解得 ；当 时， ， ，解得 .综合，可知 .点睛：“新定义” 主要是指即时定义新概念、新公式、新定理、新法则、新运算五种，然后根据此新定义去解决问题，有时还需要用类比的方法去理解新的定义，这样有助于对新定义的透彻理解。对于此题中的新概念，对阅读理解能力有一定的要求。但是，透过
11、现象看本质，它们考查的还是基础数学知识，所以说“新题”不一定是“ 难题”，掌握好三基，以不变应万变才是制胜法宝。三、解答题：本大题共 6 小题，共 70 分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤17. 如图，正三角形 ABC 的边长为 2，D，E，F 分别在三边 AB，BC 和 CA 上，且 D 为 AB 的中点， ， （1）若 ，求 DEF 的面积；（2）若 ，求的大小【答案】(1) ；(2)60【解析】试题分析：（1）由题意结合正弦定理可得 ， ，则以 .（2）由（1）可得 ， 结合题意可知 ，据此解得 60试题解析：（1）在BDE 中，由正弦定理得在ADF 中，由正弦定理得所以 .（2
12、）由（1） ， 由 tanDEF ，得 ，整理得 ，所以 6018. 若质地均匀的六面体玩具各面分别标有数字 1,2,3,4,5,6抛掷该玩具后，任何一个数字所在的面朝上的概率均相等抛掷该玩具一次，记事件 A=“向上的面标记的数字是完全平方数（即能写出整数的平方形式的数，如 9=32,9 是完全平方数） ” （1）甲、乙二人利用该玩具进行游戏，并规定：甲抛掷一次，若事件 A 发生，则向上一面的点数的 6 倍为甲的得分；若事件 A 不发生，则甲得 0 分；乙抛掷一次，将向上的一面对应的数字作为乙的得分。现甲、乙二人各抛掷该玩具一次，分别求二人得分的期望；（2）抛掷该玩具一次，记事件 B=“向上一
13、面的点数不超过 ”，若事件 A 与 B 相互独立，试求出所有的整数【答案】(1)答案见解析；(2)3 或 6.【解析】试题分析：（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为 ， 由题意可得 ,计算相应的分布列可得 EX=5.，计算相应的分布列可得 （2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有 6 个，事件 包含 2 个基本事件（1 点，2 点） 记 ，分别表示事件 ， 包含的基本事件数，由题意可得 = ,则 k=3 或 6，经检验可知 3 或 6 均满足题意， 的值可能为 3 或 6试题解析：（1）设甲、乙二人抛掷该玩具后，得分分别为 ， ,则 的分布列为0 6 24EX=5.，1 2 3 4 5 6（2）易知抛掷该玩具一次，基本事件总数共有 6 个，事件 包含 2 个基本事件（1 点，2 点） 记 ， 分别表示事件 ， 包含的基本事件数，由 及古典概型，得 ， = ,故 事件包含的基本事件数必为 3 的倍数，即 k=3,6，当 k=3 时，n( B)=3， ， ，符合，当 时， ， ， ，符合，故 的值可能为 3 或 619. 如图，在空间几何体 ABCDFE 中，底面 是边长为 2 的正方形， ， ， .（1）求证：AC/平面 DEF；（2）已知 ，若在平面 上存在点 ，使得 平面 ，试确定点 的位置.
