1、 上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 1 -一、函数的奇偶性奇偶性定义:设函数 ,任取 ,有 ,则称函数 为偶函数；yfxDxfxyfx,则称函数 为奇函数.fxf性质:(1)函数的奇偶性是函数的整体性质,是对函数的整个定义域而言;(2)由 知,若 则 ,因此,函数 的定义域 关于原点对称是fxffx,xDfxD函数 为偶(奇)函数的必要条件(非充分)(3)若 ,则 是 为奇函数的必要条件(非充分)0D0ffx(4)常数函数 一定 是偶函数;若 则 既是偶函数又是奇函数;函数xcR00cfx既是偶函数又是奇函数 ( ,其
2、中 是关于原点对称的任何一个非空数集)fxfxD(5)奇偶函数的图像特征:函数 是奇函数 函数 图像关于原点对称；fx函数 是偶函数 函数 图像关于 轴对称. fx y(6)奇偶函数的运算性质:设 为奇函数, 为偶函数, 则在 上有:1D2gxD12,D学生编号 学生姓名 年 级 高 一辅导学科 数 学 授课教师 教材版本 沪教版课题名称函数的性质 1奇偶性与单调性剩余课时 （ ）课时 授课时间 年 月 日教学目标1、掌握奇、偶函数的定义,理解奇偶函数的必要条件,能利用定义判断一些简单函数的奇偶性;2、理解和掌握奇、偶函数的图像特征,能利用函数的奇偶性作一些简单函数的图像;3、掌握函数单调性的
3、定义,掌握单调区间、增减函数、单调函数的概念,理解函数在区间上为单调函数与函数是单调函数的异同点,会利用函数单调性的定义判断一些简单函数.重点难点函数奇偶性、单调性的判定,以及由函数图像研究其性质和由函数性质研究其图像的一般方法.【知识要点】上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 2 -奇 奇 奇,偶 偶 偶,奇 奇 偶,偶 偶 偶,奇 偶 奇；(7)多项式函数 为奇函数 偶次项系数全为 0；2301nfxaxax 多项式函数 为偶函数 奇次项系数全为 0.23n二、函数的单调性单调性定义(唯一证明方法):对于区间 上的函数
4、 ,在 上任取两个DfxD12,x若 称 在区间 上是增函数,区间 成为函数 的单调增区间;120,fxfx f若 称 在区间 上是减函数,区间 成为函数 的单调减区间. x性质:(1)函数单调性是函数的局部性质,研究函数的单调性可以在定义域的某个区间(定义域的子集)上进行(而不需要在整个定义域上);函数的定义域可以有若干个增减性不同的单调区间;若函数在整个定义域上单调,则称 为单调函数.fxfx(2)函数单调性二个等价形式： 在 上单调递增(递减);120fxD 在 上单调递增(递减).12120ffxfx(3)若 在 上单调递增,则 ;若 在 上单调递减,则_.xRabfxR(4)设 则
5、在 上是增(减)函数.12,D1212(0)xffxD(5)单调性与奇偶性:若奇函数 在区间 上单调递增(减),则 在区间 上单调递增, fx,ba(减);若偶函数 在区间 上单调递增(减),则 在区间 上单调递减(增);fx,abfx,ba(6)复合函数单调性:两个单调函数 与 复合,不论复合结果是 还是 ,有如下性fxgfgxfx质:若 与 单调性相同,同增或同减,则复合结果为增;若 与 单调性相反,一个增一个fxg减,则复合结果为减;以上性质可记为一句口诀:“同增异减”.单调区间的书写要求:若函数在区间的端点有定义,常常写成闭区间,当然写成开区间也是可以的.但是若函数在区间的端点处没有定
6、义,则必须写成开区间.另外,若函数 在其定义内的两个区间 、()fxA上都是单调增（减）函数,一般不能认简单地认为 在区间 上是增（减）函数.例如B ()fxAB在区间 上是减函数,在区间 上也是减函数,但不能说它在定义域1()fx(0)(0上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 3 -上是减函数.事实上,若取 ,有 .(,0)()12xx(1)(1)ff一、函数的奇偶性题型一 判断并证明函数的奇偶性方法:(1)定义法:首先判断其定义域是否关于原点中心对称.若不对称,则为非奇非偶函数;若对称,则再判断 或 是否定义域上的恒等
