1、第三章 中值定理和导数的应用,第三章 中值定理和导数的应用,数学家-伯努利家族,第一节 微分中值定理,第二节 洛必达法则,第三节 函数的单调性急值和最大最小值,第四节 曲线的凹凸性和函数作图,第五节 弧微分 曲率,数学家-伯努利家族,第一节 微分中值定理,第二节 洛必达法则,第三节 函数的单调性极值和最大最小值,第四节 曲线的凹凸性和函数作图,第五节 弧微分 曲率,伯努利家族，这个非凡的瑞士家族产生过十一个数学家的家族。伯努利家族在数学与科学上的地位正如巴赫家族在音乐领域的地位一样地显赫。（其中三位是杰出的，他们是雅可布、约翰、丹尼尔），他们又生出了在许多领域里崭露头角的成群后代。 雅科布伯努
2、利（Jakob Bernoulli,16541705)。巴塞尔大学教授。变分法的创始人之一。曾和莱布尼茨共同获得过微积分学的不少结果，对常微分方程的积分法有贡献，也是概率论的早期研究者，提出了关于大数法则的伯努利定理及伯努利数。 约翰伯努利（Johann Bernoulli，16671748）。雅科布的弟弟。巴塞尔大学的医学博士。历任荷兰格罗宁根大学和巴塞尔大学教授。也是变分法的创始人之一。在微积、微分方程、几何和力学方面有贡献。 丹尼尔伯努利(Daniel Bernoulli,17001782)。约翰的次子。巴塞尔大学医学博士。曾去俄国彼得堡科学院任教，回国后任巴塞尔大学教授。在流体力学、气
3、体动力学、微分方程和概率论等方面都有贡献。1738年出版流体动力学一书，提出的著名的伯努利定理。他解决的微分方程现称为伯努利方程。,伯努利家族,返回,3.1 微分中值定理,3. 柯西定理,返回,2 拉格朗日定理,1 罗尔定理,核心是拉格朗日中值定理，罗尔定理是它的特例，柯西定理是它的推广。,我们首先介绍罗尔定理,微分中值定理,导数与应用的桥梁,微分学的理论基础,返回,则至少存在一点,一、罗尔定理,（iii）f (a)= f (b).,设函数 f (x)满足：,证:,f (x)在a, b上必取得最大值M和最小值m .,则f (x)在a, b上恒为常数，,因此 f (x) 0，,定理1（罗尔定理）
4、,（i）在闭区间a, b上连续；,（ii）在开区间(a, b)内可导；,所以对于任一点 (a, b)，,(1) 若M = m，,使,由(i )知:,都有f () = 0；,返回,否则 f (x)必恒为常数。,则 M 和 m 之中至少有一个不等于 f (a)，,设在点(a, b)处，,函数f (x)取得最大值f () = M，,都有f (x) f ()，,即f ( x) f ( ) 0.,由条件(ii)，f (x)在点可导，,于是，当x 0时，,从而，,(2) 若M m，,不妨设M f (a)，,即最大值M不是端点处的函数值。,则对一切x(a, b)，,返回,同理, 当x0时,有,因导数存在,所
5、以,几何解释:,返回,如图3.1.2(b),注意:若罗尔定理的三个条件中有一个不满足,其结论可能不成立.,如图3.1.2(a),函数f (x)=,x, 0x1 0 ,x=1,它在闭区间0,1上不连续；,返回,如图3.1.2(c)，函数f (x)=x2，在闭区间0,1上端点处函数值不相等.,图3.1.2,返回,例1,证,由介值定理,即为方程的小于1的正实根.,矛盾,返回,二、拉格朗日定理,（分析）要证,即,只需证：,以下作辅助函数，利用罗尔定理给出证明.,定理2 (拉格朗日定理),设函数f (x)满足：,（i）在闭区间a, b上连续；,则至少存在一点(a, b)，使,（ii）在开区间(a, b)
