1、本答案由大学生必备网 免费提供下载第八章 多元函数微分法及其应用第一节 多元函数的基本概念本节主要概念，定理，公式和重要结论理解多元函数的概念，会表达函数，会求定义域；理解二重极限概念，注意 是点 以任何方式趋于 ;Ayxfyx),(lim),(),0 ),(yx),(0yx注意理解本节中相关概念与一元函数中相应内容的区分与联系。习题 811.求下列函数表达式:(1) ，求xyxf),( ),(yxf解： y(2) ，求2,f,f解： ()()()y xy2.求下列函数的定义域，并绘出定义域的图形:(1) 21)ln(yxxz解： 2201yx(2) )1ln(2yz解： 0(3) |l),
2、xxf解： 1|y3.求下列极限:(1) 2)1,0(,limxyx解： (,), 1xyy(2) yx4li)0,(,解一： (,)0, (,)0, (,)0,12 148lim2lim2lim4xy xy xyxyxy解二： (,)0, (,)0, (,)0,244( 1limlimlim422)xy xy xyxyxy(3) (4)yxsinli)0,1(, 0liyx解一： (,), (,)1,0i sn()li2)li23xy xy解二： (,)1,0(,), (,)1,0snmmli2)xy xyxyx(4) 20liyx解一：22200011lilili()0x xxy yyy解
3、二：2 22220 00limli lim0()1xx xyy yyx 4.证明下列函数当 时极限不存在:,),(1) 2),(xf解：222001lilixxykk(2) 22)(),(yf解：400limlim1x xy20li()xy5.下列函数在何处是间断的?(1) yxz1解：(2) z2解： yx第二节 偏导数本节主要概念，定理，公式和重要结论1.偏导数：设 在 的某一邻域有定义，则),(yxfz),0，xyffx ),(),(lim000.yyf),(00的几何意义为曲线 在点 处的切线对 轴),(0yxf ),(fz ),(,(00yfMx的斜率.在任意点 处的偏导数 、 称为
4、偏导函数，简称偏导数.求),(f),(yx),(yxf),(f时，只需把 视为常数，对 求导即可.yx2.高阶偏导数的偏导数 的偏导数称为二阶偏导数，二阶偏导数的偏导数称),(fz),(),(ffyx为三阶偏导数，如此类推. 二阶偏导数依求导次序不同，有如下 4 个：，其中后两个称为混合偏导数.yzx22,若两个混合偏导数皆为连续函数，则它们相等，即可交换求偏导数的次序.高阶混合偏导数也有类似结果.习题 821.求下列函数的一阶偏导数:(1) xyz解： 21,zx(2) yzarctn解： 22221,1()()yzxyxx yx(3) lnz解： 2221(1)xyxyy2222()zy
5、x(4) )ln(zxu解： 222222,uyuzyxzy(5) yzxtdeu 2解： 2222,zyzyzxzuee(6) xyzcosin解： 221 1sin,cossinyxuxyxyy(7) (8)yxz)( )(e解： l(),(1)l11xyx xy(8) coseu解： ()sin(),cos()in()ue 2.求下列函数在指定点处的一阶偏导数:（1） ，求yxyxzarcsi)1(2)1,0(xz解：20,)limxx（2） ，求xezyarctn)1(2)0,1(yz解： 0(1,)liyy3.求下列函数的高阶偏导数:(1) ， 求 ， ，)ln(xz2xzyxz2解
6、： 1,y222,zzxxy(2) ，求 ， ， ，)(cos22zyx2z2解： sin()sin()zxy4cos()2y22,8cos(),4cos2()zzzxyxyxyx (3) ， 求 ， 2 yxtdez2xzy解： 2 2 22,(1),4xy xxxyzee 4.设 ，求 和 .0 0),( 223yxf )0,(xyf),(yxf解： ()(,),limlimxx xfff，0 0,()yy yy4242, ,()xf xx2(,),y yy540 0(,)(,)(,)limlim1xxxyy yfff540 0(,)(,)(,)li lixxyx xfff5.设 ， 求证
