1、1,一、常见数集,二、映射,三、函数,映射与函数,2,几个数集所有自然数构成的集合记为N, 称为自然数集.所有实数构成的集合记为R, 称为实数集.所有整数构成的集合记为Z, 称为整数集.所有有理数构成的集合记为Q, 称为有理数集.,一、常见数集,3,(a, b)=x|axb开区间.,a, b=x|axb闭区间.,a, b)=x|axb半开区间,有限区间,上述有限区间中, a 和 b 称为区间的端点, b-a 称为区间的长度.,(a, b=x|axb半开区间.,4,(-, b=x|xb,(-, +)=x| |x|+.,a, +)=x|ax,无限区间,(-, b)=x|xb,(a, +)=x|ax
2、,5,邻域U(a, )=(a-, a+ )=x| |x-a| 称为点 a 的 邻域, 其中点 a 称为邻域的中心, 正数 称为邻域的半径.,去心邻域,当不标明半径时, 以点 a 为中心的邻域, 记作 U(a).,设变量 xU(a, ), 则 越小, 表示 x 与 a 越接近.,6,1.映射的概念,设 X、Y 是两个非空集合, 如果存在一个法则 f , 使得对 X 中每个元素 x, 按法则 f , 在 Y 中有唯一确定的元素 y 与之对应, 则称 f 为从 X 到 Y 的映射, 记作f : XY.,定义,y 称为元素 x(在映射 f 下)的像, 并记作 f(x), 即 yf(x),X 中所有元素
3、的像所组成的集合称为映射 f 的值域, 记为 Rf , 或 f(X), 即Rf f(X) f(x)| xX.,元素 x 称为元素 y(在映射 f 下)的一个原像;,集合 X 称为映射 f 的定义域, 记作 Df , 即 Df X.,二、映射,7,2.单射与逆映射,设 f 是 X 到 Y 的单射, 则由定义, 对每个 yRf , 有唯一的 xX, 适合 f(x)y, 规定 g(y)x. 于是, 我们可定义一个从 Rf 到 X 的新映射 g. 这个映射 g 称为 f 的逆映射, 记作 f 1, 其定义域为 Rf , 值域为 X.,逆映射,单射设 f 为 X 到 Y 的映射, 若对 X 中任意两个不
4、同元素 x1x2, 它们的像 f(x1)f(x2), 则称 f 为 X 到 Y 的单射.,8,三、函数,设数集 DR, 则称映射 f : D R 为定义在 D 上的函数, 通常简记为 yf(x), xD, 其中 x 称为自变量, y 称为因变量, D 称为定义域, 记作 Df , 即 Df D.,1.函数概念,定义,自然定义域,定义域未标明的算式表示的函数, 其定义域是使得算式有意义的一切实数组成的集合, 这种定义域称为函数的自然定义域.,9,构成函数的要素是定义域 Df 及对应法则 f . 如果两个函数的定义域相同, 对应法则也相同, 那么这两个函数就是相同的, 否则就是不同的.,函数的两要
5、素,坐标平面上的点集(x, y)| yf(x), xD 称为函数 yf(x), xD 的图形.,函数的图形,注: 值域不同的两个函数一定不相同.,10,分段函数在自变量的不同变化范围中, 对应法则用不同式子来表示的函数称为分段函数.,例2 取整函数 y=x:,表示不超过 x 的最大整数.,11,例3,此函数的定义域为 D=0, 1(1, +)=0, +).,12,设函数 f(x)的定义域为 D, 数集 XD. 如果存在数 K1, 使对任一 xX, 有 f(x)K1, 则称函数f(x) 在 X 上有上界.,(1)函数的有界性,如果存在数 K2, 使对任一 xX, 有 f(x)K2, 则称函数f(
6、x) 在 X 上有下界.,如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有 | f(x)|M, 则称函数 f(x) 在 X 上有界; 如果这样的 M 不存在, 则称函数 f(x) 在 X 上无界.,2.函数的几种特性,注: 函数 f(x) 在 X 上有界的充分必要条件是它在 X 上既有上界又有下界.,13,例4,解一,解二,问题:,14,例5 证明函数 f(x)=x sin x 在0,+)上无界.,分析:,证明:,如果存在正数 M, 使对任一 xX, 有 | f(x)|M, 则称函数 f(x) 在 X 上有界.,如果对任一正数 M, 总存在 x0X, 使 | f(x0)|M, 则称函数 f(x) 在
