1、1构造异面直线所成角的几种方法异面直线所成角的大小,是由空间任意一点分别引它们的平行线所成的锐角(或直角)来定义的准确选定角的顶点,平移直线构造三角形是解题的重要环节本文举例归纳几种方法如下,供参考一、抓异面直线上的已知点过一条异面直线上的已知点,引另一条直线的平行线(或作一直线并证明与另一直线平行),往往可以作为构造异面直线所成角的试探目标例 1(2005 年全国高考福建卷 )如图,长方体 ABCDA1B1C1D1 中,AA 1=AB=2,AD=1,点 E、F、G 分别是 DD1、AB 、 CC1 的中点,则异面直线 A1E 与GF 所成的角是( )A B5arcos4C D10r2解:连
2、B1G,则 A1EB 1G,知B 1G F 就是异面直线 A1E与 GF 所成的角在B 1GF 中,由余弦定理,得cosB1GF 0,222221()3(5)F故B 1G F 90,应选(D)评注:本题是过异面直线 FG 上的一点 G,作 B1G,则 A1EB 1G,知B 1G F 就是所求的角,从而纳入三角形中解决二、抓异面直线(或空间图形 )上的特殊点考察异面直线上的已知点不凑效时,抓住特殊点(特别是中点) 构造异面直线所成角是一条有效的途径.例 2(2005 年全国高考浙江卷 )设 M、N 是直角梯形 ABCD 两腰的中点,DEAB 于E(如图 )现将 ADE 沿 DE 折起,使二面角
3、ADEB 为 45,此时点 A 在平面 BCDE内的射影恰为点 B,则 M、N 的连线与 AE 所成角的大小等于_11BCBDFG2ABCDEMN1 ABCDEMNG2解: 取 AE 中点 G, 连结 GM、BGGMED,BNED,GM ED,BN ED21 GM BN,且 GMBNBNMG 为平行四边形, MN/BGA 的射影为 BAB面 BCDEBEABAE45 ,又G 为中点,BGAE即 MNAEMN 与 AE 所成角的大小等于 90 度故填 90三、平移(或构造)几何体有些问题中,整体构造或平移几何体,能简化解题过程.例 3(2005 年全国高考天津卷 )如图, 平面 , 且PABC9
4、0A,则异面直线 PB 与 AC 所成角的正切值等于 _PACBa解:将此多面体补成正方体 , 与 所成的角的DBCP大小即此正方体主对角线 与棱 所成角的大小,在 RtPDB 中,即故填 tan2DBA点评:本题是将三棱柱补成正方体 ,从而将问题简BAP化1D1BCPAPA3求异面直线所成的角祁正红求异面直线所成的角,一般有两种方法,一种是几何法,这是高二数学人教版(A)版本倡导的传统的方法,其基本解题思路是“异面化共面,认定再计算” ,即利用平移法和补形法将两条异面直线转化到同一个三角形中,结合余弦定理来求。还有一种方法是向量法,即建立空间直角坐标系,利用向量的代数法和几何法求解,这是高二
5、数学人教版(B)倡导的方法,下面举例说明两种方法的应用。例:长方体 ABCDA 1B1C1D1 中,AB=AA 1=2cm,AD=1cm,求异面直线 A1C1 与 BD1所成的角。解法 1:平移法设 A1C1 与 B1D1 交于 O,取 B1B 中点 E,连接 OE,因为 OE/D1B,所以C 1OE 或其补角就是异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角C 1OE 中21EBCE322O5111 5235O2ECcos21所 以5arcosOEC1所 以所以异面直线 1BDA与 所成的角为 5arcos图 1解法 2:补形法4在长方体 ABCDA1B1C1D1 的面 BC1 上补上一个同样大小
6、的长方体,将 AC 平移到BE,则D 1BE 或其补角就是异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角,在BD 1E 中,BD 1=3,5BE, 5242532Ecos211所以异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角为 5arcos图 2解法 3:利用公式 1coscos设 OA 是平面 的一条斜线,OB 是 OA 在 内的射影,OC 是平面 内过 O 的任意一条直线,设 OA 与 OC、OA 与 OB、OB 与 OC 所成的角分别是 、 1、 2,则21scos(注:在上述题设条件中,把平面 内的 OC 换成平面 内不经过O 点的任意一条直线,则上述结论同样成立) D1B 在平面 ABCD 内
7、射影是 BD,AC 看作是底面 ABCD 内不经过 B 点的一条直线,BD 与 AC 所成的角为AOD ,D 1B 与 BD 所成角为D 1BD,设 D1B 与 AC 所成角为 , Acoscso,5cos。53AODcosBcso532512AOA1225所以 5arcos所以异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角为 5arcos图 3解法 4:向量几何法: |ba|cos设1ADB、为空间一组基向量baCAacbDABD0,ca,02|b2| c,113|c|a|b|ac|B|52| 21 53|CA|BD|cos 41|)(C11 所以异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角为 arc
