1、1,第二章,静定结构的受力分析,2,内 容,2.1 杆件的受力分析,2.3 静定结构支座反力的分析方法,2.4 静定多跨梁及刚架,2.5 三铰拱,2.6 静定平面桁架,2.9 静定结构总论,3,静定结构的定义：,从几何组成的观点看，几何不变且无多余约束的结构称为静定结构。,从静力分析的观点看，静定结构的内力可以由三个平衡方程唯一确定。,平衡方程为：,或：,（A,B,C不在同一直线上）,2-1 杆件的受力分析,4,一、隔离体,1. 内力正负号,在结构力学中，要求弯矩图画在杆件受拉边，不注正负号,剪力图和轴力图要注明正负号。上图中弯矩正负号的规定通常用于梁。,5,2. 隔离体,作隔离体应注意下列几
2、点：,2）约束力要与被切断的约束性质相应；,6,7,二、荷载与内力之间的微分关系和增量关系,1. 微分关系,8,1）剪力图上某点切线的斜率等于该点横向分布荷载的集度，但正负号相反。,2）弯距图上某点切线的斜率等于该点的剪力。,3）弯距图上某点的曲率等于该点的横向分布荷载的集度，但正负号相反。,4）轴力图上某点的斜率等于该点轴向分布荷载的集度 ，但正负号相反。,小结：,9,因此：,若剪力等于0，M 图平行于杆轴；,若剪力为常数，则 M 图为斜直线；,若剪力为x 的一次函数，即为均布荷载时，M 图为抛物线。,10,2. 集中荷载与内力之间的增量关系,11,1）在集中力作用点的左右截面，剪力有突变。
3、剪力图有台阶，台阶高度等于FP 。,2）M 图上有尖点，尖点指向同集中力的指向。,小结：,12,3. 集中力偶与内力之间的增量关系,13,1）集中力偶作用点左右截面的弯矩产生突变，M 图有台阶，台阶高度等于m。,2）左右截面剪力不变。,小结：,14,三、分段叠加法作弯矩图,分段叠加法是依据叠加原理得到的作 M 图的简便作图法。,叠加原理：结构中由全部荷载所产生的内力或变形等于每一种荷载单独作用所产生的效果的总和。,只有线性变形体才适用叠加原理。,15,现在讨论分段叠加法的做法，见下图。,16,在求出各控制截面A、C、D、B在全部荷载作用下的弯矩后，任意直杆段的 M 图就转化为作相应简支梁在杆端
4、力偶及杆间荷载作用下的M 图的问题。,17,步骤：,1）选定控制截面，求控制截面在全部荷载作用下的 M 值，将各控制面的 M 值按比例画在图上，在各控制截面间连以直线基线。控制截面：集中力或者集中力偶作用截面，分布荷载的起点和终点以及梁的左、右端支座截面等。,2）对于各控制截面之间的直杆段，在基线上叠加该杆段作为简支梁时由杆间荷载产生的 M图。,18,例2-1-1 作图示单跨梁的M、FQ图。,1）求支座反力,解：,19,2）选控制截面A、C、D、F并求弯矩值。,已知 MA0， MF0。,取右图AC段为隔离体：,取右图DF段为隔离体：,20,3) 作M图,将MA、MC、MD、MF的值按比例画在图
5、上，并连以直线（称为基线）；对AC、CD、DF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的 M 图即可。,4) 作FQ图,21,例2-1-2 作图示单跨梁的M、FQ图。,解：,1）求支座反力,22,2）选控制截面A、C、D、E、F，并求弯矩值 。,已知 MA0 ， MF0。,取右图AC段为隔离体：,取右图AD段为隔离体：,23,对悬臂段EF：,24,3) 作M、FQ图,将MA、MC、MD、ME 、MF的值按比例画在图上，并连以直线（称为基线）；对AC、DE、EF段，再叠加上相应简支梁在杆间荷载作用下的M图即可。,25,小结：,1）弯矩叠加是指竖标以基线或杆轴为准叠加，而非图形的简单拼合；,2）应熟
6、悉简支梁在常见荷载下的弯矩图；,3）先画M 图后画FQ图，注意荷载与内力之间的微分关系。,26,四、斜杆受力分析,以下图示斜梁为例进行讨论。,1）支座反力如上图示。,解：,2）求任一截面C之MC、FQC、FNC 。,27,取右图AC段为隔离体：,28,29,3) 作内力图。,30,斜杆上的竖向分布荷载可以分解为垂直杆轴和沿杆轴方向的分布荷载，如下图示。,31,例2-1-3 作图示斜梁的内力图。,32,解：1) 求A、B截面剪力和轴力,33,2) 求跨中截面MC,取图示CB段为隔离体：,下拉,34,3) 作内力图。,35,注意下图示梁C、D截面弯矩图的画法。,36,一、静定多跨梁的构造特征和受力
