1、1,第一章,数学分析基础,函数,极限,连续, 研究对象, 研究方法, 研究桥梁,函数与极限,二、映射,三、函数,一、集合,第一节,映射与函数,2,一、集合,1.集合:,具有某种特定性质的事物的总体称为集合.,组成这个集合的事物称为该集合的元素.,有限集,无限集,2.区间：,是特殊的实数集.,有限区间：,无限区间：,注：以后在不需要指明所说区间是否包含端点，,有限区间还是无限区间的场合，,为“区间”，且常用 I 表示.,以及是,我们就简单的称它,3,则数集,记为：,(2)几何意义:,3.邻域:,4,4.常量与变量:,在某过程中数值保持不变的量称为常量,注意:,常量与变量是相对“过程”而言的.,通
2、常用字母a, b, c等表示常量,而数值变化的量称为变量.,常量与变量的表示方法：,用字母x, y, t等表示变量.,5.绝对值:,绝对值不等式:,5,定义域,1.函数的定义:,为定义,在 D 上的函数 ,记为,2.函数图形:,自变量,因变量,二、函数的概念,6,定义域与对应法则.,3.说明：,(1)函数的两要素:,当两个函数的定义域及对应法则均相同时，则这两个函数相同，否则就是不同的.与变量用什么字母无关.,不同,不同,相同,7,表示函数的记号除常用的 f 外,还可用其它的英文字母或希腊字母.如:,为区别不同的函数,需用不同的记号来表示它们.,(3)单值与多值：如果自变量在定义域内任取一个数
3、值时,对应的函数值总是只有一个,这种函数叫做单值函数,否则叫做多值函数.,一般把多值函数附加条件后化为单值函数进行研究.,8,(4)定义域及其求法：有实际背景的函数要考虑实际意义；对于抽象地用算式表达的函数通常约定这种函数,的定义域是使函数解析式有意义的自变量的取值范围.,(自然定义域) 在这个约定下,表示函数时,不必写出D，,1)分式函数：,分母不等于零的自变量的值.,2)开偶次方：,3)对数函数：,4)反三角函数：,5)多个函数的代数和的定义域：,是其各自定义域的交集.,(5)表示法：,定义：自变量在不同的范围内用不同的式子来表示的函数,称为分段函数.,9,三、几个特殊的函数举例,1.常数
4、函数,2. 绝对值函数,图形是平行于x轴的一条直线.,y = 2,图形如图.,10,为符号函数.,它的定义域,值域,图形如上.,由于对于一切x,关系式,成立.,3. 符号函数,注意：,(1)分段函数指的是一个函数,而非几个函数.,(2)分段函数的定义域是将x的值并起来,值域也并起来.,11,4. 取整函数,高斯函数,x表示不超过x 的最大整数,如：,一般地：,图形称为阶梯曲线，,而且在x的整数值处,图形发生跳跃,跳度为1.,12,5. 狄利克雷函数,德国数学家狄利克雷对函数作了广义的论述：,不管是否可用一个数学公式来表示对应关系，,能作出图像，,两个变量之间,只要有数值上的确定法则对应关系 ,
5、也不管是否,均可认为是函数关系.,13,例1. 已知函数,解:,写出 f (x) 的定义域及值域, 并求,f (x) 的定义域,值域,14,容易证明：有界的充分必要条件是既有上界又有下界,四、函数的四种特性,1.函数的有界性:,说明：,(1)界不唯一,不要求找最小的界.,(2)还可定义有上界、有下界和无界.,(3)函数的有界性是局部概念.,使,称,为有界函数.,一般的,15,有界,(4)有界函数的图像特征:有界函数图像在两平行线之间.,(5)曾学过的有界函数：,16,2. 单调性,称,为 I 上的,单调增函数 ;,称,为 I 上的,单调减函数 ;,说明：,(1)单调性与定义区间I 有关，也是局
6、部概念.,(2) 单调函数图像特点：,(3) 判断方法:定义法;图像法;导数法.,(4)这里是严格单调.,增：上升；减：下降.,17,3.函数的奇偶性:,设D关于原点对称.,则称f(x)为偶函数.,则称f(x)为奇函数.,说明：,(1)定义域关于原点对称，奇偶性是整体概念；,不是,是,(2)奇偶函数的定义域不一定是R.,(3) 若,在 x = 0 有定义 ,为奇函数时,则当,必有,18,(4)偶函数的图形关于y 轴对称,奇函数的图形关于原点对称;,偶函数,y,x,o,x,-x,奇函数,(5)函数按奇偶可分为四类:,(6)判断奇偶性的方法有：定义法;图像法;性质法.,奇函数;偶函数;非奇非偶函数
7、;既是奇函数又是偶函数.,19,解：,例2. 判断下列函数的奇偶性,说明: 给定,则,偶函数,奇函数,20,4. 周期性,则称,为周期函数 ,称T为周期.,说明：,(1)周期函数的定义域是无限的点集.周期性是整体概念,设函数,(2)若有周期,则周期不唯一, 以后说周期函数的周期指,最小正周期.,并非每个周期函数都有最小正周期.,是对整个定义域而言的.,例如, 常量函数,任何一个实数都是它的周期，,但没有最小正周期.,21,(3)图像特点：周期性地重复出现.,又如, 狄里克雷函数,是周期函数(无最小正周期),结论：,(4)常见的周期函数：三角函数.,(5)判断周期函数的方法：定义法,性质法.,2
8、2,1.定义：,五、反函数,说明：,(2)单值函数的反函数不一定单值.,定理：,其反函数,(减),(减) .,y = f (x)单调递增,且也单值单调递增,23,(3),但它们是不同的函数,对称 .,直接函数,反函数,(4)求反函数的步骤：,分离,交换x,y,24,例3.求,的反函数及其定义域.,解:,则,则,故 所求反函数为：,定义域为:,25,则,定义：设有函数链,称为由, 确定的复合函数.,1) 构成复合函数的条件,不可少.,六、复合函数,x:自变量；,u:中间变量；,y:因变量.,所以不是任何两个函数都可以复合成一个复合函数的;,如：,注意:,26,复合函数可以由两个以上的函数经过复合
9、构成.,2),必须分解为简单函数才算完成.,如：,如：,分解方法:从外到里.,4) 复合函数的定义域如何求？,例如,27,例4. 设函数,求,解:,x 换为 f (x),28,七、 初等函数,(1) 基本初等函数,幂函数、,指数函数、,对数函数、,三角函数、,反三角函数,(2) 初等函数,由常数及基本初等函数,否则称为非初等函数 .,例如 ,并可用一个式子表示的函数 ,经过有限次四则运算和复合步,骤所构成 ,称为初等函数 .,可表为,故为初等函数.,均为初等函数.,29,函数的分类:,初等函数,非初等函数(大部分分段函数,有无穷多项的函数,用级数,积分,表格,方程,语言等表达的函数),代数函数,超越函数(解析式中含反,对,指,三的函数),有理函数,无理函数(解析式中含有根式的函数),有理整函数(多项式函数),有理分式函数(分式函数),函数,30,内容小结,1.邻域：,2.特殊函数：,常数函数;绝对值函数;最值函数;符号函数;高斯函数;狄里克雷函数等.,3. 函数的特性:,有界性,单调性,奇偶性,周期性.,4. 初等函数的概念.,练习：P21 : 4(2)(4) )(6) (8) (10); 5 写在书上.,作业:P21 6; 15(2)(4); 16; 18.,预习:P23-P30,31,
