1、 高等数学公式导数公式：基本积分表：三角函数的有理式积分： 222 11cos1sin udxtguxux ， ， ， axactgxxctgln1)(logs)(es)(2 221)(1)(arcosinxarctgxxCaxaxdshcxadCxctgxctgddx)ln(lnsseesineco2222CaxadxaxadxCrctgtxxdctgCrcsinl21n1slsenilcs22Caxaxdax axaxdaIndInnn rcsinl22)(1cossi2 22222020一些初等函数： 两个重要极限：三角函数公式：诱导公式：函数角 A sin cos tg ctg- -s
2、in cos -tg -ctg90- cos sin ctg tg90+ cos -sin -ctg -tg180- sin -cos -tg -ctg180+ -sin -cos tg ctg270- -cos -sin ctg tg270+ -cos sin -ctg -tg360- -sin cos -tg -ctg360+ sin cos tg ctg和差角公式： 和差化积公式： 2sini2cosco2sin2sincoictgtctg1)(1sincos)cos(ini xarthcxsechstxeshxxx1ln2)(l:2:2）双 曲 正 切双 曲 余 弦双 曲 正 弦 .5
3、9047182.)1(limsin0exx倍角公式：半角公式： cos1insico12cos1insico12 scsssin tgtg 正弦定理： 余弦定理： RCBbAa2iiin Cab22反三角函数性质： rctgxarctgxxxarcosrcsi 高阶导数公式莱布尼兹（Leibniz）公式： )()()2()1()(0)()( !)1()! nknnnnnkk uvuknvuvuCv 中值定理与导数应用： 拉 格 朗 日 中 值 定 理 。时 ， 柯 西 中 值 定 理 就 是当柯 西 中 值 定 理 ：拉 格 朗 日 中 值 定 理 ：xFfabfab)(F)()( )曲率：
4、.1;0.)1(limMsM:.,13202aKayds MsKtgydxs 的 圆 ：半 径 为直 线 ：点 的 曲 率 ： 弧 长 。：化 量 ；点 ， 切 线 斜 率 的 倾 角 变点 到从平 均 曲 率 ： 其 中弧 微 分 公 式 ： 23313cos4cosiniintgt22 2221sicosin1cossinitgtt定积分的近似计算： ba nnnba nnba n yyyyxff yyxf )(4)(2)(3)( 21)()( 13124011010 抛 物 线 法 ：梯 形 法 ：矩 形 法 ：定积分应用相关公式： babadtfxfykrmFApsW)(1),221均
5、 方 根 ：函 数 的 平 均 值 ： 为 引 力 系 数引 力 ：水 压 力 ：功 ：高等数学定理大全第一章 函数与极限 1、函数的有界性在定义域内有 f(x)K1 则函数 f(x)在定义域上有下界，K1 为下界；如果有f(x)K2，则有上界，K2 称为上界。函数 f(x)在定义域内有界的充分必要条件是在定义域内既有上界又有下界。 2、数列的极限定理(极限的唯一*)数列xn不能同时收敛于两个不同的极限。 定理(收敛数列的有界*)如果数列xn收敛，那么数列xn一定有界。 如果数列xn无界，那么数列xn一定发散；但如果数列xn有界，却不能断定数列xn一定收敛，例如数列 1，-1，1，-1，(-1
6、)n+1该数列有界但是发散，所以数列有界是数列收敛的必要条件而不是充分条件。 定理(收敛数列与其子数列的关系)如果数列xn收敛于 a，那么它的任一子数列也收敛于 a.如果数列xn有两个子数列收敛于不同的极限，那么数列xn是发散的，如数列 1，-1，1，-1，(-1)n+1中子数列x2k-1收敛于 1，xnk收敛于-1，xn却是发散的；同时一个发散的数列的子数列也有可能是收敛的。 3、函数的极限函数极限的定义中 00(或 A0(或 f(x)0)，反之也成立。 函数 f(x)当 xx0 时极限存在的充分必要条件是左极限右极限各自存在并且相等，即 f(x0-0)=f(x0+0)，若不相等则 limf
7、(x)不存在。 一般的说，如果 lim(x)f(x)=c，则直线 y=c 是函数 y=f(x)的图形水平渐近线。如果lim(xx0)f(x)=，则直线 x=x0 是函数 y=f(x)图形的铅直渐近线。 4、极限运算法则定理有限个无穷小之和也是无穷小；有界函数与无穷小的乘积是无穷小；常数与无穷小的乘积是无穷小；有限个无穷小的乘积也是无穷小；定理如果 F1(x)F2(x)，而 limF1(x)=a，limF2(x)=b，那么 ab. 5、极限存在准则两个重要极限 lim(x0)(sinx/x)=1；lim(x)(1+1/x)x=1.夹逼准则如果数列xn、yn、zn满足下列条件：ynxnzn 且 l