7、特征,1. 构造特征,静定多跨梁由两部分组成，即基本部分和附属部分。组成的次序是先固定基本部分，再固定附属部分，见下图。,2-4 静定多跨梁及刚架,37,2. 受力特征,由静定多跨梁的组成顺序可以看出，若荷载作用在基本部分上，则附属部分不受力；若荷载作用在附属部分上，则基本部分同样受力。因此，静定多跨梁的内力分析应从附属部分开始，即首先要求出附属部分传给基本部分的力。,二、静定多跨梁的内力分析,解题步骤：1）画组成次序图 ；,2）从附属部分开始求出约束力，并标注于图中。注意附属部分传给基本部分的力。,3）对于每一段单跨梁，用分段叠加法作M 图。,38,例2-4-1 作图示静定多跨梁的M图和FQ
8、图。,解：,1）作组成次序图,组成次序图,39,2）求附属部分和基本部分的约束力,对于CE段梁:,40,对于AC段梁:,41,3）内力图如下图示,42,例2-4-2 作图示静定多跨梁的M图和FQ图。,组成次序图,解：,1）作组成次序图,43,2）求附属部分和基本部分的约束力,梁各部分的受力如上图示，作用于铰结点D的集中力（80kN）可看作直接作用于基本部分AD上。,44,对于AD段梁：,45,对于FL段梁：,46,3）内力图如下图示,47,例2-4-3 求x的值，使梁正、负弯矩相等。,q,BD跨为基本部分，AB跨为附属部分。,解：,48,AB跨跨中弯矩ME为：,BD跨支座C 负弯矩MC为：,令
9、ME=MC 得：,49,对于BD杆：,CD跨最大弯矩为：,50,1.平面刚架的基本概念,平面刚架由梁和柱组成，梁和柱通常用刚结点相连接。,刚结点有如下特征：,几何特征一个简单刚结点相当于三个约束，能减少体系三个自由度。 变形特征在刚结点处，各杆端截面有相同的线位移及角位移。 静力特征刚结点能传递弯矩、剪力和轴力。,三、静定平面刚架的构造特征和受力特征,51,优点：在工程中，杆件少，内部空间大，制作方便。建筑工程中作为承重骨架，通过它将载荷传到地基。,52,2.静定平面刚架分类,悬臂刚架梁为悬臂杆，如火车站之月台结构；,简支刚架用三根链杆或一个铰和一根链杆与基础相连组成的刚架；,三铰刚架三个刚片
10、(包括基础)用三个铰两两相连组成的刚架。在竖向荷载作用下，三铰刚架的支座存在水平推力。,53,2) 求内力,1) 由整体及某些部分的平衡条件,求出支座的反力及铰结处的约束力。,注：对于每一杆件的无载荷区段和承受均布载荷区段分别计算。有载荷区段：利用叠加方法。无载荷区段：定出弯矩控制竖标连直线。,3) 画内力图,3.静定平面刚架内力分析步骤：,54,例2-4-4 作图示平面刚架内力图。,4.静定平面刚架内力分析举例,55,解：,ACD为附属部分，其余为基本部分。,1）支座反力 考虑附属部分ACD：,考虑刚架整体平衡：,56,取右图示EHK部分为隔离体：,2) 作M图,取右图示DE部分为隔离体：,
11、57,各柱上端弯矩为：,58,3) 作FQ 图杆端剪力可以用投影方程或力矩方程求解，本题剪力很容易用投影方程求得。下面以EH杆为例说明用力矩方程求剪力的方法。,取右图示EH杆为隔离体：,59,60,4) 作FN图各杆轴力可以用投影方程求解。也根据剪力图， 取各结点为隔离体，用投影方程求轴力。,61,62,例2-4-5 作图示三铰刚架内力图。,解：1) 支座反力,整体平衡：,63,由CEB部分平衡：,由整体平衡：,64,2) 作M图,AD杆：,MDAql2/16 (右拉),M中ql2/16 (右拉),65,3) 作FQ、FN图,很容易作出剪力图和轴力图如下图示。,66,例2-4-6 作图示三铰刚