6、内可导，,返回,令,由罗尔定理知，至少存在一点,使得,即,证明,或,返回,几何解释:,若令f (a) = f (b)，,则结论成为f () = 0。,可见, 罗尔定理是拉格朗日定理的特例。,返回,公式可写成下列形式:,拉格朗日中值公式又称有限增量公式.,拉格朗日中值公式,拉格朗日中值定理又称有限增量定理.,返回,推论1 设函数f (x)在区间I上可导，且f (x) 0，,则f (x)在I上为常数。,证 在I内任取两点x1和x2，,不妨设x1 x2.,显然，f (x)在x1, x2上连续,在(x1 ,x2)内可导，,由拉格朗日定理知，,至少存在(x1 ,x2)，使得,由条件知f () = 0，,
7、从而 f (x2) = f (x1) .,返回,例3.1.2,证,由上式得,返回,定理3（柯西中值定理）,（i）在a, b上连续；,注：柯西定理是拉格朗日定理的推广.,因为g(x)=x时,柯西定理的结论恰是拉格朗日定理的结论.,则至少存在一点 (a, b)，使,（ii）在(a, b)内可导，且g (x) 0 ，,三、柯西定理,设f (x)及g (x)满足:,返回,3.2 洛必达法则,一、引言,1、“ ”型不定式,2、“ ”型不定式,3、其它类型不定式,1. “,”型不定式.,定理3.2.1 如果函数f (x)和g (x)满足,(1)当xa时，f (x)0，g (x)0，,(2)在点a的去心邻域
8、内可导，即f(x)，g(x)存在，且g(x)0,(3)极限,存在(或为无穷大)，,则,返回,显然，当xa时，a.于是上式两端取极限，即得,则在区间a,x(或x,a)上，f (x)与g (x)满足柯西定理条件.因此有,f (a)=g (a)=0，则f (x)和g (x)在点a处连续.设x为点a邻域内的任意一点. 若xa(或xa）,证 条件(1)未给出函数f (x)，g (x)在x = a处是否有定义.为此，我们 补充定义,返回,该定理的意义是，当满足定理3.2.1的条件时，“ ” 型不定式 的极限可以化为,之比的极限(同一自变量变化过程)， 从而为求,极限化难为易提供了新的途,仍是“ ”型不定式
9、，并且f(x),g(x)像f (x)，g (x)一样满足定,导数,径. 如果xa时，,理的条件，,返回,则仍可继续使用洛必达法则，即,推论 如果把定理3.2.1中的a换为，其他条件不变， 则有,返回,例3.2.1 求,在第一章中我们采用特殊的技巧，利用夹逼定理推导出结果.现在如运用洛必达法则，就十分简捷了.,解 ：,返回,例3.2.2 求,解 ：,是“ ”不定式且满足定理3.2.1的条件，因此,返回,例3.2.3 求,解: 原式是“ ”不定式且满足洛必达法则 条件，故,返回,例3.2.4 求,解: 原式是“ ”型不定式，且满足洛必达法则 条件，但求导以后的分式仍是“ ”,型不定式且 满足洛必达
10、法则条件，故可继续运用洛必达法则,化简,返回,2. “ ”型不定式,定理3.2.2 如果f (x)，g (x)满足,(1)当xa时，f (x)，g (x),(2)在点a的去心邻域内可导，即f(x)，g(x) 存在，且g(x)0，,(3)极限 存在(或为无穷大)，则,返回,推论 如果把定理中的a换为，其他条件不变，则,定理和推论的证明从略.如果f(x)和g(x) 像f (x)，g (x)一样满足定理条件，则可,使用洛必达法则.,返回,继续,例3.2.5 求,解: 原式是“ ”型不定式，满足定理条件，,故,返回,例3.2.6 求,解:原式是“ ”型不定式，且满足定 理条件，,故,返回,的变形化为“
