1、3.1.3 频率与概率,投掷硬币的试验：,虽然我们不能预先判断出现正面向上，还是反面向上。但是假定硬币均匀，直观上可以认为出现正面与反面的机会相等。即在大量试验中出现正面的频率接近于0.5.,历史上有些学者做过成千上万次的投掷硬币的试验。结果如下表：,抛硬币试验,我们可以设想有1000人投掷硬币，如果每人投5次，计算每个人投出正面的频率，在这1000个频率中，一般说，0，0.2，0.4，0.6，0.8，1 都会有。而且会有不少是0或1；如果要求每个人投20次，这时频率为0，0.05，0.95，1的将会变少；多数频率在0.350.65之间，甚至于比较集中在0.40.6之间；,如果要求每人投掷10
2、00次，这时绝大多数频率会集中在0.5附近，和0.5有较大差距的频率值也会有，但这样的频率值很少。而且随着投掷次数的增多，频率越来越明显地集中在0.5附近。,人们经过大量试验和实际经验的积累逐渐认识到：在多次重复试验中，同一事件发生的频率在某一数值附近摆动，而且随着试验次数的增加，一般摆动幅度越小，,频率呈现一定的稳定性，频率的稳定性揭示出随机事件发生的可能性有一定的大小。事件的频率稳定在某一数值附近，我们就用这一数值表示事件发生的可能性大小。,事件的概率,一般地，在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率 ，当n很大时，总在某个常数附近摆动，随着n的增加，摆动幅度越来越小，这时就把这个常数叫做
3、事件A的概率，记为P(A).,由定义可得概率P(A)满足：,必然事件与不可能事件可看作随机事件的两种特殊情况.,注意点：,1.随机事件A的概率范围,因此，随机事件发生的概率都满足：0P(A)1,2.频率与概率的关系,(1)联系: 随着试验次数的增加, 频率会在概率的附近摆动,并趋于稳定.在实际问题中,若事件的概率未知, 常用频率作为它的估计值.,(2)区别: 频率本身是随机的,在试验前不能确定, 做同样次数或不同次数的重复试验得到的事件的频率都可能不同.而概率是一个确定数,是客观存在的,与每次试验无关.,例1. 为了确定某类种子的发芽率，从一大批种子中抽出若干批作发芽试验，其结果如下：,从以上
4、的数据可以看出，这类种子的发芽率约为0.9.,例2.某市统计近几年新生儿出生数及其中男婴数（单位：人）如下：,(1)试计算男婴各年出生频率（精确到0.001）； (2)该市男婴出生的概率约是多少？,(1)1999年男婴出生的频率为：,解：,同理可求得2000年、2001年和2002年男婴出生的频率分别为：,0.521,0.512,0.512.,(2)各年男婴出生的频率在0.510.53之间，故该市男婴出生的概率约是0.52.,概率的意义,像木棒有长度，土地有面积一样，概率是对随机事件发生的可能性大小的度量，它反映了随机事件发生的可能性的大小。但随机事件的概率大，并不表明它在每一次试验中一定能发
5、生。概率的大小只能说明随机事件在一次试验中发生的可能性的大小，即随机性中含有的规律性。认识了这种随机性中的规律性，就使我们能比较准确地预测随机事件发生的可能性。,例2. 如果某种彩票的中奖概率为1/1000，那么买1000张这种彩票一定能中奖吗？,解：买1000张彩票相当于1000次试验，对于一次试验来说，其结果是随机的，即有可能中奖，也有可能不中奖，但这种随机性又呈现一定的规律性，“彩票的中奖概率为1/1000是指当试验次数相当大，即随着购买彩票的张数的增加，大约有1/1000的彩票中奖。,因此，买1000张彩票，即做1000次试验，其结果仍是随机的，可能一次也没有中奖，也可能中奖一次、二次
6、、甚至多次。,例3.在生活中，我们有时要用抽签的方法来决定一件事情，例如5张票中有1张奖票，5个人按顺序从中各抽1张以决定谁得到其中的奖票，那么，先抽或是后抽（后抽人不知道先抽人抽出的结果）对各人来说公平吗？也就是说，各人抽到奖票的概率相等吗？,解： 不妨把问题转化为排序问题，即把5张票随机地排列在位置1，2，3，4，5上， 对于这张奖票来说，由于是随机排列，因此它的位置有5种可能，故它排在任一位置上的概率都是 。5个人按排定的顺序去抽，比如甲排在第1位上，那么他抽得奖票的概率，即奖票恰好排在第1个位置上的概率为 。因此，不管排在第几位上去抽，在不知前面的人抽出结果的前提下，得到奖票的概率都是
7、 。,例4.生活中，我们经常听到这样的议论：“天气预报说昨天降水概率为90%，结果根本一点雨都没下，天气预报也太不准确了。”学了概率后，你能给出解释吗？,解：天气预报的“降水”是一个随机事件，概率为90%指明了“降水”这个随机事件发生的概率，我们知道：在一次试验中，概率为90%的事件也可能不出现，因此，“昨天没有下雨”并不说明“昨天的降水概率为90%”的天气预报是错误的。,例5. 从一批准备出厂的电视机中，随机抽取10台进行质量检查，其中有一台是次品，能否说这批电视机的次品的概率为0.10?,解：这种说法是错误的.概率是在大量试验的基础上得到的，更是多次试验的结果，它是各次试验频率的抽象，题中所说的0.10，只是一次试验的频率，它不能称为概率,
