1、1（一）函数单调性1.增函数、减函数 12x时，都有 12()fxf，那么就说函数 ()fx在区间 D 上是增函数；如果对于定义域 I 内某个区间 D 上的任意两个自变量的值 12,x，当 12x时，都有 12()ff，那么就说函数 ()fx在区间 D 上是减函数.注意：1）求函数的单调区间，必须先求函数的定义域.定义的变式设 2121,xbax那么()()0ffbaxfxff ,)(0)(21在上是增函数；1212()()xffxfff ,)()(21在上是减函数.例：证明函数 xf1)(在 )0,( 上是增函数.变式与扩展：讨论函数 f(x) 21xa (a0)在区间(-1，1)内的单调性
2、若函数 ,1,)(2xaxf在 R上是单调递增函数，求 a的取值范围.2讨论函数 32)(axxf在 )2,(内的单调性.二.一些重要函数的单调性对勾函数的图象 1yx的单调区间：增区间 (,1)(；减区间 (1,0).0,ba的单调区间：增区间 ,ba；减区间(,)( 0,byax的图象分式函数 cxabc的图象若 ),(b是 (xf的单调增区间， b,21，且 21x，则有（ ）A 21fB ffC xfD 021x函数 2xy的单调递减区间为（ ）A ,0B 0,C ),D ,(例：已知偶函数 ()fx在区间 ,)单调增加，则满足 (21)fx (3f的 x 取值范围是（A） （ 13，
3、 2） (B) 13， 2） (C)（ 1， 3） (D) ， 2）w.变式：二次函数的基本性质例 1、函数 2()fxt在1，2上是单调递增函3数，则实数 t的取值范围是_三、函数的奇偶性的几个性质、对称性：奇（偶）函数的定义域关于原点对称；、整体性：奇偶性是函数的整体性质，对定义域内任意一个 x都必须成立；、可逆性： )(xff f是偶函数； )(奇函数；、等价性： ( 0x)(ff ff、奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于 y轴对称；、可分性：根据函数奇偶性可将函数分类为四类：奇函数、偶函数、既是奇函数又是偶函数、非奇非偶函数。四、函数的奇偶性的判断判断函数的奇偶性大致有下列两种
4、方法：第一种方法：利用奇、偶函数的定义，主要考查 )(xf是否与 )(xf、 相等，判断步骤如下：、 定义域是否关于原点对称；、 数量关系 )(xff哪个成立；例：、 xf2)3 、 243x 变式：1、 1(f 2、 )(f ,13、 xx2) 4、 22xx5 )5,(2f 6 f)( （9） 1lg)(f7 x1lg) 8 、 |2x （12） x31 若函数 xf3(与 xg3)(的定义域均为 R，则A. )与 与均为偶函数 B. )(f为奇函数， )(xg为偶函数C. (xf与 g与均为奇函数 D. x为偶函数， 为奇函数2 设 ()f是定义在 R上的奇函数，当 时， ()fx，则
5、()f（A） (B) （） （）四、关于函数的奇偶性的几个命题的判定。命题 1 函数的定义域关于原点对称，是函数为奇函数或偶函数的必要不充分条件。4命题 2 函数 f(x)+f(-x)是偶函数，函数 f(x)-f(-x)是奇函数。命题 3 已知函数 f(x)是奇函数，且 f(0)有定义，则 f(0)=0。命题 4 已知 f(x)是奇函数或偶函数，方程 f(x)=0 有实根，那么方程 f(x)=0 的所有实 根之和为零；若 f(x)是定义在实数集上的奇函数，则方程f(x)=0 有奇数个实根。7、关于函数奇偶性的简单应用1、利用奇偶性求函数值例 1：已知 8)(35bxaxf 且 10)2(f，那