11、 ”型 和“ ”型的不定式来计算.下面我们举例加以说明.,“”，“1”，“0”和“00”型等几类不定式.这几类不 定式的极限，都可通过适当,“ ”型和“ ”型的不定式是最基本的两类不 定式.除这两类不定式外，还有“0”，,3. 其它类型不定式,返回,上面我们讨论了各种类型不定式的计算，值得注意 的是，只有“ ”和“ ”型不定,式才能应用 洛必达法则.否则就可能得出错误的结果.例如 不是“ ”型不定式，,利用极限四则运算法则容易得到,返回,但若错误的运用洛必达法则，就会得到错误的结果,另外也应指出，洛必达法则给出的是求不定式“ ” 或“ ”型极限的一种方法，定,理条件满足时，所求极限存在(或为)
12、.但定理条件不满足时，所求极限不一定不存在,返回,例如 是“ ”型不定式，因为 ，当x+时，,极限不存在，,所以定理3.2.2的条件不满足，然而原式的极限却 是存在的，即,返回,例3.2.7 求,解: 原式是“0”型不定式，但将x n ln x写成 ,当x0+时是“ ”型不定式， 因,此可应用洛必达法则进行计算，即,返回,例3.2.8 求,解 原式是“”型不定式，但通分后即可 化为“ ”型不定式来计算，即,返回,由上面两例可看出，“0”型可以通过把一个 因式改写为倒数写在分母中的方法变形,为“ ” 或“ ”型，“”型则可用通分的方法 化为“ ”或“ ”型计算.,返回,例3.2.9 求,解 由于
13、 ，因此它是一个“00”型不定式， 设y = x x，取对数得lny =xln x，,当x0+时，成为“0”型不定式，再写成 的形式，化为“ ”不定式，用洛必达,法则，得,返回,又因为,且,故,由此例进一步还可以知道，不仅“00”型不定式， 而且“1”型及“0”型不定式均,可通过取对数的 方法先化为“0”型，再化为“ ”或“ ” 型不定式用洛必达法则计,算.,返回,3.3 函数的单调性、极值 和最大最小值,3. 函数的最大值和最小值,返回,1. 函数的单调性,2. 函数的极值及求法,一、函数的单调性,定理3.3.1 设函数,斜率为正曲线上升,斜率为负曲线下降,在,上连续,在,内可导，,（1）若
14、在,内,则,在,内单调增加；,（2）若在,内,则,在,内单调减少.,证,应用拉氏定理,得,这个定理说明了可以利用导数的符号来判定函数的增减性.,(3)上述点将定义域分为若干个开子区间；,返回,讨论函数增减性步骤,称满足,的点为,的驻点.,（1）确定函数,的定义域；,（2）找出,不存在的点以及,的驻点；,（4）判断每个开区间内,的符号，即可确定,在该区间的单调性.,返回,例3.3.1 讨论函数,的单调性.,解,的定义域为,令,得驻点,将定义域分为三个开区间，列表3.3.1讨论，由,在各小区间中的正、负号知：,在,和,内单调增加,在(-1,1)内单调,减少.,例3.3.2,解,单调区间为,返回,例
15、3.3.3 证明当,时，,证明 令,因,故只要证明函数,当,时, 是单调增加, 而当,时单调减少即,可.由,，得驻点为,当,时，,所以,单调增加，故,即,当,时，,单调减少，即,亦有,故,时，,极大值和极小值统称为函数的极值，极大、极小值,设函数f (x)在点x0的某个邻域,内有定义,2.函数的极值,定义 3.3.1,1）若当,时，恒有,，则称,是,的一个极大值，此时,称为,的极大值点：,2）若当,时，恒有,，则称,是,的一个极小值，此时,称为,的极小值点：,点统称为函数的极值点.,需要说明的是，对同一个函数来说，有时它在某一点的极大值可能会小于,另一点的极小值，如图3.3.3.虽然f (x1
16、)是函数的极大值，f (x4)是极小值，但是,返回,注：函数的极值是一个局部概念，因此，一个定义在a，b上函数的在a，b上可以有许多极值，且极大值有可能小于极小值。,D,E,C,O,B,A,函数极值的求法,定理3.3.2(必要条件),注意:,例如,不存在的点。,(iii) 若在x0的两侧，f (x)不变号，,定理3.3.3（极值第一充分条件）,设f (x)在x0,（x0可除外）可导，,x0为f (x)的驻点或使f (x),(i) 若当x 0；,则 f (x0) 是f (x)的极大值；,(ii) 若当x x0 时，f (x) 0；,则 f (x0) 是f (x)的极小值；,则f (x0)不是极值