7、)1(yezzyz22解: 1()()22,xyxe11()()()2 22xyxyxyzx ez6.设 ， 证明22zyr rzr2证明: 2 22322, xxrxryz由轮换对称性, 323,rz22 1rxrxyzr第三节 全微分本节主要概念，定理，公式和重要结论1.全微分的定义若函数 在点 处的全增量 表示成),(yxfz),(0z2,( yxoyBA则称 在点 可微，并称 为 在点,f,0 BdAyx),(xfz的全微分，记作 .),(0yxdz2.可微的必要条件：若 在 可微，则),(xf),0（1） 在 处连续；,(f,0y（2） 在 处可偏导，且 ，从而) ),(),(00y
8、xfyxf.ddfdzyx,),(0一般地，对于区域 内可微函数， .Ddffzyx,3.可微的充分条件：若 在 的某邻域内可偏导，且偏导数在 处连续，,f),(0 ),(0yx则 在 可微。),(yxfz),0注：以上定义和充分条件、必要条件均可推广至多元函数。习题 831.求下列函数的全微分(1) (2)2lnyxz xyz1arctn解: 2211d()dd()xyxy(2) xyzarctn解: 21dd() 22222()(d)(1)d(1)(1)()1xyxyxyxyxy(3) 0,sinz解: ilsinl sinsindd(il)(col)xyxyxeyyxy(4) 2u解:
9、222 22 ddd xyxyzxyzxyzxy 232()d(d)xyzxy(5) )(zyxeu解: 22()22()xyzexyz2ddd)z2(3)dxyz所以 2()22(3)2d)xyxyzue zxyx (6) yz解: lnldlnlyzxyzxey(dll)yzx2.求函数 ，当 时的全微分.1(2yx2,1x解: 2)z(1,2)d| (d)43xy3.求函数 ，当 时的全增量与全微分.xyz 20,1.,解: (2,1)2d| 54z(0.1,)(,)0.8.6.| .192yyzxx4.研究函数 在点 处的可微性.)0,(, sin,2yxf ),(解: 由于 ，所以
10、在点 连续，22001lim(,)li()ixxyyf f ,fxy(0,)又220 00sin(,)(,) 1(,)li limlimsnxx x xfff2 20 001(,)(,)(,)li liliyy x xyfff yy又 22,snxf y所以 222()()(,)(,)1sinxyfffxyxy2220 0(,)(0,)(,)(,) 1limlimsin0xyx xy yffff yxy 所以 在点 处可微,f,5.计算 的近似值.33)971().(解：令 ，则 ，,fxy23dd(,)xyfy再设 0()(2,00则 33 0197(,)(,)fxfxyf3162.956.
11、已知边长 的矩形，如果 边增加 5cm，而 边减少 10cm，求这个矩形的对8m,6yx角线的长度变化的近似值.解：对角线长为 ，则 ，2(,)fxy2d(,)xyf所以 2(6,8)60.58.10.5(6.05,79,d| 9fff第四节 多元复合函数的求导法则本节主要概念，定理，公式和重要结论复合函数的求导法则（链式法则）如下：1.设 在 可偏导， 在相应点有连续偏导数，则),(),(yxvyxu, ),(vufz在 的偏导数为fz yfff ;2.推广：(1)多个中间变量：设 ， 则),(),(xvyxu),(),(wvufzxw且,),(yxfz yyufzff ;(2)只有一个中间
12、变量：设 则 且),(),(xfyxu),(,xuzfxfz ;(3)只有一个自变量：设 ， 则 且)(,tvt)(tw)(,)(ttfzdffdtuftz习题 841.求下列复合函数的一阶导数(1) 32,sin, tytxezyx 解： 3222sinddcos(co6)xxy tzeettett(2) 34,),arcsi(tz解：22211dd1()()(34)xzytttttxyxy(3) ez),arcn(解： 222()()1xyz exx(4) zxaaeucos,sin,1)(2解： 222dd()sin11axaxyuzeyeexx2(sincossin()ii1a xax
