1、1函数的单调性【主要知识回顾】 （略）例 如果 是 上的减函数，且 ， 是 上的增函数。求证：()gx,mn()agxb()f,ab在 上是减函数。f“同增异减” ()tgx()yft()yfgx增 增 增增 减 减减 增 减减 减 增注：判断复合函数的单调性时，首先要求出复合函数的定义域；练习 判断函数 在定义域上的单调性。2()1fx常用结论： 函数 与函数 的单调性相反；()yfx()yfx 函数 与 具有相同的单调性；c为 常 数 当 时， 与 有相同的单调性； 时，情况相反。0c()fxf()为 常 数 0c【题型分类讲解】题型一 函数单调性的判断1 用定义证明函数的单调性（取值做差
2、变形定号判断）（1）证明函数 在 上是减函数。1()fx(0,)（2）证明函数 在定义域上是减函数。 （“分子有理化” ）()fx22利用函数的单调性判断比较复杂函数的单调性注：在相同区间内的考虑两个函数的单调性，则有下面的性质： 增 增 增 ； 减 +减 减 ； 增 减 增 ； 减 -增 减 .练习 求函数 的单调区间。2()(0)xaf3 抽象函数单调性的判断例 已知函数 的定义域为 ，满足 ，且()fxR1()0(fxf()gxfc在区间 上是减函数，判断并证明 在区间 上的单调性。()c为 常 数 ,abg,ba练习 已知定义在 上的函数 对任意 ，恒有(0,)()fx,(0,)y，且
3、当 时， ，判断 在 上的单调性。()()fxyfy1xfx题型二 函数单调性的应用1 函数单调性定义逆命题及其应用逆命题 已知函数 在定义域的某个区间上为增函数，若对区间内的任意两点 ，()fx 12x则 。12()fxf例 1 已知函数 在 上为减函数，比较 和 的大小。()yfx0,)3()4f2)fa例 2 如果函数 ，对任意的实数 ，都有 ，比较 、2()fxbct(2)()ftft(1)f、 的大小。()f43练习 已知函数 ，当 时， 为增函数，设()4),fxxR2()fx。试确定 、 、 的大小。(1),(4),2afbfcfabc2 求参数的范围（函数单调性逆向思维问题）例
4、 已知函数 在 上是减函数，求实数 的取值范围。2()(1)2fxax(,4a练习 若函数 与 在区间 上都是减函数，求实数 的取2()fxax()1ag,2a值范围。3 求函数的最值（解决问题关键：明确函数在定义域各区间上的单调性，再利用函数的单调性解决问题）例 1 求函数 的值域。1yx例 2 已知 ，对函数 ，若 时， 的值域是 ，,()Ab21()fxxA()fxA求 的值。b4 解抽象不等式例 已知 是定义域为 上的增函数，若 ，求实数 的取值范()fx1,2)(1)(3)fafa围。4函数的奇偶性【主要知识回顾】1 用定义判断函数的奇偶性例 1 若函数 为偶函数，求 的值。2()1
5、)3fxmxm例 2 判断函数 的奇偶性。2()xf2 图象的性质（1）奇函数图象的性质： 。_（2）偶函数图象的性质： 。例 研究函数 的性质。 （定义域值域单调性奇偶性）21()fx3 奇偶函数的单调性例 1 设 是奇函数，且在 上是减函数，证明 在 上是减函数。()fx(0,)()fx,0)例 2 设 是偶函数，在区间 上是减函数，证明 在 上是增函数。()fx,ab()fx,ba【题型分类讲解】题型一 判断函数的奇偶性1 利用定义判断下列函数的奇偶性：（1） ； （2） ； ()1fxx22()1fxx（3） 2,1.52 分段函数的奇偶性例 判断函数 的奇偶性。2(5)4,(6,1)
6、.xxf3 抽象函数的奇偶性例 1 函数 ，若对任意实数 都有 。求证 为奇(),fxRa,b()()ffab()fx函数。例 2 函数 ，若对任意实数 都有 。(),fxR12,x121212()()()fxfxfx求证 为偶函数。例 3 设函数 定义在 上，证明 是偶函数， 是奇函数。()fx(,)l()fx()fx题型二 函数奇偶性的应用1 求函数值 例 设函数 是定义在 上的奇函数， ，当 时，()fxR(2)(fxfx01，求 的值。()fx7.5练习 设函数 是定义在 上的奇函数， ，求 的值。()fxR(2)(fxfx(6)f62 求函数的解析式例 1 已知 是定义在 上的奇函数
7、，且当 时， ，求 的解()fxR0x3()1fx()fx析式。例 2 设 为偶函数， 为奇函数，且 ，求 、 的解析()fx()gx1()fxg()fxg式。3 判断函数的单调性例 已知函数 对任意 ，总有 ，当 时，()fx,yR()()fxyfx0， 。()0fx(12f（1）求证： ；)(xf（2）求证： 在 上是减函数；(fR（3）求 在 上的最值。)x3,【体现的数学思想与方法】（1）数形结合思想例 求函数 的单调性。22()6969fxxx练习 1 函数 在 上为增函数，在 上为减函数，求2()3fxmx2,)(,27的值。m练习 2 已知偶函数 在区间 上是增函数，比较 的大小关系。()yfx0,4(3)ff和（2）分类讨论思想例 1 讨论函数 在 上的单调性。()(0)afx(,)（3）方程思想例 已知 是定义在 上的奇函数且 ，求 。()fxR2()1xmfn()fx练习 1 设 是奇函数，且 ，求 、 、 的值。21()axfbc(,)Z(1)2,()3ffabc练习 2 设函数 为奇函数，求 的值。(1)xafa综合题1 函数 是奇函数，且当 时是增函数，若 ，求不等式(),0yfx(0,)x(1)0f的解集。(2f2 定义在 上的偶函数 ，当 时， 为增函数，若 成1,()fx0()fx(1)(2)fmf8立，求 的取值范围。m
