1、.二面角大小的几种求法二面角大小的求法中知识的综合性较强，方法的灵活性较大，一般而言，二面角的大小往往转化为其平面角的大小，从而又化归为三角形的内角大小，在其求解过程中，主要是利用平面几何、立体几何、三角函数等重要知识。求二面角大小的关键是，根据不同问题给出的几何背景，恰在此时当选择方法，作出二面角的平面角，有时亦可直接运用射影面积公式求出二面角的大小。I. 寻找有棱二面角的平面角的方法 ( 定义法、三垂线法、垂面法、射影面积法 )一、定义法：利用二面角的平面角的定义，在二面角的棱上取一点（特殊点） ，过该点在两个半平面内作垂直于棱的射线，两射线所成的角就是二面角的平面角，这是一种最基本的方法
2、。要注意用二面角的平面角定义的三个“主要特征” 来找出平面角。例 空间三条射线 CA、CP 、CB，PCA=PCB=60 o，ACB=90 o，求二面角 B-PC-A 的大小。解：过 PC 上的点 D 分别作 DEAC 于 E，DFBC 于 F，连 EF.EDF 为二面角 B-PC-A 的平面角，设 CD=a，PCA=PCB=60 0，CE=CF=2a，DE=DF= ，又ACB=90 0，EF= ，a32aEDF= 12832a1. 在三棱锥 P-ABC 中， APB= BPC= CPA=600，求二面角 A-PB-C 的余弦值。PBCAEFDABCNMPQ.2. 如图，已知二面角 - 等于
3、120，PA，A ，PB ，B ，求APB 的大小。3. 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，求二面角 B-PC-D的大小。二、三垂线法：已知二面角其中一个面内一点到一个面的垂线，用三垂线定理或逆定理作出二面角的平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，ABC=30 ，求二面角 P-BC-A 的大小。解：如图，PA 平面 BD，过 A 作 AHBC 于 H，连结 PH，则 PHBC又 AHBC，故PHA 是二面角 P-BC-A 的平面角。在 RtABH 中，AH=ABsinABC=aSin
4、30= ；2a在 RtPHA 中，tan PHA=PA/AH= ，则PHA=arctan2. 5. 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是平行四边形，PA平面 ABCD，PA=AB=a，ABC=30，求二面角 P-BC-A 的大小。pAB CDLH pAB CDLHjAB CDPHPOBA.6. 如图，在三棱锥 P-ABC 中，PA平面 ABC，PA=AB，AC=BC=1，ACB=90 0，M 是 PB的中点。(1)求证：BCPC ， (2)平面 MAC 与平面 ABC 所成的二面角的正切。7. ABC 中，A=90，AB=4，AC=3，平面 ABC 外一点 P 在平面 ABC 内的射影是
5、AB 中点M，二面角 PACB 的大小为 45。求（ 1）二面角 PBCA 的大小；（2）二面角 CPBA的大小。8. 如图，已知ABC 中，ABBC ，S 为平面 ABC 外的一点，SA平面 ABC，AMSB 于M，AN SC 于 N,(1)求证平面 SAB平面 SBC (2)求证ANM 是二面角 ASCB 的平面角.9. 第 8 题的变式：如上图，已知 ABC 中，ABBC ，S 为平面 ABC 外的一点，SA平面ABC，ACB60 0， SAACa，(1) 求证平面 SAB平面 SBC (2)求二面角 ASCBC 的正弦值.CBMBAPNKCDPMBAABCMNS.10. 如图,ABCD
6、-A 1B1C1D1 是长方体，侧棱 AA1 长为 1，底面为正方体且边长为 2，E 是棱 BC的中点，求面 C1DE 与面 CDE 所成二面角的正切值。11. 如图 4，平面 平面 ， =l，A ，B ，点 A 在直线 l 上的射影为 A1，点 B 在 l的射影为 B1，已知 AB=2，AA 1=1，BB 1= ，求：二面角 A1ABB 1 的大小。2三、垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时，过两垂线作平面与两个半平面的交线所成的角即为平面角，由此可知，二面角的平面角所在的平面与棱垂直。例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 是正方形，PA 平面 ABCD，PA=AB=a ，求 B-