17、。,当x x0 时，f (x) 0，,当x x0 时，f (x) 0，,求极值的步骤:,例3.3.4,解,列表讨论,极大值,极小值,返回,定理3.3.4（函数取极值的第二种充分条件） 设函数,在,处具有二阶导数且,则,（1）当,时，,在点,处取极大值；,（2）当,时，,在点,处取极小值；,注意, 当函数,在点,处具有二阶导数且,则,在点,处处可能具有极值，也可能没有极值.,例如, 函数,但,在,处不取极值.而函数,但,在,处取得 极小值,例3.3.5,解,例3.3.6,解,注意:函数的不可导点,也可能是函数的极值点.,图3.3.5,3.函数的最大值和最小值.,上面所研究的函数的极值总是在可能取
18、极值的点 (驻点或不可导点)的邻域内进行,讨论，因而是一,个局部性的概念.本目是研究函数在某个区间上的,最大值或最小值的,问题.这是与函数的极值有关但,涉及整个区间的整体性问题.,返回,由第1章可以知道，闭区间上的连续函数一定可以,取得最大值与最小值(统称为,最值).可以证明，如果,函数在开区间内取得最值，那么这个最值也一定是,函数的一,个极值.由于连续函数取得极值的点只可能,是该函数的驻点或不可导点，并且函数的,最值也可能,在区间的端点上取得，,返回,因此 求函数最值的方法是：首先找出函数在区间,内所有的驻点和不可导点，其次计算出它们及端点,的函数值，最后将所有这些函数,值加以比较，其中,最
19、大(小)者就是函数在该区间上的最大(小)值.,在实际应用中，常会碰到求最大值和最小值的问题，,如用料最省、容量最大、费,用最省、效益最高等，,因此求最大、最小值问题在工程技术、国民经济,返回,以及自然科学,和社会科学等领域有着广泛应用.,需要说明的是，在具体的求最大、最小值问题中，,需要说明的是，,如果能够根据问题本身的特点判断,出函数f (x)确有最大值或最小值，,而且一定在定义,区间内部取得，且如果f (x)在定义区间内只有一,那么这个点就是函数的最值点.,个驻点(或不可导点)，,返回,在区间8, 上,例3.3.7 求函数,的最大值与最小值.,解 , 令 （x）=0 ， 解得驻点 x= 1
20、 .,又f (x)有不可导点，,它们均在( 8, )内，因为,返回,比较后即知，函数的最大值点是 ， 最大值为f (1)=f ( )= ，函数的最,小值点是左端 点x =8,最小值为f (8)=2 .,返回,例3.3.8 有一块边长为a的正方形铁片，在每一个 角上各剪去一个边长为x的小正,方形，用剩下的部,分做成一个开口盒子.问：剪去的正方形边长x为,多少时，所做盒子,容积最大?,解 由于小正方形边长为x，,故做成的小盒子底边长为,a2x,高为x,因此容积为：,V(x)=(a2x)2x, (0x .,返回,令V(x)=0，得驻点x1= 及x2= . 由于当x2= 时， 表示铁皮完全被剪去，容积
21、为零，应舍去，故V(x),在开区间 (0, )内只有唯一驻点x1= . 另一方面， 根据问,题特点可以判断V(x)一定有最大值，故当x= 时，V(x)取得最大值，最大值为,返回,由,3.4 曲线的凹凸性和函数作图,3.函数作图,返回,1.曲线弯曲的方向凹凸性,2.曲线的渐进线,1.曲线弯曲的方向凹凸性,在上一节我们利用一阶导数研究了曲线的上升和 下降.但仅仅知道这些，还不能准确地描绘函数的 图形，例如图3.4.1中的两条曲线弧，虽然它们都 是上升的，但图形却有明显的不同，,图3.4.1,ACB是向下凹的曲线弧，而ADB是向下凸的曲线弧，它们的凹凸性不同，也就是说ACB和ADB的弯曲方 向是不同