12、架内力图。,67,解：,1) 支座反力,考虑整体平衡:,由BEC部分平衡：,68,2) 作M 图,斜杆DC中点弯矩为：,弯矩图见下图。,69,3) 作FQ图,斜杆用力矩方程求剪力，竖杆、水平杆用投影方程求剪力。,对于DC杆：,70,对于EC杆：,竖杆AD、BE的剪力用投影方程很容易求得。,剪力图见下图。,71,4) 作FN图,竖杆、水平杆及斜杆均用投影方程求轴力。,结点D：,72,结点E：,73,右下图中，将结点C处的水平力和竖向力在杆DC的轴向投影得：,轴力图见下页图。,74,75,例2-4-7 求图示支座不等高三铰刚架的支座反力。,76,解：,2) 取AC部分为隔离体，将FSA分解为FxA
13、 及 FxA3 。,将支座A的反力分解为竖向反力 及沿AB连线方向的反力FSA。,1） 整体平衡,77,3） 整体平衡求FxB及FyB,78,下面讨论对称结构的求解问题。,1) 对称结构,对于求静定结构的内力来说，只要结构几何形状和支座对称就可以看作对称结构。若要计算结构的位移，则还要求杆件的材料性能对称，杆件刚度对称。,2) 对称结构的受力特性,对称结构在对称荷载作用下，其受力对称；对称结构在反对称荷载作用下，其受力反对称。,若对称结构的荷载不对称，则可以将荷载拆分为对称荷载及反对称荷载两种情况分别求解。,3) 非对称荷载的处理,79,如下图示对称结构在对称荷载作用下，铰C左、右截面剪力关于
14、竖轴反对称，故该剪力为0。于是很容易求得结构各部分的作用力。,80,2-5 三铰拱,三铰拱式结构广泛应用于实际工程建设中:桥梁、渡槽、屋架等。,三铰拱的构造特征为:杆轴通常为曲线，三个刚片(包括基础)用不在同一直线上的三个铰两两相连组成三铰拱结构。,三铰拱的受力特征为:在竖向荷载作用下，拱脚处产生水平推力;因此，拱轴任一截面轴力FN比较大，弯矩较小。有时用拉杆来承受水平推力，称为拉杆拱。,81,通常 在11/10之间变化， 的值对内力有很大影响。,82,一、三铰拱内力计算的数解法,下面以图示三铰拱为例加以说明。,拱轴方程为,83,84,解：,拱轴方程为,1. 支座反力,整体平衡,85,考虑拱A
15、C部分平衡：,下面求支座水平推力。,上式中， 为代梁C截面弯矩。,86,小结：,1) 水平推力与矢高 f 成反比。,2) 支座反力FVA、FVB、FHA、FHB与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。,将本例题数据代入得：,87,2. 弯矩计算公式,求任意截面D的弯矩。由AD段隔离体可得：,88,求MK,求MJ,下面求K、J截面的弯矩MK和MJ。,89,3. 求FQ、FN的计算公式,拱轴任意截面D切线与水平线夹角为。,小结：,1) 左半拱 0，右半拱 0。,相应代梁中， 设为正方向。,90,2) FQD是代梁截面D的剪力，设为正方向。 故FQD可能大于零、等于零或
16、小于零。,下面用上述公式求FQK、FNK。,xK4m,FQK左12.5kN FQK右2.5kN,91,92,求FQJ右、FNJ右 。,xJ12m,FQK右7.5kN,93,二、三较拱的压力线,如果三铰拱某截面D以左(或以右)所有外力的合力FRD已经确定，则该截面的弯矩、剪力、轴力可按下式计算：,截面D形心到FRD作用线之距离。FRD作用线与截面D轴线切线的夹角。,94,由此看出，确定截面内力的问题归结为确定截面一边所有外力的合力之大小、方向及作用线的问题。,定义：三铰拱每个截面一边所有外力的合力作用点的连线，就称为三铰拱的压力线。,95,作压力线的方法和步骤为：,1）求三铰拱的支座反力FHA、
17、FVA、FHB、FVB，进而求出反力FRA、FRB的大小和方向。,2）作封闭的力多边形，以确定拱轴各截面一边外力合力的大小及方向。作力多边形时应按力的大小按比例绘制。,96,在上图所示力多边形中，射线12代表FRA与FP1合力的大小和方向；射线23代表FRA与FP1、FP2合力的大小和方向。,97,3）画压力线,过A作FRA的延长线交FP1于D，过D作射线12的平行线交FP2于E，过E作射线23的平行线交FP3于F，则FB必为FRB的作用线。,小结：,1) 压力线一定通过铰C。2) 压力线与拱轴形状无关，只与三个铰A、B、C及荷载的相对位置和荷载的大小有关。3) 合力大小由力多边形确定，合力作