8、imyn=a，limzn=a，那么 limxn=a，对于函数该准则也成立。 单调有界数列必有极限。 6、函数的连续性设函数 y=f(x)在点 x0 的某一邻域内有定义，如果函数 f(x)当 xx0 时的极限存在，且等于它在点 x0 处的函数值 f(x0)，即 lim(xx0)f(x)=f(x0)，那么就称函数 f(x)在点 x0处连续。 不连续情形：1、在点 x=x0 没有定义；2、虽在 x=x0 有定义但 lim(xx0)f(x)不存在；3、虽在x=x0 有定义且 lim(xx0)f(x)存在，但 lim(xx0)f(x)f(x0)时则称函数在 x0 处不连续或间断。 如果 x0 是函数 f
9、(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称 x0 为函数 f(x)的第一类间断点(左右极限相等者称可去间断点，不相等者称为跳跃间断点)。非第一类间断点的任何间断点都称为第二类间断点(无穷间断点和震荡间断点)。 定理有限个在某点连续的函数的和、积、商(分母不为 0)是个在该点连续的函数。 定理如果函数 f(x)在区间 Ix 上单调增加或减少且连续，那么它的反函数 x=f(y)在对应的区间Iy=y|y=f(x)，xIx上单调增加或减少且连续。反三角函数在他们的定义域内都是连续的。 定理(最大值最小值定理)在闭区间上连续的函数在该区间上一定有最大值和最小值。如果函数在开区间内连续或函数在闭区间上有
10、间断点，那么函数在该区间上就不一定有最大值和最小值。 定理(有界性定理)在闭区间上连续的函数一定在该区间上有界，即 mf(x)M.定理(零点定理)设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，且 f(a)与 f(b)异号(即 f(a)f(b)函数在该点处连续；函数 f(x)在点 x0 处连续在该点可导。即函数在某点连续是函数在该点可导的必要条件而不是充分条件。 3、原函数可导则反函数也可导，且反函数的导数是原函数导数的倒数。 4、函数 f(x)在点 x0 处可微=函数在该点处可导；函数 f(x)在点 x0 处可微的充分必要条件是函数在该点处可导。 第三章 中值定理与导数的应用 1、定理(罗尔定理)：如
11、果函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内可导，且在区间端点的函数值相等，即 f(a)=f(b)，那么在开区间(a，b)内至少有一点 (a0，那么函数 f(x)在a，b上单调增加；(2)如果在(a，b)内 f(x)0时，函数 f(x)在 x0 处取得极小值；驻点有可能是极值点，不是驻点也有可能是极值点。 7、函数的凹凸性及其判定：设 f(x)在区间 Ix 上连续，如果对任意两点 x1，x2 恒有 f(x1+x2)/2f(x1)+f(x1)/2，那么称 f(x)在区间 Ix 上图形是凸的。 定理：设函数 f(x)在闭区间a，b上连续，在开区间(a，b)内具有一阶和二阶导数，那么(
12、1)若在(a，b)内 f(x)0，则 f(x)在闭区间a，b上的图形是凹的；(2)若在(a，b)内 f(x)可积。 定理：设 f(x)在区间a，b上有界，且只有有限个间断点，则 f(x)在区间a，b上可积。 3、定积分的若干重要性质性质：如果在区间a，b上 f(x)0 则abf(x)dx0.推论：如果在区间a，b上 f(x)g(x)则abf(x)dxabg(x)dx.推论：|abf(x)dx|ab|f(x)|dx.性质设 M 及 m 分别是函数 f(x)在区间a，b上的最大值和最小值，则 m(b-a)abf(x)dxM(b-a)，该性质说明由被积函数在积分区间上的最大值及最小值可以估计积分值的
13、大致范围。 性质(定积分中值定理)如果函数 f(x)在区间a，b上连续，则在积分区间a，b上至少存在一个点 ，使下式成立：abf(x)dx=f()(b-a)。 4、关于广义积分设函数 f(x)在区间a，b上除点 c(acb）外连续，而在点 c 的邻域内无界，如果两个广义积分acf（x）dx 与cbf（x）dx 都收敛，则定义abf（x）dx=acf（x）dx+cbf（x）dx，否则（只要其中一个发散）就称广义积分abf（x）dx 发散。 第六章 定积分的应用 求平面图形的面积(曲线围成的面积) 直角坐标系下(含参数与不含参数) 极坐标系下(r，x=rcos，y=rsin)(扇形面积公式 S=R2/2) 旋转体体积(由连续曲线、直线及坐标轴所围成的面积绕坐标轴旋转而成)(且体积 V=abf(x)2dx，其中 f(x)指曲线的方程) 平行截面面积为已知的立体体积(V=abA(x)dx，其中 A(x)为截面面积) 功、水压力、引力 函数的平均值(平均值 y=1/(b-a)*abf(x)dx)