22、的.进一步如果过曲线上每一点作曲线的切 线，还可以看到ACB上任一点作切线后，弧总在切 线之下，而 ADB上任一点作切线后，弧在切线之上，因此，我们有下面的,（,（,（,（,（,（,定义3.4.1 设函数y=f (x)在区间a,b上连续，在 (a,b) 内可导，如果 y=f (x)的图形位于每 一点切线的上方，则称曲线y=f (x)在a, b上是 向下凸的;如果y=f (x)的图形位于每一点切线的下方，则称曲线y=f (x)在(a,b)上是向下凹的.,返回,一条连续曲线上，向下凸的曲线弧和向下凹的曲线 弧的分界点称为曲线的拐点.,不难看出，当曲线y= f (x)在某区间是凸的，当自变量x由小变
23、大时，其切 线斜率是增加的，即f(x)是一个增函数. 所以f(x) 的导数即f(x)在此区间内应取正值.对曲线y=f (x)为,凹的部分有相反的结论，因此，我们可以利用函数 的二阶导数来决定函数对应曲线的凹凸性和求曲线 的拐点.,定理 3.4.1 设函数f (x)在(a, b)内有二阶导数. 若对 任意的x(a, b), 有f(x)0，则 f (x)在(a, b)内是 下凸的，若对任意的 x(a, b) 有 f(x)0,则f (x) 在(a, b)内下凹.,本定理证明要用到泰勒中值定理，此处从略.例如函,数f (x)=x4, f(x)=12x2, 它在(,+)内是凸函数； 而函数f (x)=x
24、3, f(x)=6x,因此它在(，0)内是凹的，而在(0，+)内是凸的.点(0，0)为曲线y=x3的拐点.,一般而言，若f(x)在(a, b)内连续，除个别 点外，f(x)不变号，f (x)在(a,b)内凹凸性不变.,返回,由于可导函数f (x)的凸(凹)区间是其导数f(x)的单 调增(减)区间，所以，若(x0, f (x0)是曲线y=f (x) 的拐点，x0必是导数f(x)单调增区间与单调减区 间的分界点，反之亦然.我们有下面的关于求曲线 拐点的定理：,定理 3.4.2 设函数f (x)在点x0处二阶可导，则点 (x0, f (x0)是曲线y=f (x)的拐点的必要条件为 f(x0)=0 .
25、,但使f(x0)=0 的点 (x0, f (x0) 不一定 是拐点. 例如f (x)=x4, 它在(，+)上是凸的， 虽有f(0)=0,但点(0，0)不是曲线的拐点.,如果f (x)在点x0处的二阶导数不存在，点(x0, f (x0)仍可能是曲线的拐点.如点(0，0)是y= 的拐点，但f(0)不存在.(见例3.4.2).,可见，曲线拐点的横 坐标，可能是使f(x)=0的点，也可能是使f(x) 不存在的点.找到曲线上的这些点后，我们可用下 面的充分条件判别其是否为拐点.,定理 3.4.3 设函数y=f (x)在区间(a, b)内有 二阶导数f(x)，若x0是(a, b)内一点,当f(x)在x0处
26、左、右两侧不同号时，点(x0,f (x0)是y=f (x)的一个拐点.,(2)当f(x)在点x0处左、右两侧同号时，点(x0,f (x0)不是y=f (x)的拐点.,返回,例 3.4.1讨论曲线y=x42x3+1的凹凸性并求其拐点.,解 :函数的定义域为(,+)，一、二阶导数为,y=4x36x2, y=12x212x=12x(x1).,令 y=0, 解得x1=0, x2=1，它们把定义域分为三 个部分：(,0),(0,1),(1,+).,在(,0)内, y0，y=x42x3+1 下凸；,在(0,1)内，y0, y=x42x3+1 下凹；,在(1,+)内，y0,y=x42x3+1 下凸.,当x=