18、用线由压力线确定。4) 若荷载是竖向集中力，则压力线为折线；若为均布荷载，压力线为曲线。,98,三、 三较拱的合理轴线,在给定荷载作用下，三铰拱任一截面弯矩为零的轴线就称为合理拱轴。,若用压力线作为三铰拱轴线，则任一截面弯矩都为零，故压力线为合理拱轴。,三铰拱任一截面弯矩为,令,得到,合理拱轴方程的表达式,99,例2-5-1 求三铰拱在均布荷载作用下的合理拱轴。,100,解：,可见合理拱轴为抛物线方程。,讨论：合理拱轴为一组抛物线方程(与f有关)。,101,2-6 静定平面桁架,一、概述,1. 桁架分类,按几何组成分为：,1）简单桁架从基础或者从一个基本的铰接三角形开始，依次用两根不在同一直线
19、上的链杆固定一个结点的方法组成的桁架称为简单桁架。,102,2）联合桁架两个简单桁架用一个铰及与之不共线的一根链杆连结，或者用三根不全平行也不全交于一点之链杆连结而成的桁架称为联合桁架。,103,3）复杂桁架既非简单桁架又非联合桁架则统称为复杂桁架。,104,2. 基本假定,各杆均为直杆，且位于同一平面内，杆轴线通过铰结点中心。荷载及支座反力作用在结点上，且位于桁架平面内。 3) 铰结点为理想铰，即铰绝对光滑，无摩擦。,所以，桁架的杆件只产生轴力，各杆均为二力杆。,105,3. 轴力正负号,轴力以拉力为正，压力为负。在结点和截面隔离体中，已知的荷载及轴力按实际方向表示，数值为正；未知轴力一律设
20、为拉力。,106,4.应熟练运用如下比拟关系：,107,5.结点受力的特殊情况,1）,结点上无荷载，则FN1FN20。,由FS0，可得FN20，故FN10。,2）,108,3）,4）,109,上图为对称结构、对称荷载的情况， 结点A在对称轴上。由Fy0 FN1 FN2=0Fx0 FN3 FN4,110,上图为对称结构、对称荷载的情况， 但结点A不在对称轴上。由Fy0 FN1-FN2,6）,111,二、结点法,结点法可以求出简单桁架全部杆件的轴力。为求各杆轴力，需作结点隔离体。若隔离体只包含一个结点，则称为结点法。,作用在结点上的力系为平面汇交力系，有两个平衡方程，可以求出两个未知力。当结点上的
21、未知力有三个或三个以上时结点法失效，但有时能求得其中的一个未知力。,112,由于平面汇交力系向平面上任意一点的力矩代数和等于零，故除了投影方程外，亦可以用力矩方程求解。,不要用联立方程求桁架各杆的轴力。一个方程求出一个未知轴力。,对于简单桁架，截取结点隔离体的顺序与桁架几何组成顺序相反。,平衡方程为：或,113,几何组成顺序A、B、C、D、E,取结点隔离体顺序E、D、C、B、A,114,例2-6-1 用结点法求各杆轴力。,解：,1）支座反力,2）判断零杆,FyA=FyB=30kN() FxA=0,见图中标注。,3）求各杆轴力,取结点隔离体顺序为：A、E、D、C。,结构对称，荷载对称，只需计算半
22、边结构。,115,结点A,（压）,结点E,116,结点D,将FNDF延伸到F结点分解为FxDF及FyDF,117,118,结点C,119,例2-6-2 用结点法求AC、AB杆轴力。,120,解：,取结点A，将FNAC延伸到C分解，将FNAB延伸到B分解。,121,122,小结：,2) 判断零杆及特殊受力杆；,3) 结点隔离体中，未知轴力一律设为拉力，已知力按实际方向标注；,1) 支座反力要校核；,4) 运用比拟关系 。,123,三、截面法,对于联合桁架或复杂桁架，单纯应用结点法不能求出全部杆件的轴力，因为总会遇到有三个未知轴力的结点而无法求解，此时要用截面法求解。即使在简单桁架中，求指定杆的轴
23、力用截面法也比较方便。,截面法选取的隔离体包含两个或两个以上的结点，隔离体上的力系是平面不汇交力系，可以建立三个平衡方程Fx0、 Fy0、 M0。所以作一个截面隔离体最多可以求出三个未知轴力。,124,对于联合桁架，应首先切断联系杆。,现在介绍截面单杆的概念。如果在某个截面所截的轴力均为未知的各杆中，除某一杆外其余各杆都交于一点(或彼此平行-交点在无穷远处)，则该杆称为该截面的单杆。关于截面单杆有下列两种情况：,1) 截面只截断彼此不交于同一点(或不彼此平行)的三根杆件，则其中每一根杆件均为单杆。,2) 截面所截杆数大于3，但除某一杆外，其余各杆都交于同一点(或都彼此平行)，则此杆也是单杆。,
