1、第一章,分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,第一章,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,机动 目录 上页 下页 返回 结束,映射与函数,四、 初等函数,元素 a 属于集合 M , 记作,元素 a 不属于集合 M , 记作,一、 集合,1. 定义及表示法,定义 1.,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成集合的事物称为元素.,不含任何元素的集合称为空集 ,记作 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,表示法：,(1) 列举法：,按某种方式列出集合中的全体元素 .,例:,有限集合,自然数集,(2) 描述法：,x 所具有的特征,例: 整数集合,或,有理
2、数集,p 与 q 互质,实数集合,x 为有理数或无理数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注: M 为数集,表示 M 中排除 0 的集 ;,表示 M 中排除 0 与负数的集 .,是 B 的子集 , 或称 B 包含 A ,2. 集合之间的关系及运算,定义2 .,则称 A,若,且,则称 A 与 B 相等,例如 ,显然有下列关系 :,若,设有集合,记作,记作,必有,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义 3 . 给定两个集合 A, B,并集,交集,且,差集,且,定义下列运算:,余集,直积,特例:,为平面上的全体点集,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或,3.区间与领域,是指介于某两个实数之间的
3、全体实数.这两个实数叫做区间的端点.,称为开区间,称为闭区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,区间:,称为半开区间,称为半开区间,以上是有限区间,无限区间,机动 目录 上页 下页 返回 结束,邻域:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,绝对值,设 a 是一个实数，,数轴上 a 所对应的点到原点的距离,称为 a 的绝对值，记为：,一般：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,数轴上点 x 到点 a 的距离为,运算性质:,机动 目录 上页 下页 返回 结束,逻辑量词,全称量词,任意,A,For All,For All,存在量词,E,存在,There Exist,There Exist,机动 目录
4、 上页 下页 返回 结束,解释以下命题,对任意实数x，都存在比x 更大的实数y。,任意两个实数之间，都存在着一个实数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,二、 映射,1. 映射的概念,某校学生的集合,学号的集合,某班学生的集合,某教室座位 的集合,机动 目录 上页 下页 返回 结束,引例,定义4.,设 X , Y 是两个非空集合,若存在一个对应规,则 f ,使得,有唯一确定的,与之对应 ,则,称 f 为从 X 到 Y 的映射,记作,元素 y 称为元素 x 在映射 f 下的 像 ,记作,元素 x 称为元素 y 在映射 f 下的 原像 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,定义域 ：Df =
5、X,Rf =,值域 ：,注意:,1) 映射的三要素 定义域 , 对应规则 , 值域 .,2) 元素 x 的像 y 是唯一的, 但 y 的原像不一定唯一 .,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对应规则：,f,几种映射的类型,满映射（满射） 单映射（单射） 一一映射（双射）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机
6、动 目录 上页 下页 返回 结束,定义.,则当,由上述映射链可定义由 D 到 Y 的,设有映射链,记作,复合映射 ,时,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意: 构成复合映射的条件,不可少.,复合映射,三、函数,1. 函数的概念,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2. 反函数 （教材14页）,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,机动 目录 上页 下页 返回 结束,In Excel: abs(x),机动 目录 上页 下页 返回 结束,例7：符号函
7、数（The sign function ）,当 x 0,当 x = 0,当 x 0,In Excel: sign(x),奇函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例8：取整函数,当,In Excel: x=INT(x),3、函数的几种特性,(1) 有界性,(2) 单调性,(3) 奇偶性,(4) 周期性,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、函数的几种特性,定义：设函数,(1) 有界性,恒有,则称,在 a, b 上为有界函数.,否则称,在 a, b 上为无界函数.,有界函数必介于直线,与,之间。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,在D上有上(或下）界。,如果存在常数M(N),有时还要用到有
8、上界或有下界。,使得对任意的,总有,则称,函数,函数在某个区间D上有,界时函数既有上界、也有下界，,反之也成立。,但当函数,在D上只有上界（或有下界）时，,函数在D上无界。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,当,时，,则称,当,时为有界函数。,当,不存在正数,使,则称,当,时，为无界函数。,说明：一个函数是否有界与所给的实数集密切相关。,同一个函数在不同的实数集是否有界的结论可能不一样。,例1 设,机动 目录 上页 下页 返回 结束,时，,则称 f ( x ),则称,上是单调增加的 ;,上是单调减少的.,(2) 单调性,定义：设函数,且,在,在,单增和单减函数统称为单调函数。,机动 目录 上
9、页 下页 返回 结束,例1：证明,的符号。,证明函数,且,的单调性，关键是看,看,机动 目录 上页 下页 返回 结束,或当,例2,这说明：有时一个函数在整个区间D不是单调的，,而将D分成几个小区间，,却在每个小区间上是单调的，,这需要分别讨论。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 奇偶性,若,则称 f (x) 为偶函数;,若,则称 f (x) 为奇函数.,定义：,设函数,在对称区间,上有定义。,且满足,其图形对称于 y 轴。,其图形对称于原点。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(3) 奇偶性,说明: 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,偶倍奇零,机动 目录 上页