27、0时，y=1,点(0,1)是曲线的拐点.x=1时， y=0,点(1，0)也是曲线的拐点.,返回,例 3.4.2 求曲线 的拐点.,解 : 函数y = 在(,+)内连续，当x0时,当x =0 时，y,y都不存在.二阶导数y在(, +)内没有零点，,在x=0处不连续.但x=0把(,+)分成两个区间(,0)和(0，+)，在(,0)内y0,曲线下凸，在(0，+)内y0,曲线下凹.当x=0时，y=0,故(0，0)是曲线的一个拐点.,返回,2.曲线的渐近线.,为了比较准确地描绘曲线在平面上无限伸展的 趋势，应对曲线的渐近线进行讨论.例如双曲线,(图3.4.2)，当自变量x无限趋近于0时，第一象限的 一支无
28、限向上延伸，同时无限靠近y 轴，而第三象限 的另一支曲线则无限向下延伸，同时也无限靠近y轴； 当x无限远离原点时，两支曲线分别沿x轴,的两个方向,无限延伸，同时无限靠近x轴.因此，对曲线 来说，我们可以借助y轴(直线x =0)和x轴(直线y =0) 来研究它无限伸展的趋势.这样的直线就是所谓的 曲线的渐近线.,图3.4.2,返回,定义3.4.2 如果动点M沿曲线y =f (x)无限远离 坐标原点时，M与某一条直线L的距离趋于零，则 称直线L是曲线y =f (x)的一条渐近线.并且,若 ,则称直线y =A是曲线的水平 渐近线；,若 ，则称直线x = a是曲线的竖直渐近线或垂直渐近线;,若 ,则称
29、直线y = ax+b是曲线的斜渐近线.,返回,或,且,例3.4.3 求曲线,的渐近线 .,解: 由于 ，所以x=1是曲线的竖直渐近线；,又,故 是曲线的斜渐近线.,该曲线没有水平渐近线.,3.函数作图,下面我们给出利用导数和极限描绘函数图形的一般 方法和步骤，该方法本质上仍是描点作图.,(1)求出函数y =f (x)的定义域，确定图形的范围； (2)讨论函数的奇偶性和周期性，确定图形的对称性和周期性； (3)讨论渐近线，确定图形的变化趋势；,(4)计算函数的一阶导数f(x)和二阶导数f(x)； (5)求函数的间断点、驻点、不可导点和拐点，将这些点由小到大，从左到右插入定义域内，得到若干个子区间
30、； (6)列表讨论函数在各个子区间内的增减性、凸凹性、极值点和拐点；,返回,(7)求曲线上的一些特殊点，如与坐标轴的交点等， 有时还要求出一些辅助点上的函数值，然后根据 (6)中的表格描点绘图.,例3.4.4 作函数 y =x42x3的图形.,解 : 函数的定义域为(,+).,由y=0,得驻点x1=0,y=12x (x1),由y=0,得点x3=0,x4=1.,于是点x1=0,x4=1,将(,+)分成四,个子区间：(,0)，(0，1)，,将y,y的符号，曲线的升降，凹凸性， 极值点，拐点情况列表讨论：,表3.4.1,返回,为了所作图形的准确性，先求出曲线与坐标轴交点，即由y =x42x3=0，得
31、(0,0)和(2，0)，再令x =1,x=2.2，得两个辅助点(1,3),(2.2,2.1)，于是 按表及上述点即可作出函数y =x42x3的图形如图3.4.3.,图3.4.3,返回,例3.4.5 作函数 的图形.,解 :函数 的定义域是(,+)，该函数是偶函数,可先作出函数在0,+）的图形.又 ,故y=0是水平渐近线.,令y=0,得驻点x1=0,令y=0得点,根据上述结果，列表讨论曲线的升降，凹凸、 极值点和拐点等.,表3.4.2,返回,再令x=1,f (1)=e10.37,得辅助点(1，0.37). 根据以上讨论，先作出函数在y轴之右的图形，再利用对称性，即得曲线图形如图3.4.4,图3.