7、PC-D 的大小。解：（垂面法）如图，PA平面 BD BDAC BDBC 过 BD 作平面 BDHPC 于 H PCDH 、BHjAB CDPH图 4B1A A1BLEFA BCDA1 B1C1D1EO.BHD 为二面角 B-PC-D 的平面角。因 PB= a,BC=a,PC= a, PBBC=SPBC= PCBH 则 BH= =DH， 又 BD= 在2312123a2aBHD 中由余弦定理，得：cos BHD ，又 0BHD ，则2222263163aaBHDABHD= ，二面角 B-PC-D 的大小是 。23212. 空间的点 P 到二面角 的面 、 及棱 l 的距离分别为 4、3、 ，求
8、二面角l 92的大小.l13如图，在三棱锥 SABC 中，SA底面 ABC，ABBC，DE 垂直平分 SC 且分别交AC、 SC 于 D、E，又 SAAB，SBBC ，求二面角 EBDC 的度数。P lCBAABCSD.Al DCAlBCEBDII. 寻找无棱二面角的平面角的方法 ( 射影面积法、平移或延长(展)线(面)法 )四、射影面积法：利用面积射影公式 S 射 S 原 cos ,其中 为平面角的大小，此方法不必在图形中画出平面角。例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形， PA平面 ABCD，PAABa ，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。解：（面积法）如图，
9、，ADPBA于同时，BC 平面 BPA 于 B ，故PBA 是PCD 在平面 PBA 上的射影设平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角大小为 ，则 cos= =452PBACDsS14. 如图，设 M 为正方体 ABCD-A1B1C1D1 的棱 CC1 的中点，求平面 BMD1 与底面 ABCD 所成的二面角的大小。 15. 如图， ， 与 所成的角为 600， 于 C， 于BDAC, llBDB， AC3， BD4，CD2，求 A、B 两点间的距离。lAB CDPAH MD1 C1B1A1BCD.PQ MNB ODAB五、平移或延长（展）线（面）法：对于一类没有给出棱的二面角，应先延伸两个
10、半平面，使之相交出现棱，然后再选用上述方法（尤其要考虑射影法） 。例 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形， PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面角的大小。 （补形化为定义法）解：（补形化为定义法）如图，将四棱锥 P-ABCD 补形得正方体 ABCD-PQMN，则 PQPA、PD，于是APD 是两面所成二面角的平面角。在 RtPAD 中，PA=AD，则APD=45。即平面 BAP 与平面 PDC 所成二面角的大小为 4516. 在四棱锥 P-ABCD 中，ABCD 为正方形， PA平面 ABCD，PAABa，求平面 PBA 与平面 PDC 所成二面
11、角的大小。六、向量法解立体几何中是一种十分简捷的也是非常传统的解法，可以说所有的立体几何题都可以用向量法求解，用向量法解立体几何题时，通常要建立空间直角坐标系，写出各点的坐标，然后将几何图中的线段写成用坐标法表示的向量，进行向量计算解题。例（2009 天津卷理）如图，在五面体 ABCDEF 中，FA 平面 ABCD, AD/BC/FE，AB AD，M 为 EC 的中点，AF=AB=BC=FE= 12AD。,(I)求异面直线 BF 与 DE 所成的角的大小；(II) 证明平面 AMD平面 CDE；(III)求二面角 A-CD-E 的余弦值。 P C1A1 B1A BCDPA B CD.解：如图所
12、示，建立空间直角坐标系，以点 A为坐标原点。设 ，1AB依题意得 ， 01B，C ， 02D， 1E ， 0F.21M，（I） ，解 ： BF ，D .21Ecos，于 是所以异面直线 F与 所成的角的大小为 06.（II ）证明： ，由 21AM ， 1C 0AMCE2AD， 可 得， ，.DM.E.0DCE 平 面， 故又，因 此 ， .平 面， 所 以 平 面平 面而 （III） .0)(CEuzyxu， 则，的 法 向 量 为解 ： 设 平 面 .1(1.0）， 可 得令，于 是 uxzy又由题设，平面 AD的一个法向量为 .10，v18.（2008 湖北）如图，在直三棱柱 中，平面
13、侧面 .1ABCABC1B(I) 求证： ；BC(II) 若直线 与平面 所成的角为 ,二面角 的大小为 ，A11试判断 与 的大小关系，并予以证明.分析：由已知条件可知：平面 ABB1 A1平面 BCC1 B1平面 ABC 于是很容易想到以 B 点为空间坐标原点建立坐标系，并将相关线段写成用坐标表示的向量，先求出二面角的两个半平面的法向量，再利用两向量夹角公式求解。（答案： ，且 ）2arcsin22,acbc由此可见，二面角的类型和求法可用框图展现如下：.分析：所求二面角与底面 ABC 所在的位置无关，故不妨利用定义求解。略解：在二面角的棱 PB 上任取一点 Q，在半平面 PBA 和半平面