7、式;()fxf()fx(2)图象法:观察图像是否符合奇、偶函数的对称性.说明：(1)分段函数的奇偶性的判定和分类讨论思想密切相关,要注意自变量在不同情况下表达式的不同形式以及它们之间的相互利用;(2)判断函数的奇偶性,首先要考查定义域是否对称;(3)若判断函数不具备奇偶性,只需举出一个反例即可;(4)函数就奇、偶性来划分可以分成奇函数、偶函数、非奇非偶函数、既是奇函数也是偶函数.例 1.判断下列函数的奇偶性:(1) ； (2) xf1)(2 1xfx(2) (4) 0f )0(2f(5) 21xf(6)已知函数 满足: ,且 ,则函数 的奇偶性为)(f ),)(2)()( Ryxfyxff 0
8、)(f)(xf_.题型二 利用奇偶性求函数式或函数值例 2.完成下列各题:1.设函数 为定义域为 R 上奇函数,又当 时 ,试求 的解析式.)(xf 0x2()3fx)(xf【经典例题】上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 4 -2.已知 是奇函数,当 时, ,求当 时, 得解析式.yfx0x21fx0xfx3.设函数 是定义域 R 上的奇函数, ,当 时, ,求 的值.()fx(2)(fxfx01()fx(75)f4.设 在 R 上是偶函数,在区间 上递增,且有 ,求 的取值范围.()fx(0)22(1)(31)fafa
9、a5.已知函数 ,若 ,求 的值.53()4fxab(2)0f(2)f6.若函数 是偶函数,则 _.()fx )21()(ff7.已知 是偶函数, 是奇函数,且 ,试求 的表达式.fgx1fxgxfxg与题型三 逆用函数奇偶性求参数的值例 3.1.若函数 为偶函数,求实数 的值。43()(2)(2)fxmnxxmn,mn2.若函数 是 R 上的奇函数,则实数 =_.2()ln)fxxkk3.已知函数 ,若 为奇函数,求实数 的取值。1xaf a上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 5 -题型四 奇偶函数的图象关系及其运用1
10、.若奇函数 在区间 上是增函数且最小值为 5,则 在区间 上是( )(xf7,3 )(xf7,3A.增函数且最小值为 ; B.增函数且最大值为 ;55C.减函数且最小值为 ; D.减函数且最大值为2.已知函数 在 上是增函数,又函数 是偶函数,则( )(xf202xfA. ; B. ;57(1)f75()1fC. ; D.7(1)2ff 57()22f3.设 是定义在 上的偶函数,且在 上是增函 ,已知 ,那么一定有( )()xR(,0)12120,()xfxfA. ; B. ; C. ; D.120120x12fxf()f4.定义在区间 的奇函数 为增函数;偶函数 在区间 上的图象与 的图象
11、重合 ,设 ,),()(f )(xg),0)(xf 0ba给出下列不等式: ; ;)()(bgafb )()(baf ; a gba其中正确的不等式个数为( )A.1； B.2； C.3； D.45.若函数 是定义在 上的奇函数,且 在 上是增函数,又 ,则不等式 的解()fxR()fx0)(2)0f()0fx集是_.6.设奇函数 在 上为增函数,且 ,则不等式 的解集为( )()f0)(1)f)xfA. B. ；(1,0),0C. D.,(,)(,),7.设 都是 上的奇函数, ,则集合 =( )fxgR|(41),|(0(25)xfxg|()0xfgA. B.(2,10(10,2)C. D
12、.4,5) 5,(,8.设 的定义域是 ,对于任意 都有 时 ,讨论xfyRyx0,xyfyxf 12,ff 的奇、偶性并加以证明; 在 上的单调性并加以证明;求在 上的最值.R6上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 6 -二、函数的单调性题型一 判断并证明函数的单调性例 1.用定义法证明函数 上是减函数.21,xf在证明:原函数可变形为 ,设 ,则212,xx且12fxf121x1221012,0,0fxf12fxf上是减函数.fx在题型二 求函数的单调性区间 准确画出函数的图象是求函数单调区间的重要方法之一,特别是以下