32、4.4,返回,例3.4.6 作出函数 的图形.,解:函数的定义域是(,1)(1,+).由例3.4.3，函数有竖直渐近线x=1及斜渐近线,又,令 y=0得驻点x1=1,x2=3.,但当x=1时，y,y不存在.,返回,x1=1,x2=3及不可导点x=1将定义域分成四个子区间， (,1),(1,1),(1,3),(3,+),列表讨论.,表3.4.3,补充辅助点 ,描点绘图如下：,图3.4.5,返回,极小 -,*3.5 弧微分 曲率,运用微分学的理论研究曲线的性质，已形成了独特的数学分支微分几何学，本节只讨论平面曲线的几个最基本的概念，它们有着重要的应用.,弧微分 曲率 曲率圆与曲率半径,返回,1.
33、弧微分,设函数f (x)在区间(a,b)内具有连续导数，在曲线 y =f (x)上取定点M0(x0,f (x0)作为计算曲线弧 长的基点，M(x,y)是曲线上任意一点，规定：(1) 自变量x增大的方向为曲线的正向；(2)当弧段M0M的 方向与曲线正向一致时，M0M的弧长s0；相反时， s0.,（,（,显然，弧长s是x的单调增函数：s=s(x).为求 弧长s(x)的微分，在点M(x,y)的附近另取一点 N(x+x，y+y)(图3.5.1)，相应于x的增量x， 弧长s的增量为s=MN，并设弦MN的长为|MN|，则 |MN|2=(x)2+(y)2,改写为,上式令x0，两端取极限，并注意到,所以,或,
34、返回,由于s(x)为x的单调增函数，所以s与x同为正或 同为负，根号前应取正号，于是有,(3.5.1),这就是弧微分公式.,若函数以参数方程x =x(t),y=y (t)，(t) 给出，x(t),y(t)在(，)内连续，则,(3.5.2),弧长的微分有明显的几何意义.在图3.5.1中，MT是 曲线在点M处的切线，故,|MT|2=|MR|2+|RT|2=(dx)2+(dy)2,从而有,|ds|=|MT|.,即弧长的微分等于自变量x的增长 x相对应的切线段的长度.,图3.5.1,返回,2.曲率,在理论和实际应用中，常要研究曲线的弯曲程度. 例如，铁路转弯时轨道的弯曲程度应确保行车的 安全，钢梁在荷
35、载作用下产生弯曲变形，必须有 一定的限制，才会使构件不至于断裂等.那末， 如何描述曲线的弯曲程度呢?,在图3.5.2中可见，曲线弧M1M2和M2M3等长，但曲 线M1M2比较平直，当动点沿着弧从M1移动到M2时， 切线转过的角度(简称为转角)1较小；而曲线 弧M2M3比M1M2弯曲得多，转角2就比1大.,（,（,（,（,（,仅有转角的大小还不能完全刻画曲线的弯曲程度. 例如在图3.5.3中，两段弧M1M2与M3M4，,（,（,尽管它们的转角相同，然而它们的弯曲程度并 不相同，短弧M3M4比长弧M1M2弯曲得厉害.由此可见，曲线弧的弯曲程度还与弧长有关.,（,（,图3.5.2 图3.5.3,返回
36、,根据以上分析，我们引入描述曲线弯曲程度的曲率 概念如下:,设曲线L具有连续转动的切线，在L上选定一点M0作 为度量弧长的基点.设L上点M对应的弧长M0M=s，点 M处切线的倾角为，L上另一点N对应的弧长M0N=s+s，,切线的倾角为+(图3.5.4)，弧段MN的长度为|s|(N在M的右侧，s为正，否则s为负)，从M到N，切线转过的角度为|，则称,（,为弧段,图3.5.4,（,返回,MN的平均曲率.,平均曲率只表示弧段MN上单位长弧段上切线转过 的角度的大小，它不能反映弧段MN在各点附近曲 线的弯曲程度.仍然运用“逼近法”的思想，我们 有如下的定义：,（,（,定义3.5.1 在曲线L上，当点N