8、os6图 4解法 5:向量代数法:232132131baabcos 以 D 为坐标原点,DC、DA、DD 1 分别为 x、y、z 轴,建立空间直角坐标系,则A(0,1,0) 、C(2,0,0) ,B(2,1,0) 、D 1(0,0,2) ,),(),(B53cos1所以异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角为 5arcos图 5解法 6:利用公式BDAC2cos2定理:四面体 ABCD 两相对棱 AC、BD 间的夹角 必满足s2图 6解:连结 BC1、A 1B 在四面体 1DCA中,异面直线 A1C1 与 BD1 所成的角是 ,易求得 3,2,5C1 7图 7由定理得: 11221BDCAc
9、os5322所以 arcos异面直线及其所成的角【教学目标】1. 掌握空间两直线的位置关系,掌握异面直线的概念,会用反证法和异面直线的判定定理证明两直线异面;2.掌握异面直线所成角的概念及异面直线垂直的概念,能求出一些较特殊的异面直线所成的角。【教学重点、难点】异面直线的概念、判定及计算它们所成的角。【教学过程】(一)复习:1公理 4 及等角定理;2同一平面内两直线的位置关系,观察空间两直线的位置关系。(二)新课讲解:1异面直线:不同在任何一个平面内的两条直线叫异面直线。2 异 面 直 线 定 理 : 连 结 平 面 内 一 点 与 平 面 外 一 点 的 直 线 , 和 这 个 平 面 内
10、不 经 过 此 点 的 直 线 是异 面 直 线 。推理模式: 与 是异面直线。,ABllABl证明 :假设 直线 与 共面, ,点 和 确定的平面为 ,,l 直线 与 共面于 , ,与 矛盾,所以, 与 是异面直线3异面直线的画法:例 1如图,已知不共面的直线 相交于 点, 是直线 上的两点, 分别,abcO,MPa,NQ是 上的一点。,bc ba ABl8求证: 和 是异面直线。MNPQ证(法一):假设 和 不是异面直线,则 与 在同一平面内,设为 ,MNPQ , ,又 , ,,aaoa ,Ob ,同理 , 共面于 ,与已知 不共面相矛盾,c,c,bc所以, 和 是异面直线。NPQ(法二)
11、: ,直线 确定一平面设为 ,a,a , ,, 且 ,M又 不共面, , ,,bcbN所以, 与 为异面直线。NP4异面直线所成的角:已知两条异面直线 ,经过空间任一点 作直线 ,,abO/,ab所成的角的大小与点 的选择无关,把 所成的锐角(或直角)叫异面直线,a O所成的角(或夹角) b说明:为了简便,点 通常取在异面直线的一条上。5异面直线垂直:如果两条异面直线所成的角是直角,则叫两条异面直线垂直两条异面直线 垂直,记作 ,aab例 2正方体 中ABCD(1) 那些棱所在的直线与直线 是异面直线?BA(2) 求 与 夹角的度数(3) 那些棱所在的直线与直线 垂直?解:(1)由异面直线的判
12、定方法可知,与直线 成异面直线的有直线 , ,CDC(2)由 ,可知 等于异面直线 与 的夹角,/BC所以异面直线 与 的夹角为 A45(3)直线 与直线 都垂直。,DBA例 3空间四边形 中, , 分别是 的中点, ,2EF,BD3EF求异面直线 所成的角。,解:取 中点 ,连结 , 分别是 的中点,BG,EF,C 且 ,/,/EAFC1122AG异面直线 所成的角即为 所成的角,D,在 中, ,cosEF ,异面直线 所成的角为 120G,B60说明:异面直线所成的角是锐角或直角,当三角形 内角 是钝角时,表示异EGF面直线 所成的角是它的补角。,ABC ABCDABBCDFO9【易错点
13、61】在求异面直线所成角,直线与平面所成的角以及二面角时,容易忽视各自所成角的范围而出现错误。例 61、如图,在棱长为 1 的正方体 中,M,N,P 分别为 的中点。1ABCD11,ABC求异面直线 所成的角。1,DPMN与 与易错点分析异面直线所成角的范围是 ,在利用余弦定理求异面直线所成角时,若出现角0,9的余弦值为负值,错误的得出异面直线所成的角为钝角,此时应转化为正值求出相应的锐角才是异面直线所成的角。解析:如图,连结 ,由 为 中点,1AN,P1,BC则 从而/,PD/D故 AM 和 所成的角为 所成的角。11M和易证 。所以 ,RtAtBNA故 所成的角为 。1DP与 09又设 AB 的中点为 Q,则 又 从而 CN 与 AM 所成的角11/,.11/,CNBP就是 (或其补角) 。1B易求得 在 中,由余弦定理得 ,156,.2P1PQ12cos5Q故 所成的角为 。CNAM与 arcos【知识点归类点拨】在历届高考中,求夹角是不可缺少的重要题型之一,要牢记各类角的范围,两条异面直线所成的角的范围: ;直线与平面所成角的范围: ;二面角的平面角的009009取值范围: 。同时在用向量求解两异面直线所成的角时,要注意两异面直线所成的角与018两向量的夹角的联系与区别。D CBAA1D1B1C1NMP