13、几种函数:1.对号函数,俗称“双勾函数”(或者“耐克函数”) (0)ayx2.“V 函数” (类似二次函数抛物线)yaxhk3.双曲线型函数 bcd4. ()yfx5. 等例 2.求下列函数的单调区间6(1)yx1(2)2yx2(3)3yx题型三 复合函数的单调性的求法 复合函数的单调性的求法可分以下几步:1.求复合函数的定义域;2.将复合函数分解为两个基本函数,即 (),()yfugx上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 7 -3.分别求两个基本函数的单调性,利用“同增异减”原理求得原函数的单调性.例 3.(1)求函数
14、的单调区间;(2)求函数 的单调区间.2log(3)yx231xy题型四 已知函数的单调性,求参数的取值范围 处理该题型的基本方法是:主要方法是利用图像,结合函数的性质求解;也可利用函数的单调性定义法求解.例 4.(1)已知 在 单调递增 ,求 的范围_;2()1fxa3,a(2)已知 在 单调递增,求 的范围_;1ay(3)已知 在 上是减函数,则 的范围是_;log(2)ax0(4)已知 是 上的增函数,那么 的取值范围是_;)fa(5)已知函数 ,若 在区间 上是减函数,则实数 的取值范围为_;3(1)xfa()fx01a(6)设函数 在 上是增函数,则 的范围分别为_.)2fxb0,a
15、b题型五 单调性的应用 单调性的应用主要分为三个方面:1.比较大小;2.求值域;3.解不等式.例 5(1)已知定义域为 的函数 在 上为减函数,且满足 为偶函数,则( )R()fx88yfx.(6)7Af.(6)9Bf.7(9)Cf.(7)10Df(2)比较 的大小_.232555,abc(3)比较 的大小_.113334log,l,log2例 6.(1)求 在 上的值域_;(2)求 在 上的值域_.6()fx,52()fx1,4例 7.(1) 定义域为 ,且对于一切 ,都有 ,当 时,f00xy()ffxyyx()0fx(i)求 (ii)判断 单调性并证明;(iii)若 ,解不等式(1)f(
16、)fx(6)1f15()2ff上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 8 -(2)已知定义域为 的函数 是奇函数.R12()xbfa(i) ;_,_ab(ii)若对于任意 ,不等式 恒成立,求 的取值范围.t22()()0ftftkk(一)函数奇偶性1.判断下列函数的奇偶性.(非奇非偶) (非奇非偶)11xf212fx(奇函数) (奇函数)334f42335f x(非奇非偶) (既奇又偶)51xx621x(偶函数) (奇函数)7|3|f 2|3|84f2.若函数 是奇函数,则下列各点中,函数 图像上的点是yfx yfxD,A
17、a,Baf,Ca,af3.设 ,且 ,那么 .13fxb202f4.设 是偶函数 ,那么 . 11f05.若函数 为奇函数,则 .2xfaa26.若函数 ( 不恒等于 0)与 的图像关于原点对称,则考察 的奇偶性,可得yf yfxfx是 偶函数 .fx【课后练习】上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 9 -7.若函数 为奇且不是偶函数,则 , .212fxmxnm1n28.已知奇函数 则其图像与 轴可能有几个交点？所有交点的横坐标之和是多少？其图像与,yfx直线 可能有几个交点？所有交点的横坐标之和是多少？ax若在 处有定
18、义,则有奇数个交点,若没有定义,则有偶数个交点,所有横坐标之和是 009.设函数 的定义域为 ,且 则 是fR,fxyffyfxB奇函数 既是奇函数又是偶函数AB偶函数 既非奇函数又非偶函数CD10.若函数 可以表示成一个奇函数 与一个偶函数的和 ,则奇函数 可以是 .2xyfx fx2x11.函数 为偶函数, 为奇函数,且 求 和 解析式.fgx1,fgxfg2 211,1fx x且 且12.函数 是定义在 上的奇函数,当 时, 求 的解析式.fR01,ff1,0,xf13.设 是任意一个函数,且定义域关于原点对称,则函数 的奇偶性为奇函fx 12Gxffx数.14.已知函数 对一切 都有