14、 PBC 上作 QM PB，QN PB，则由定义可得 MQN 即为二面角的平面角。设 PM=a,则在 Rt PQM 和 Rt PQN 中可求得 QM=QN= a；又由23PQN PQM 得 PN=a,故在正三角形 PMN 中 MN=a,在三角形 MQN 中由余弦定理得 cos MQN= ，即 1二面角的余弦值为 。31因为 AB=AD=a， ， 。PABDPaBDCPC过 B 作 BHPC 于 H，连结 DH DHPC 故BHD 为二面角 B-PC-D 的平面角。因 PB= a,BC=a,PC= a, PBBC=SPBC= PCBH，则 BH= =DH 又 BD= 。在2312123a2aBH
15、D 中由余弦定理，得：cos BHD ，又 0BHD 则BHD= ，二面2222263163aaBHDA 23角 B-PC-D 的大小是 。3.基础练习1 二面角是指（ ）A 两个平面相交所组成的图形B 一个平面绕这个平面内一条直线旋转所组成的图形C 从一个平面内的一条直线出发的一个半平面与这个平面所组成的图形D 从一条直线出发的两个半平面所组成的图形2平面 与平面 、 都相交，则这三个平面可能有（ ）A 1 条或 2 条交线 B 2 条或 3 条交线C 仅 2 条交线 D 1 条或 2 条或 3 条交线3在 300 的二面角的一个面内有一个点，若它到另一个面的距离是 10，则它到棱的距离是(
16、 )A 5 B 20 C D210254在直二面角 -l- 中，RtABC 在平面 内，斜边 BC 在棱 l 上，若 AB 与面 所成的角为600，则 AC 与平面 所成的角为（ ） A 300 B 450 C 600 D 12005如图，射线 BD、BA、BC 两两互相垂直， AB=BC=1，BD= ，26则弧度数为 的二面角是（ ）3A. D-AC-B B. A-CD-B C. A-BC-D D. A-BD-C6ABC 在平面 的射影是A 1B1C1，如果 ABC 所在平面和平面 成 角，有( ) A. S A1B1C1=SABC sin B. SA1B1C1 = SABC cosC. S
17、ABC =SA1B1C1 sin D. SABC =SA1B1C1 cos7如图，若 P 为二面角 M-l-N 的面 N 内一点，PBl，B 为垂足，A 为 l 上一点，且PAB=， PA 与平面 M 所成角为 ，二面角 M-l-N 的大小为 ，则有（ ） A sin=sinsin B sin=sinsin C sin=sinsin D 以上都不对8在 600 的二面角的棱上有两点 A、B，AC、BD 分别是在这个二面角的两个面内垂直于 AB的线段，已知：AB=6 ，AC=3 ，BD=4 ，则 CD= 。9已知ABC 和平面 ，A=30 0，B=60 0，AB=2 ，AB ，且平面 ABC 与
18、 所成角为AB CDABMNPl.300，则点 C 到平面 的距离为 。10正方体 ABCDA1B1C1D1 中，平面 AA1C1C 和平面 A1BCD1 所成的二面角（锐角）为 。11已知菱形的一个内角是 600，边长为 a，沿菱形较短的对角线折成大小为 600 的二面角，则菱形中含 600 角的两个顶点间的距离为 。12如图，ABC 在平面 内的射影为ABC 1，若ABC 1=，BC 1=a，且平面 ABC 与平面 所成的角为 ，求点 C 到平面 的距离13在二面角 -AB- 的一个平面 内，有一直线 AC，它与棱 AB 成 450 角，AC 与平面 成300 角，求二面角 -AB- 的度
19、数。深化练习14若二面角内一点到二面角的两个面的距离分别为 a 和 ，到棱的距离为 2a，则此二面角2的度数是 。15把等腰直角三角形 ABC 沿斜边 BC 上的高 AD 折成一个二面角，若BAC=60 0，则此二面角的度数是 。16如图，已知正方形 ABCD 和正方形 ABEF 所在平面成 600 的二面角，求直线 BD 与平面ABEF 所成角的正弦值。17如图，在棱长为 a 的正方体 ABCDA1B1C1D1 中，求：（1）面 A1ABB1 与面 ABCD 所成角的大小；（2）二面角 C1BDC 的正切值。 ABC1CA FEBDCA BCDA1D1C1B1.练习参考答案: 17 DDBA ABB 8. 7cm 9. 10. 11. 12. 13. 450 14. 700 或43a23tgsin1650 15. 900 16.正弦值为 17.(1)900 (2)正切值为46