13、eax2.求下列复合函数的一阶偏导数(1) yvyuvz ,2解： ()4xxy(2) tsytsxz 23,ln2 解：2 221 33ln()ln()()2ssy stst tt t232 1ln3zxsxt tsts3.求下列复合函数的一阶偏导数（ 是 类函数）f)1(C(1) ),(xyefz解： ，12fx12xyzfef(2) ),(fz解： ，1y12zxf(3) )(2fz解： ，2zxyf2zfyf(4) )(fu解： ， ，22yzfzxx1zfxzfxyuf4.设 且 具有二阶连续偏导数，求),(fuf z2,解： 123yzx2 2332ffxfzfyzxf 5.已知
14、，其中 有二阶连续导数，求)()(yxz, yxz2,解： 212yf fx2 221z xffxyxy6.设 ，其中 有连续二阶偏导数，求)(,(ygfgf, z2解： 12122zyfxxyx213231yfffgx1223xyfgyx第五节 隐函数的求导公式本节主要概念，定理，公式和重要结论1.一个方程的情形（1）若方程 确定隐函数 ， 则 .0),(yxF)(xyyxFd（2）若方程 确定隐函数 ，则 ； .,z,zzxzy2.方程组的情形（1）若 确定 ， ，则0),(zyxGF)(xy)(z， .),(,)(zyGFxd),(,)(zyFxd（2）若 确定 ，则0),(vuyxGF
15、,)xvu， ； ， .),(,vu),(,(vuGFy),(,)(vuFx),(,)(vuGFy习题 851求下列方程所确定的隐函数 的一阶导数xydxy(1) 02yex解： 2dd()(2)yy yxee(2)sin2x解： 20(sin)d()dxyexxydsixx(3) y解： 22lnlndlndlndlndyxyxyxyxyy(l)()()xy (4) xyarctnln2解： 2 22d1dd()yxyxyxdxyyy2求下列方程所确定的隐函数 的一阶偏导数),(zyzx,(1) 03yxz解： 2 23dd0(3)dxyzzxy21,zz(2) yxyx)sin(3解： 3
16、sin(2)3cos(2)(d)d2xyzxyzxyzxyzxyzco1d1,z(3) yzxln解： ld(1ln)ldzzxzy，(1ln)y1,ln(1ln)zxzyy(4) 02xzyx解： d2(dd)0yxzz()d()()zyzxz,yx3求下列方程所确定的隐函数的指定偏导数(1)设 2 ,0xzxyze求解： dd0()ddzeyxyzexyzxy,zzxey2222(1)()(1)zzz zyeyexyxx323)()(zxeyyyz(2)设 xa3,求解： 32 2d(d)0()ddzxzxyzxyzxzy2,yy2 22 22()()()() )zzx zzxyxyxyz
17、2 25323()()(yzxz(3)设 yxzzxey 2 ,1)sin(求解： sin()dcos()d0x xyeezxco()dicointan1,tazzxzxy222 3si()sec()sec()t()coxzxy(4)设 yt yxzdz ,0ln2求解： 2 22 1()dd0xt xyee2,1yzzx222 222 3()1()()yxyx xzez zey4设 ，而 是由方程 所确定的隐函数，求3u),(yz z22)1,(xu解： 2233ddxzxzxyz又 (dd)y xy，(1,)d|z(1,) 1,)| |u, ,uz所以 (1,)2x5.求由下列方程组所确定
18、的隐函数的导数或偏导数（1）设 ，求 0322zyz dxzy,解：ddd213(6)46 d2xzzxz zzyy(1),d1323zyxxz(2)设 ，求 vuecosinyvxu,解： (i)dsdiysindcos()1isiuvxyencos,(co)1(in)1s,i su uvvxeyev6.设 ，求uvzeyexuu,i,c yzx,解： dosnd(cosdin)icsisuuuvevy又 (i)coduzexvyxv(csi)osnu uevv所以 osin,(ci)uzex7.设 ，而 是由方程 所确定的 的函数，其中 都具有一阶连),(tfy0),tyxFyx,Ff,续