19、求证: 是奇函数.f,xyR.fxyffyf提示:先推出 再证00f(二)函数单调性1.函数 在 和 都单调递增,则实数 的取值范围是 .1kyx,0k1,2.讨论函数 上的单调性,并证明. 上单调递减,在 上单调递减21fx在 013.函数 在 上是增函数的一个充分不必要条件是ba,) D1,31,2AaBabCD上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 10 -4.已知函数 在 上单调递减 ,求实数 的取值范围.314,1,axfxRa10,)3a5.已知函数 在 上单调递增,求实数 的取值范围.2f)(,66.若函数 在
20、 上是减函数,则实数 的取值范围是1ax(0a3)7.若二次函数 、 使 在 上单调递减且在 上的21fx22fxbc12fxf0,10,1最大值为 ,最大值为 ,写出一个满足条件的 .22f28.试写出一个不是分段函数形式的函数解析式,使该函数在区间 和 上单调递减,且在区间,和 上单调递增. (答案不唯一 )10, 2|1yx9.若奇函数 在区间 上是增函数,且满足 ,yfx00f求出一个满足条件的函数 的图像; 求不等式 的解集.yfx2x例如: ,0,xyf,0,10.设函数 的定义域为 ,且有: ,对任意正实数 ,都有fxR12fxy 为减函数.,fyffyfx(1)求: ;1,2,
21、448fff (23012)答 案(2)求证:当 时, ;略)x0fx(3)求证:当 时,都有 ;略,yRffxfyy(4)解不等式: 32.fxf1,0)11.设 是定义在 上的函数,对任意实数 ,都有 ,且当 时,f mnfnfm0x1,0x(1)求 的值 ;1f(2)求证: 是 上的减函数;xR上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 11 -(3)如果对任意实数 , 恒成立,求实数 的取值范围.xy2ffyfaxa2,(三)综合题1.若定义域为 的偶函数 的一个单调递增区间是 ,则函数 的一个单调递增区间是 Rf 26
22、2fx.4,82.已知奇函数 在 上单调递减,且有 则以下结论不正确的是 .fx12310,0,xxD12 230 Af Bff3 123CxfDxfx3.已知函数 ,且 均为实数, ,则3x12312310,0x的值(B)123fxff(A)一定大于零;(B)一定小于零;(C)一定等于零;(D)可能大于零,也可能小于零4.定义在 上的偶函数 在 上递减,且 ,则实数 的取值范围为fx021fmfm1,)25.若奇函数 在 上单调递增,且 则不等式 的解集为fx00,f0x06.已知 在 上是偶函数,且在 上为减函数,则不等式 的解集为R3ff3,7.若奇函数 是定义在 上的减函数,且 ,则实
23、数 的取值范围是 fx121faa. 0,18.设 是定义在 上的奇函数,且对任意 在 时,都有 .若yfx1,ab1,0ab0fba,试比较 和 的大小.abfafbfaf9.已知 是奇函数 ,求函数 的单调区间 . 单调递增,在 和21xx1fx在 ,1上单调递减.1,10.有下列命题：(1)若 为奇函数 ,则必有 ;fx0f(2)若 是奇函数,则 一定为奇函数;sinFfx(3)若 为偶函数 ,则 一定不是偶函数.fx1f上海求实进修学校教师教学设计方案Shanghai Qiu Shi Continuation School - 12 -其中真命题的人数为(A)(A)0;(B)1;(C)2;(D)3*11.判断函数的奇偶性: 非奇非偶1sincoxf*12.设 是偶, 是奇函数,求 的值.lg10xfa4231xbgabc12*13.函数 的单调增区间为 .21loy,*14.已知 在 上是减函数,求实数 的取值范围.21lg35xa1a8,6*15.若函数 是减函数,则 的取值范围是 .o0y1,216.已知函数 满足 ,且 .fx2,fyfxfxyR0f(1)求证: 是奇函数;*(2)设 ,求证 :方程 至少有一个实根;若方程 在 上有 个实根,则tanFxf0FxFx,2n必为奇数(1)略(2)略n