7、X 上无界.,15,设函数 y=f(x) 在区间 I 上有定义, x1 及 x2 为区间 I 上任意两点, 且 x1x2.,如果恒有 f(x1)f(x2), 则称 f(x) 在 I 上是单调增加的.,(2)函数的单调性,如果恒有 f(x1)f(x2), 则称 f(x) 在 I 上是单调减少的.,单调增加和单调减少的函数统称为单调函数.,16,设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称,如果在 D 上有 f(-x)=f(x), 则称 f(x) 为偶函数.如果在 D 上有 f(-x)=-f(x), 则称 f(x) 为奇函数.,(3)函数的奇偶性,奇偶函数举例y=x2, y=cos x, f(x)
8、+f(-x) 都是偶函数.y=x3, y=sin x, f(x)-f(-x) 都是奇函数.,注: 常量函数为偶函数.,奇偶函数的运算性质,将偶函数对应于正数, 奇函数对应于负数.,17,奇函数的图形对称于原点,偶函数的图形对称于 y 轴,奇偶函数的图形特点,设函数 f(x) 的定义域 D 关于原点对称,如果在 D 上有 f(-x)=f(x), 则称 f(x) 为偶函数.如果在 D 上有 f(-x)=-f(x), 则称 f(x) 为奇函数.,(3)函数的奇偶性,18,例6 判断,解,的奇偶性.,为奇函数,19,(4)函数的周期性,设函数 f(x) 的定义域为 D. 如果存在一个不为零的数 l,
9、使得对于任一 xD 有 (xl)D, 且 f(x+l)=f(x), 则称 f(x) 为周期函数, l 称为 f(x) 的周期. 周期函数的图形特点,20,3.反函数与复合函数,反函数设函数 f : Df(D) 是单射, 则它存在逆映射f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数.,按习惯, yf(x), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D).,例如, 函数 yx3, xR 是单射, 所以它的反函数存在, 其反函数为,函数 yx3, xR 的反函数是,提问: 下列结论是否正确？,21,函数 yf(x) 和 yf 1(x) 的图形关于直线 yx 是对称的.,3.反函数
10、与复合函数,反函数设函数 f : Df(D) 是单射, 则它存在逆映射f 1: f(D)D, 称此映射 f 1 为函数 f 的反函数.,按习惯, yf(x), xD 的反函数记成 yf 1(x), xf(D).,提示:,22,例7,解,则有,所求反函数为,其定义域为(-1,1),即为所求值域.,23,例8,解,于是,所求定义域为,所求定义域也可表示为,24,函数 yf g(x) 称为由函数 yf(u) 和函数 ug(x) 构成的复合函数, 变量 u 称为中间变量.,复合函数,注: 1. g 与 f 能构成复合函数的条件是: RgDf F. 否则, 不能构成复合函数. 2. g(x)Df 的解集
11、为 f g(x) 的自然定义域.,3. 函数 y f g(x)也记为 y = f g (x).,例9,解,25,解,例10 分解下列复合函数:,(1),(2),(3),26,例11,解一,令,得,解二,27,解,例12,28,解,例13,分析:,29,基本初等函数幂函数: yx (R 是常数); 指数函数: ya x(a0 且 a1); 对数函数: yloga x (a0 且 a1), 特别当 ae 时, 记为 yln x;三角函数: ysin x, ycos x, ytan x, ycot x, ysec x, ycsc x;,4.初等函数,反三角函数: yarcsin x, yarccos
12、 x, yarctan x, yarccot x . ,30,4.初等函数,初等函数 由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步骤所构成的函数, 称为初等函数.,都是初等函数.,例如, 函数,提问: y =| x | 是初等函数吗?,提示:,提问: 幂指函数 y=xsin x 是初等函数吗?,31,解,思考题 已知,求,(1),(2),由(1)和(2)得,32,作 业习题1.1 (P17):22.(3) 24. 25. 30. 31.,33,反三角函数,反正弦函数,y=arcsin x,34,y=arccos x,反余弦函数,反三角函数,35,反正切函数,y=arctan x,反三角函数,36,余切函数ycot x 在 (0, p )上的反函数称为反余切函数的主值, 记为y=arccot x, 其定义域为(-, +), 值域为(0, p).,反余切函数,y=arccot x,反三角函数,37,反三角函数值的确定,求arcsin x的方法是：,38,求arccos x的方法是：,在0, p内确定一点a，,则arccos x=a。,使cos a=x，,反三角函数值的确定,