19、偏导数.试证明tytfdx解：由 ，),(txfy12yf又 3123,00d(d)FFttFxy 2121 321233dd()ffyxyfyf所以 213fF第六节 多元函数微分学的几何应用本节主要概念，定理，公式和重要结论1.空间曲线的切线与法平面 设点 ，),(00zyxM(1)参数方程情形： 若 ，(),: ttt则切向量为 ；其中 ； (),(0zytx 0)()2022 tzty切线方程为 ；)(00t法平面方程为 .0)()()( 0000 ztytxt(2)一般方程情形：若 ，,:zGF则切向量为 ；)0(),(),(),( ,(),( 00 zyxMzyxzyxMGFxzy
20、 kji切线方程为 ；000 ),(),(),(00MMxzFyzyx法平面方程为 .0)(),(, 000 zyxFyGGM2.空间曲面的切平面与法线 设点 .)(0zx(1)隐式方程情形 若 ，),(:zyF则法向量为 ；)(00 zxn切平面为 ；0)()0 zFyMzy法线为 .)(0zyx(2)显式方程情形 若 ，,:xfz则法向量为 ，1,0yxn切平面为 ；)(,)(0000 yxzy法线为 .,),(0xzzyx(3)参数方程情形 若 ，),(),(: vuzvu则法向量 ，)0(, ,),( 00 vuvuvu yxzyxkjin切平面为 ；)(),()(,),( 0),0)
21、,),( 000 zxzvuvuvu法线为 .),(),(),( ),(),(0),( 000 vuvuvu yzzyzyx习题 861求曲线 对应 的点处的切线和法平面方程.2,1,tztytx1t解： 22()|(,)4t切线：1248yxz法平面： 1()(1)04822xyz2求下列曲面在指定点处的切平面与法线方程（1） ，点 3xyze),(解： 2,10)(,|n切平面： 4xy法线： 1z（2） ，点2byaxcz),(0yx解： 0(,)21(,| ,)xyzncabc切平面： 00022(xz200()()xyzyabcc即 0 0022xz法线：220 000 022()(
22、)()11zaxbyzycab3求出曲线 上的点，使在该点的切线平行于平面 .ttx,3 62zyx解：设曲线 在点 的切向量为z(,)|txyz2(3,)t平面 的法向量为 ，由题意可知6zy12n221(,1)(,340,ntttt所以，该点为 ),()794求椭球面 上平行于平面 的切平面方程.322zyx 02zyx解：设曲面 在点 处的法向量为 ，则0(,)zn，由题意可知，0(,)nz 031令 ，又 ，所以0003,2,12xyttxytz 220039xyz，代入得223491674tt00013,3424xyz所以切平面方程为 13()()()024xyz或 3() 0xyz
23、即 或240yz43xz5试证曲面 上任何点处的切平面在各坐标轴上的截距之和等于 1.1证明：设 为曲面 上任一点，则曲面在该点处的法向量为(,)Pxy，那么切平面的方程为1nyz 11()()()0XxYyZz即 ，该平面在三个坐标轴上的截距为1XYZxyzx，故,z16求曲线 在点 处的切线和法平面方程.my22, ),(0解：曲线 在点 处的切向量为xzy01(,)2myz所以切线的方程为 000()2()11y法平面为 ，即000()xz001122xzxy第七节 方向导数与梯度本节主要概念，定理，公式和重要结论1.方向导数(1)定义 设 在点 的某邻域内有定义， 是任一非零向量， ，
24、),(yxfz),(yxPl ),(bale则 在点 处沿 的方向导数定义为),(yxfltyxfbaft ),(),im0表示函数 在点 处沿方向 的变化率.lf),(f l(2)计算公式若 在点 处可微，则对任一单位向量 ，有,yxf,yxP),(bale（此也为方向导数存在的充分条件）.byxfafl ),(),(2.梯度(1)定义 设 ，则梯度 grad 为下式定义的向量：)1(,(Cyxf),(fgrad （或 ） .,yxfyx),(,(yxffx(2)方向导数与梯度的关系 lyxfle),(3)梯度的特征刻画梯度是这样的一个向量，其方向为 在点 处增长率最大的一个方向；其模),(
