1、高等数学复习提纲一、考试题型1填空题 6 题2计算题 8 题二、知识点1平面及其方程。例题：一平面过点(1 0 1)且平行于向量 a(2 1 1)和 b(1 1 0) 试求这平面方程 解 所求平面的法线向量可取为 kjijiban3012所求平面的方程为(x1)(y0)3(z1)0 即 xy3z40 2空间直线及其方程。例题：求过点(2 0 3)且与直线 垂直的平面方0125374zyx程 解 所求平面的法线向量 n 可取为已知直线的方向向量 即 kjikjin 1462531) ,()4 ,21( 所平面的方程为16(x2)14(y0)11(z3)0 即 16x14y11z650例题：求过点
2、(3 1 2)且通过直线 的平面方程 12354zyx解 所求平面的法线向量与直线 的方向向量s1(5 2 1)垂直 因为点(3 1 2)和(4 3 0)都在所求的平面上 所 以 所 求 平 面 的 法 线 向 量 与 向 量 s2(4 3 0)(3 1 2)(1 4 2)也是垂直的 因此所求平面的法线向量可取为 kjikjisn984152所求平面的方程为8(x3)9(y1)22(z2)0 即 8x9y22z590 3旋转曲面。例题：将 zOx 坐标面上的抛物线 z25x 绕 x 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程 解 将方程中的 z 换成 得旋转曲面的方程2zyy2z25x 例题：将 z
3、Ox 坐标面上的圆 x2z29 绕 z 轴旋转一周 求所生成的旋转曲面的方程解 将方程中的 x 换成 得旋转曲面的方程2yxx2y2z29 4. 多元复合函数求导，隐函数求导。例题：求函数 的全微分 xyez解 xdyexydzxdz12例题：设 zu2ln v 而 v3x2y 求 z解 zx 31ln22vyu 2)3()2ln(yxyxzz )2(ln22vyxu 232)3()ln(yxy例题：设 zex2y 而 xsin t yt3 求 dtz解 dtztdt 222)(costeyxx 6)6(cosin23tetyx例题：设 sin yexxy20 求 xy解 令 F(x y)si
4、n yexxy2 则 Fxexy2 Fycos y2xy dycoscs例题：设 求 xyxartnln2d解 令 则yFrctal),(2 2222 )(11yxxyxx 2222)(yy yxFdy5.重积分（直角坐标，极坐标） 。例题： 其中 D(x y)| |x|1 |y|1Ddyx)(2解 积分区域可表示为 D 1x1 1y1 于是yx)(2d2)( xdx132 d1313x8例题： 其中 D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和( )的三角Ddyx)cos(形闭区域 解 积分区域可表示为 D 0x 0yx 于是 Ddyx)cos(d)cos(00)sin(dxy0in20c21x
5、x 0|)cos1(xd)os(3例题：利用极坐标计算下列各题 (1) ，其中 D 是由圆周 x2y24 所围成的闭区域 Dyxde2解 在极坐标下 D( )|02 02 所以yxde22 )1()(14402 ed(3) 其中 D 是由圆周 x2y24 x2y21 及直线 y0 yx 所围成xyDarctn的第一象限内的闭区域 解 在极坐标下 所以21 ,40|),(D Ddddxy arctnarctn 402140321645求曲顶柱体体积。例题：求由曲面 zx22y2 及 z62x2y2 所围成的立体的体积 解 由 消去 z 得 x2+2y2=62x2y2 即 x2y2=2 26yxz
6、故立体在 xOy 面上的投影区域为 x2y22 因为积分区域关于 x 及 y 轴均对称 并且被积函数关于 x y 都是偶函数 所以DdyxV)2()26( Dd)36(2 01d 820x例题：计算以 xOy 平面上圆域 x2y2ax 围成的闭区域为底 而以曲面 zx2y2 为顶的曲顶柱体的体积 解 曲顶柱体在 xOy 面上的投影区域为 D(x y)|x2y2ax 在极坐标下 所以cos0 ,2|),( aD axydyV2 4cos2432adda 6 常数项级数的审敛法。例题：判定下列级数的收敛性 (1) )4(1 63521n解 因为 145lim1)(lim22 nnnn而级数 收敛故
7、所给级数收敛 12n(2) 2sin 2sin2sisi 3 解 因为 nnnn 2silm21silm而级数 收敛故所给级数收敛 12n(1) 23 232133 n解 级数的一般项为 因为nnu2 12323lim32)1(3limli 11 nnnu nnn所以级数发散 (2) 123n解 因为 13)1(3lim3)1(limli 221 nnunnnn所以级数收敛 (3) 1!2nn解 因为 12)(lim2!)1(2limli1 ennnunn所以级数收敛 (3) 112tan解 因为121lim2tant)1(limli 1121 nnnnnu 所以级数收敛 例题：判定下列级数是
8、否收敛？如果是收敛的 是绝对收敛还是条件收敛？(1) 41321解 这是一个交错级数 其中 11)()(nnunu1因为显然 unun+1 并且 所以此级数是收敛的 0lim又因为 是 p1 的 p 级数 是发散的 11|)(|nn所以原级数是条件收敛的 (2) 113)(nn解 11|)(|nn因为 所以级数 是收敛的 3lim1n13n从而原级数收敛 并且绝对收敛 7幂级数。例题：求下列幂级数的收敛域 )1( 21 2nxx解 故收敛半径为1)(lim1)(li|lim221 nanR1 因为当 x1 时 幂级数成为 是收敛的 当221)(nx1 时 幂级数成为 也是收敛的 所以收敛域12
9、n为1 1 112)(nnx解 这里级数的一般项为 12)(nxun因为 由比值审敛法 321|lim|li xunn 当 x21 即| x|1 时 幂级数绝对收敛 当 x21 即|x|1 时 幂级数发散 故收敛半径为 R1 因为当 x1 时 幂级数成为 是收敛的 112)(n当 x1 时 幂级数成为 也是收敛的 所以1)(n收敛域为1 1 8函数展开成幂级数。例题：将下列函数展开成 x 的幂级数 并求展开式成立的区间 (1)sin2x 解 因为 xcos1sin x( )02)!(connx所以 x( ) 121022 )!()!(1si nnn例题：将函数 f(x)cos x 展开成 的幂级数 3x解 3sin)i(cos)(3cos sin2)(21xx0120 )3(!)13)!(nnn x5 )( )(!2)(!21 120 xxnn 例题：将函数 展开成(x 3)的幂级数f)解 nnxxx0)13( )1(3131即 nnx0)6( )(例题： 将函数 展开成(x4)的幂级数231f解 231)(xxf而 0)1|34(| )34)4(nx即 )17( 3101xxn 0)1|24(| )214)4(21nxxxx即 )6( 01n因此 00112 2)4(33)(nnxxf )6( )1(0 n注意复习书上习题刘华