10、下页 返回 结束,则此函数在为偶函数。,例2 判断函数,的奇偶性。,解,是偶函数,是奇函数,例1：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,是定义在,上的任意函数，证明,是偶函数，,是奇函数。,证明 对于任意的,是偶函数，,是奇函数。,例3 设,一个奇函数与一个偶函数之积是奇函数。,补充：两个奇（偶）函数之和仍是奇（偶）函数；,之积是偶函数;,机动 目录 上页 下页 返回 结束,(4) 周期性,且,则称,为周期函数 ,若,称 l 为周期,( 一般指最小正周期 ).,周期为 ,周期为,注: 周期函数不一定存在最小正周期 .,例如, 常量函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求周期函数的周期的方法
11、：,由此等式中解出 l .,例：求函数,的周期 l .,解：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4、复合函数,定义：,的定义域内，,则,即： 设有函数链,称为由, 确定的复合函数 ,u 称为中间变量.,注意: 构成复合函数的条件,不可少.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,两个以上函数也可构成复合函数.,例如,可定义复合函数:,或,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1：设,求,解：,即：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,求 f ( x ) .,解：,例2：已知,机动 目录 上页 下页 返回 结束,四. 初等函数,1、 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三
12、角函数,2、 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,机动 目录 上页 下页 返回 结束,1、幂函数,无论,为何值，,幂函数在,内总是有定义。,反比例函数：,定义域为：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,幂函数的图形和性质,1、图形都通过点（1，1）。,2、,时，图形过原点，,且在,内单调增加。,3、,时，图形在,内单调减少。,图像特点及性质：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,2、指数函数,此类函数的特点是：,底数均为常数，,指数是变量,定义,称为指数函数
13、，,用描点法在同一坐标系中,引例,三个函数的图形分别为:,它的定义域是整个实数,指数函数,（3）,曲线从左到右逐渐上升。,曲线从左到右逐渐下降。,但与 x 轴不相交.,(4),与,的图形对称于 y 轴.,（1）图形在 x 轴的上方,（2）图形均过点,性质：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,3、 对数函数的定义,的反函数记为,称为对数函数,指数函数,与对数函数,互为反函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,对数函数的性质,2、图形在 y 轴的右方,1、图形均过点,(4),与,的图形对称于 x轴.,不与 y 轴相交。,曲线从左到右逐渐上升。,曲线从左到右逐渐下降。,3、,机动 目录 上页
14、下页 返回 结束,特别：自然对数函数,的反函数记为,称为自然对数函数,互为反函数。,与,机动 目录 上页 下页 返回 结束,例1：,验证函数,是单调增加的。,证：,且,是单调增加的。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,则此函数为奇函数,判断函数,的奇偶性.,解,例2,机动 目录 上页 下页 返回 结束,4、三角函数,1、,是有界函数；,是奇函数，,4、周期,3、,是单增函数；,此为最小周期。,图形关于原点对称；,值域: -1, 1,（1）正弦函数的性质,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）余弦函数的性质,1、,是有界函数；,是偶函数对称于y 轴；,4、周期,3、,是单减函数；。,值域:
15、 -1, 1,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）正切函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,正切函数的性质,（1）在定义域中是无界函数；,（2）是奇函数；,（3）在,内是单调增函数；,（4）周期为,（4）余切函数,性质：,（1）在定义域,（2）是奇函数；,（3）在,内是单调减函数；,（4）周期为,中是无界函数；,（5）正割函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（6）余割函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,5、反三角函数,三角函数的对应关系在其定义域内是单值的，,但是，,它们的反对应关系是多值的。,根据反函数的,定义，,三角函数在其定义域内是没有反函数的。,如果把三角函数的定
16、义域划分成若干个区间，,使在每个区间函数的反对应关系是单值的。,那么，,三角函数在这些区间内都分别存在反函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（1）反正弦函数的定义,正弦函数,反正弦函数,定义,正弦函数,在,上的反函数，称为,反正弦函数，记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反正弦函数的性质,（1）在 -1, 1 上有界函数。,（2）是奇函数,（3）在,上是单调增函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（2）反余弦函数的定义,余弦函数,反余弦函数,定义,余弦函数,在,上的反函数，称为,反余弦函数，记为,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反余弦函数的性质,（1）在 -1, 1 是
17、有界函数。,（2）是非奇非偶函数；,（3）在,上是单调减函数。,机动 目录 上页 下页 返回 结束,（3）反正切函数,定义,正切函数,在,内的反函数，,称为反正切函数，记为,定义域：,值域：,其图形：,机动 目录 上页 下页 返回 结束,反正切函数的性质,（1）在,（2）是奇函数,（3）在,上是单调增函数。,内是有界函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,性质,（1）在,（2）是非奇非偶函数；,（3）在,内是单调减函数。,内是有界函数,（4）反余切函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,注意:,1、,都是表示角。,3、,反三角函数的值域称为主值区间，务必牢记。,注意反三角函数的定义、定义域和值域。,2、,机动 目录 上页 下页 返回 结束,常用几个的初等函数公式,机动 目录 上页 下页 返回 结束,内容小结,1. 集合的概念,定义域 对应规律,3. 函数的特性,有界性, 单调性,奇偶性, 周期性,4. 反函数与复合函数,2. 函数的定义及函数的二要素,5. 基本初等函数,机动 目录 上页 下页 返回 结束,