25、f),(yxP等于最大增长率的值.习题 871求下列函数在指定点 处沿指定方向 的方向导数0Ml(1) 为从点（1，2）到点（2，2+ ）的方向,)(,2yxz 3解：方向 为 ，而l 31(1,2)(1,2)|4zzxy所以 (1,2)(1,2)(1,2)|cos|coszzxyl(2) ),artn0lMzyu解： 3(,)(,)l(1,2)(1,2)(1,2)(1,2)|cos|cos|coszzxyl而 2artnuyuxuxyzz所以 (1,2) 3|coscos4412l2求函数 在抛物线 上点（1，2）处，沿着这抛物线在该点处偏向)lyxzx2 x轴正向的切线方向的方向导数.解：
26、抛物线 在点 处的切向量为2(1,)(1,2)2,|(,)yl=(1,2)(1,2)(1,2)|cos|cos33uzzxyl3求函数 在点 处沿方向角为 的方向的方向x3), 3,4,导数.解： (1,2)(1,2)(1,2)(1,2)|cos|cos|cosuzzzxyl(,) (,) (1,2)| |3|343yxxy1524设 具有一阶连续的偏导数，已给四个点 ，若f ),6(7,DCBA在点 处沿 方向的方向导数等于 3，而沿 方向的方向导数等于 26，求),(yxfABAC在点 处沿 方向的方向导数.D解： 512(2,0)1,(0,4),1(,)3(,)CD,|cos|cs|3A
27、AAfxyfffyxB(,)|26yC所以 , 512|cos|cs353AAfxyffD5设 ，求 grad 及 gradzxzyz32),(2)0,(f)1,(f解： (0,)grad0(,4,6|,6fx (1,)1, |6问函数 在点 处沿什么方向的方向导数最大？并求此方向导数的最大值.zu2),1P解：沿梯度方向的方向的方向导数最大 22(1,) (1,)grad(,)(,|,|8,4)uyzxxyz|r1,2)|64mxul第八节 多元函数的极值及其求法本节主要概念，定理，公式和重要结论1.极大（小）值问题必要条件. 若 在点 有极值且可偏导，则),(yxf),(0.0),(,0y
28、xfyxf使偏导数等于零的点 称为 的驻点（或稳定点）.驻点与不可偏导点都是可疑极值点，,0还须用充分条件检验.充分条件. 设 在区域 内是 类函数，驻点 ，记),(yxfzD)2(CD),(0,00 yxfyxfBA（1）当 时， 是极值，且 是极小（大）值；2C)(A（2）当 时， 不是极值；0),(0f（3）当 时，还需另作判别 .2.最大（小）值问题首先找出 在 上的全部可疑极值点（设为有限个） ，算出它们的函数值，并与),(yxfD的边界上 的最大.最小值进行比较，其中最大、最小者即为 在 上的最大、最小值.D fD对于应用问题，若根据问题的实际意义，知目标函数 在 内一定达到最大（
29、小）),(yx值，而在 内 的可疑极值点唯一时，无须判别，可直接下结论：该点的函数值即为),(f在 内的最大（小）值.fD3.条件极值（拉格朗日乘子法）求目标函数 在约束方程 下的条件极值，先作拉格朗日函数),(yxfz0),(yx,)(),fL然后解方程组 ，则可求得可疑极值点 .0,yx ),(0yx对于二元以上的函数和多个约束条件，方法是类似的。习题 881求下列函数的极值（1） )2(),(2yxeyf解：222 (41)012(,)()0xxeyxfey yy 2 22 2, (,)483),4(1)0,x xf fyAeBe ，22(,)xCey20,AC故 在 处取得极大值,fx