24、125,上列各图中，杆1，2，3均为截面单杆。截面单杆的性质：截面单杆的轴力可根据截面隔离体的平衡条件直接求出。,126,例2-6-3 用截面法求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。,解：1）对称结构对称荷载，支座反力如图示。2）零杆如图示。,127,3）求轴力FN1、FN2、FN3、FN4。,结点C,128,取截面II以左为隔离体：,129,130,131,例2-6-4 求FN1、FN2 。,解：,1) 求支座反力,132,2) 求FN1、FN2,结点B,取截面II以左为隔离体,133,取截面IIII以右为隔离体：,134,例2-6-5 求FN1、FN2 。,解：,复杂桁架，结构对称。将荷载
25、分为对称和反对称两种情况求解。,135,1）对称结构对称荷载,结点C位于对称轴上，所以两斜杆轴力等于零，见右图。,136,1杆结点D,2杆截面法,137,取截面II以左为隔离体：,结点D,138,2）对称结构反对称荷载,整体平衡,139,2）对称结构反对称荷载,结点F,结点E,140,2）对称结构反对称荷载,FP/2,A,B,a,a,a,a,a,a,C,2,D,FP/2,F,1杆零杆,2杆截面法,141,取截面IIII以左为隔离体：,叠加两种情况的结果得：,142,四、零载法,零载法是针对W0的体系，用静力法来研究几何问题，用平衡方程解答的唯一性来检验体系几何不变性的方法。,对于W0的体系，其
26、静力特征为：,如体系几何不变(静定结构)，则满足平衡方程的解答是唯一正确的解答。若荷载为零，则内力全为零。如体系几何可变或瞬变，则只有在特殊荷载作用下平衡方程才有解，而且其解答必定不是唯一解。若荷载为零，其某些内力可能不为零。,143,荷载为零而内力不全为零的内力状态称为自内力。如果某体系存在自内力，则该体系为几何可变体系。,零载法把几何构造问题转化为静力平衡问题。,144,例2-6-6 用零载法检验下图示桁架是否几何不变。,解：,荷载为零，所以支座反力为零，且可判断4根零杆如图a)示，余下部分见图b) 。,145,在图b)中，令AB杆轴力为x，按照B，C，D，E，F的顺序用结点法求得杆件的轴
27、力见图b)。,FS0 xx/20 x0,于是可得全部杆件的轴力均为零，因此为几何不变体系。,取结点A的隔离体如图c)所示：,上面采用的方法称为初参数法或通路法。通路法是解复杂桁架的一种有效方法。,146,2-9 静定结构总论,一、静定结构解答的唯一性定理,静定结构的全部内力和支座反力均可由静力平衡方程唯一确定。或者表述为：对于静定结构，凡是能满足全部静力平衡条件的解答就是它的真实解答。,根据唯一性定理，可以得到如下结论：在静定结构中，除荷载外，任何其它外界因素温度变化、支座移动、材料伸缩及制造误差等均不产生内力和支座反力。,147,温度变化时，结构有变形而无内力。,支座移动时，只产生刚体位移（
28、见图a)。,a),制造误差，装配后与原设计形状不同（见图b)。,b),148,二、静定结构的局部平衡特性,当平衡力系作用在结构上的一个几何不变部分时，只有该几何不变部分受力，其余部分不受力。,AB部分几何不变,149,阴影部分几何不变,150,三、静定结构的荷载等效特性,具有相同合力的各种荷载称为静力等效荷载。,所谓静力等效变换，就是用有相同合力的另一种荷载替换原来荷载的变换。,当静定结构的一个几何不变部分上的荷载进行静力等效变换时，只有该几何不变部分的内力发生变化，结构其余部分内力不变。,151,、 均表示CD部分以外杆段的内力状态。由图c)可知，因为CD部分作用一平衡力系，根据静定结构局部平衡特性，CD杆段以外部分内力等于零，即 ，所以 。于是就证明了静定结构的荷载等效特性。,152,四、静定结构的构造变换特性,当静定结构的一个内部几何不变部分作构造变换时，结构其余部分内力不变。,此外需要指出，静定结构的内力和支座反力仅仅与结构类型及荷载有关，而与杆件的材料性质及刚度无关。而结构的变形则还与杆件的材料性质及刚度有关。,