6、么 )2(f变式与扩展：1、如果奇函数 f在 7,上是增函数，且最小值是 5，那么 xf在 3,7上是（ ）A增函数，最小值是-5 B增函数，最大值是-5C减函数，最小值是-5 D减函数，最大值是-52.设奇函数 f(x)的定义域为-5,5.若当 x0,5时, f(x)的图象如右图,则不等式 0xf的解是 3、奇函数 ()fx在区间 ,ab上是减函数且有最小值 m，那么 ()fx在 ,ba上是（ ）A、减函数且有最大值 m B、减函数且有最小值C、增函数且有最大值 D、增函数且有最小值2、利用奇偶性比较大小例 2：已知偶函数 )(xf在 0,上为减函数，比较 )5(f， 1f， )3(的大小。
7、变式：1已知函数 24fa( 3a),若 12x， 120x则A. 12()fxB. ()ffC. ()fD. 1x与 2()的大小不能确定3.利用奇偶性求解析式例 3：已知 )(xf为偶函数 时当时当 0,)(,0xfx，求 )(xf的解析式？5变式1.已知函数 f（ x）是奇函数，且当 x0 时， f（ x） x32 x21，求 f（ x）在 R 上的表达式2、已知函数 )(xfy为奇函数，且当 0x时 32)(xf，则当 0x时，)(xf的解析式为 （ ）A. 32)(xf B. 32)(xxfC. x D. 4、利用奇偶性讨论函数的单调性例 4：若 3)()2()xkf 是偶函数，讨论
8、函数 )(xf的单调区间？5、利用奇偶性与单调性求参数的值例 4.已知函数 1().2xfa，若 f为奇函数，则 a_例 5. 定义在 R 上的偶函数 )(xf在 0,是单调递减，若)312(faf，则 a的取值范围是如何？变式：1 若 axf12)(为奇函数，求 a的值；62 若 )2(log)(axxfa是奇函数，求 a的值；3 设 为定义在 R 上的奇函数，当 0x时， bxf2)(，求 ；4 已知定义在 R 上的函数 bf1)(是奇函数，求 ,的值；5 已知 bxaf2)(是定义在 2,a上的偶函数，求 a_;六 函数的单调性（定义域优先考虑）例：函数 32y的单调递减区间是 （ ）A
9、 , B , C 1, D ,变式：1若函数 axxf2与 ag在 2,都是减函数，则 a的取值范围是 （ ） A 1,0 B 1,0 C , D 1,0单调性与奇偶性综合提高：1、设 ()fx为定义在 R上的奇函数，当 x时， ()2xfb（ 为常数） ，则 （ ） （A）-3 （B）-1 （C）1 (D)32.函数 1()fx的图像关于（ ）A y轴对称 B 直线 xy对称 C 坐标原点对称 D 直线 对称3 下列函数中，既是偶函数，又是在区间 (0,)上单调递减的函数是（ ）（A） 1ln|yx. （B ） 3yx. （C） |2xy. （D） cosyx.4 下列函数中，既是偶函数，又
10、在 ),0(单调递增的函数是（A） 2yx (B) 1yx （C） 21yx (D) 2xy 5、下列函数中,在区间（0,1）上是增函数的是 （ ）A. xy B. xy3 C. xy 42xy6、若函数 )0()(2acbf 是偶函数，则 cbag3)(是 （ 7）A奇函数 B、偶函数 C、非奇非偶函数 D。既是奇函数又是偶函数选做题：1.若函数 ()21)(xfa 为奇函数,则 a=(A)12 (B) 3 (C) 4 (D) 12.设函数 fx和 g分别是上的偶函数和奇函数，则下列结论恒成立的是 是偶函数 fxg是奇函数 fx是偶函数 是奇函数3.设 ()f为定义在 R上的奇函数，当 0x时， ()2xfb（ 为常数） ，则 1（A）-3 （B）-1 （C）1 (D)34设 0,a，函数 2lg(3)xfa有最大值，则不等式2log(57)x的解集为 。5已知定义域为 R的函数 12()xbfa是奇函数。（）求 ,ab的值；（）若对任意的 t，不等式 22()()0ftftk恒成立，求 k的取值范围；8