30、1,1(,)(1)2fee（2） 33)( 232yxy解： 22,60()001,(,) 2f xx yyy 可疑极值点有四个，即 (,),(1,),OABC222(,)6,66fxfxfxyy点 (0,)(,)(1,)B(,1)C-6 6 0 0B0 0 6 -6C-6 6 0 02A-36 -36 36 36是否极值点 极大值点 极小值点 不是 不是(0,),()812ff2求下列函数在约束方程下的最大值与最小值（1） 4,2, yxyxf解：令 2 2(,)(,)(41)(41)Fxyfxyyxyy222 7088(,)18064 34y xxyxy 最大值47717(,)33f最小值
31、18, 42（2） 6,)(2zyxzyxf解：令 ,(3)F 2222220(,)431660, 3 3xyz xxzyxyzyzFz 最大值 ，最小值(,)fxyz 2(,)3fxyz3从斜边之长为 的一切直角三角形中，求有最大周长的直角三角形.l解：令 22(,)()l2222102, 0()xyFxxyyxylll所以当直角三角形的两直角边 时，该直角三角形的周长最大，且为xyl(1)sxyll4求两曲面 交线上的点与 面距离最小值.226,zxzxoy解：设两曲面 交线上的点为 ，由题意可得yxy(,)Pz22min|s.t 6dzx令 22(,)()(6)Fyuzxyuzxy2 2
32、(,)40(2)0, ,0() (),60,xyz zu uFuxuuxyyzFzux xyxyxy ,6， ，2306uzzyy当 时 ， 2032026zuxxz当 时 ，206zuzxx当 时 ， 与 矛 盾，2()026uzyzx当 时 ， 024xuyz当 时 ，202 60zuyy当 时 ， 与 矛 盾所以当 时， 到 面的距离最短。,x(,)Pzxo5求抛物线 到直线 之间的最短距离.2x解：设抛物线 上任一点 到直线 的距离为 ，则,y02yd2|min s.tyd令 (,)()()Fxx2 102,() 4yyxyx 所以，点 到直线 的距离为 为最小，且 1,4P0yd72
33、86求表面积为 1500cm2，全部棱长之和为 200cm 的长方体体积的最大值和最小值.解：设长方体的三条棱长分别为 ，由题意可知，,xz50,750xyzxyzVxyz令 (,)(50)(7)Fuxyzu(,)()0()0, ()5()57,70xyzFuyzzyxzuxyyzzxyxuy 0当 时，y 2222 2()()0()050551501731763zuzzxuxxuzx 所以当 时， 有最大和最小值，即0513xyzV2 2002550()(10)(1)(310)727V7抛物面 被平面 截成一椭圆，求原点到这椭圆的最长与最短距离.yxzzyx解：曲线 上任一点 到坐标原点的距
34、离为 ，则21(,)Pd222 s.tzxydxy令 22(,)()()(1)Fzuzuxyz22010,(), 1010xyz uyyzzxuxFxy当 时， 矛盾，所以 ，即 ，代入得12010zxyzxy22248131021xzxx所以 ，即3,yz22223()953dx习题 911 设有一平面薄板(不计其厚度) 占有 xOy 面上的闭区域 D 薄板上分布有密度为 (x y)的电荷 且 (x y)在 D 上连续 试用二重积分表达该板上全部电荷 Q 解 板上的全部电荷应等于电荷的面密度 (x y)在该板所占闭区域 D 上的二重积分Ddyx),(2 设 其中 D1(x y)|1x1 2y
35、2 132)(DdyxI又 其中 D2(x y)|0x1 0y2 2试利用二重积分的几何意义说明 I1与 I2的关系 解 I1表示由曲面 z(x2y2)3与平面 x1 y2 以及 z0 围成的立体 V 的体积 I2表示由曲面 z(x2y2)3与平面 x0 x1 y0 y2 以及 z0 围成的立体 V1的体积显然立体 V 关于 yOz 面、xOz 面对称 因此 V 1是 V 位于第一卦限中的部分 故V4V1 即 I14I23 利用二重积分的定义证明 (1) (其中 为 D 的面积) Dd证明 由二重积分的定义可知 Dniiifdyxf10),(lm),(其中 i表示第 i 个小闭区域的面积 此处