37、沿曲线L趋于点M时， 如果极限,存在，则称此极限值为曲线L在点M处的曲率，记作,在 存在的条件下，K也可以表示为,(3.5.3),对于直线来说，切线与直线本身重合，转角,返回,从而K=0，可见直线的曲率处处为零，这与我们的 直观认识相吻合.,设有半径为R的园周，在其上任取弧段MN，由M到N， 圆弧的切线的转角为，MN的弧长为s，显然 与MN所对应的园心角相等 (图3.5.5)，,（,（,（,图3.5.5,所以,从而,即圆周上各点处的曲率都是一样的，等于半径的倒 数.即圆周上各点弯曲程度到处相同，且半径越小，圆周弯曲得越厉害.,返回,在一般情况下，我们根据(3.5.3)式导出便于 计算曲率的公式
38、.在一般情况下，我们根据(3.5.3) 式导出便于计算曲率的公式.,设曲线的直角坐标方程是y =f (x),且f (x)具 有二阶导数，因为y=tan，所以=arctany, 对等式两边微分，得,由(3.5.1)和(3.5.3)式，即得曲率公式,(3.5.4),若曲线由参数方程 (t)给出，则可利用由参数方程所确定的函数的求导法，求出 及 ，代入(3.5.4)式即可.,返回,例3.5.1 抛物线y =ax2+bx+c上哪一点处的曲率最大?,解: y=2ax+b,y=2a.代入(3.5.4)式得,易知，当 时，K最大.而 为抛物线的顶点.即抛物线在顶点处的曲率最大.,返回,3. 曲率圆与曲率半径
39、,设曲线y =f (x)在点M(x，y)处的曲率K(0)，在点M处的曲线的法线上，在凹的一侧取一点D， 使 . 以D为园心，R为半径作圆(图3.5.6)，这个圆称为曲线在点M处的曲率圆，园心D称为曲线在M处的曲率中心，R称为 曲线在M处的曲率半径.,图3.5.6,返回,曲率圆与曲线在点M处相切(即有公共切线，导数 相同)，且具有相同的凹向，相同的曲率(二阶导数相 同)，所以曲率圆与曲线在M点密切相切，故也将曲率圆 称为密切圆.从而可用曲线在一点处的曲率圆弧来近似 该点附近的曲线，称为曲线在该点附近的二次近似.,显然，曲线上一点的曲率半径R与曲率K(0)互为倒数关系.因而，曲线上一点处的曲率半径
40、R越大，曲线在该点处的曲率K就越小，即曲线在该点附近越平坦；曲率半径R越小，曲率K就越大，曲线在该点附近弯得越厉害.,对曲率中心D的坐标有下面的结论.,设函数y =f (x)二阶可导，且f(x)0，则曲线 y =f (x)在点M(x,y)处的曲率中心D(，)的坐标 为,(3.5.5),(证明略).,返回,解: 为了磨削时不使砂轮与工件接触处附近的那部分工件磨去太多，砂轮的半径应不大于抛物线上各点处曲率半径中的最小值.由例3.5.1知，抛物线在其顶点处的曲率最大，即其曲率半径最小.因此，只要求出抛物线y =0.4x2在顶点(0，0)处的曲率半径.由 例3.5.2 设工件内表面的截线为抛物线y =0.4x2(图3.5.7).现在要用砂轮磨削其内表面，问用直径多大的砂轮才比较合适?,知,y=0.8x, y=0.8，y|x=0=0, y|x=0=0.8.,代入公式(3.5.4)得K=0.8.因而求得抛物线顶点处的 曲率半径,所以选用砂轮的半径不应超过1.25单位长.,对于用砂轮磨削一般工件的内表面时，也有类似的结论，即选用的砂轮半径不应超过这工件内表面的截线上各点处曲率半径中的最小值.,图3.5.7,返回,例,证,结论可变形为,返回,