36、 f(x y)1 因而 f( )1 所以 010liliDnd(2) (其中 k 为常数) Dyxfkyxkf),(),(证明 niiini ii ffdf 1010 ),(lm,l, Dniii dyxfkfk ),(),(lm10(3) 21),(DDyxdyxf其中 DD1D2 D1、 D2为两个无公共内点的闭区域 证明 将 D1和 D2分别任意分为 n1和 n2个小闭区域 和1i 2in1n2n 作和 22111 ),(),(),( ni iiniiii fff 令各 和 的直径中最大值分别为 1和 2 又 max(12)i2i 则有 niiif10),(lm 2211100 ),(l
37、im),(l niinii ff 即 21 ,(, DDD dyxfdyxdyx4 根据二重积分的性质 比较下列积分大小 (1) 与 其中积分区域 D 是由 x 轴 y 轴Ddyx2)(Ddyx3)(与直线 xy1 所围成 解 区域 D 为 D( x y)|0x 0y xy1 因此当(x y) D 时 有( xy)3(xy)2 从而 Dd3)(Dd2)(2) 与 其中积分区域 D 是由圆周(x 2)Dd2)(yx2(y1)22 所围成 解 区域 D 如图所示 由于 D 位于直线 xy1 的上方 所以当(x y)D 时 xy1 从而(xy) 3(xy)2 因而DDdd32(3) 与 其中 D 是
38、三角形闭区域 三角D)ln(3)(顶点分别为(1 0) (1 1) (2 0) 解 区域 D 如图所示 显然当( x y)D 时 1xy 2 从而0ln(xy)1 故有ln(xy)2 ln(xy) 因而 DDdyxdyx)ln()ln(2(4) 与 其中 D(x y)|3x5 0y1 3解 区域 D 如图所示 显然 D 位于直线 xye 的上方 故当(x y)D 时 xye 从而ln(xy)1 因而 ln(xy)2ln(xy)故 DDdd2ln(ln(5 利用二重积分的性质估计下列积分的值 (1) 其中 D(x y)| 0x1 0y1 DyxI)(解 因为在区域 D 上 0x1 0y1 所以0
39、xy1 0xy2 进一步可得0xy(xy)2 于是 DDdd)即 (2) 其中 D(x y)| 0x 0y DydxI2sin解 因为 0sin2x1 0sin2y1 所以 0sin2xsin2y1 于是 DDdyxd1sin02即 2si(3) 其中 D(x y)| 0x1 0y2 DdyxI)1(解 因为在区域 D 上 0 x1 0y2 所以 1xy14 于是 d4)(即 Dyx82(4) 其中 D(x y)| x2y2 4 dI)94(2解 在 D 上 因为 0x2y24 所以9x24y294(x2y2)925 于是 DDdd5(222)即 Ddyx1094(36习题 921 计算下列二
40、重积分 (1) 其中 D(x y)| |x|1 |y|1Ddyx)(解 积分区域可表示为 D 1x1 1y1 于是)(2d2)( xd132 xd13138(2) 其中 D 是由两坐标轴及直线 xy2 所围成的闭区域 Dy)2(解 积分区域可表示为 D 0x2 0y2x 于是Ddyx)23( d2)3( dxy023 04024(3) 其中 D(x y)| 0x1 0y1yx)(23解 Dd310323)(d0134dyx 10)4(y42y1(4) 其中 D 是顶点分别为(0 0) ( 0) 和( )的三角形闭区域xcos 解 积分区域可表示为 D 0x 0yx 于是 Ddyx)cos(d)
41、cos(00)sin(dxy0in20c21 |)cos1(xx dx)os(3 2 画出积分区域 并计算下列二重积分 (1) 其中 D 是由两条抛物线 所围成的闭区域 Ddyy2解 积分区域图如 并且 D(x y)| 0x1 于是x yx102dx23d56)3(047d(2) 其中 D 是由圆周 x2y24 及 y 轴所围成的右半闭区域 Dd2解 积分区域图如 并且 D(x y)| 2y2 于是24yx4040221ddyx 563)1( 22y(3) 其中 D(x y)| |x|y|1 Dyxde解 积分区域图如 并且D(x y)| 1x0 x1yx1(x y)| 0x1 x1yx1 于是 10xxdedede10101yxy 1022)()(dxexee1 022xee(4) 其中 D 是由直线 y2 yx 及 y2x
