1、座位表,座位表,第三章 中值定理与导数应用,I. 微分中值定理,一 罗尔(Roll)定理,罗尔定理: 如果函数 f (x) 满足条件： 在闭区间 a, b 上连续； 在开区间 (a, b) 内可导； f (a) f (b) 。 则在开区间(a, b)内至少存在一点x ，使 f (x ) 0 。罗尔定理的几何意义：,当曲线弧 AB 在a, b上为连续弧段， AB 在 (a, b) 内的每一点都有不平行于 y 轴的切线， 且曲线弧段在两个端点处的纵坐标相同， 那么曲线弧 AB 上至少有一点x ，过该点的切线平行于x 轴。,证明：,因为 f (x) 在a, b上连续，所以在a, b上 f (x) 必
2、能取得最大值 M 和最小值 m，分两种情形来证明。 若M m，则 f (x)在a, b上恒为一常数，所以在开区间(a, b)内恒有 f (x) 0，于是(a, b)内的每一点都符合定理结论的要求。 若M m，因为 f (a) f (b)，所以M 及m中至少有一个不等于f (a)，不妨设 M f (a)，此时在区间(a, b)内至少有一点x ，使得 f (x) M ，,根据函数极限的保号性, 有:,类似地,当x 0 时，,例1: 验证函数 f (x) x3 3x 在 是否满足罗尔定理的条件？若满足, 请求出定理结论中的x 值。,解：,因 f (x) x3 3x 是初等函数,定义域 ( , ) ，
3、故在,故在闭区间 上连续，,又导函数 f (x) 3x2 3 在开区间,内存在；,而且,所以，在 内，使得 f (x ) 0 的有两个：,x1 1， x2 1。,所以函数 f(x) 满足罗尔定理的条件.,令 f (x) 0 ，即 3x2 3 0 , 解得 x 1，,例: 函数 f (x) |x| 在 1, 1 上连续, 且 f ( 1) f (1) ，但 f (x) |x| 在 ( 1, 1) 内有不可导的点 x 0。本例就不存在 x ( 1,1) ，使得 f (x ) 0 。例: 函数 f (x) x2 在 0, 1 上连续，且在开区间 (0, 1) 内可导，但是 f (0) f (1) 。
4、本例不存在x (0, 1) ，使得 f (x ) 0成立。,有必要指出，罗尔定理的成立条件有三个， 如果缺少其中任何一个条件，定理不一定不成立。,例: 设函数,则函数在 上不连续，并且 ，,所以不满足罗尔定理的条件，,但并不是说，不满足罗尔定理的条件，就一定没有定理的结论。,1. 拉格朗日中值定理: 如果函数 f (x) 满足： 在闭区间a, b上连续； 在开区间(a, b)内可导；则至少存在一点x (a, b)，使得 或拉格朗日中值定理的几何意义:,二 拉格朗日(Lagrange)中值定理,这个定理也称微分中值定理(mean-value theorem for derivatives),当曲
5、线弧AB在a, b上为连续弧段， 且在弧AB上除端点外每一点处都有不平行于 y 轴的切线，那么曲线弧AB上至少有一点C， 使曲线在C点处的切线平行于弦AB。,证明：,作辅助函数,由连续函数性质及导数运算法则， 可知 j (x) 在闭区间 a, b 连续， 在开区间 (a, b) 可导，且即函数 j (x) 满足罗尔定理的三个条件， 所以在区间 (a, b) 内至少有一点 x ，使得即,例2: 验证函数 f (x) x sinx 在区间0, p 上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足, 请求出定理结论中的x 值。 解：,显然 f (x) x sinx 在闭区间 0, p 上连续， 在区间 (0
6、, p) 内可导， 且 f (x) 1 cosx， 令 即 解得,拉格朗日中值定理比罗尔定理少了端点处函数值相等的条件， 显然，罗尔定理是拉格朗日中值定理的一个特殊情形。拉格朗日定理的结论也经常用另一种形式表示。 由于x 是(a, b)中的一个点， 故可表示成 a q (ba) (0q 1) 的形式， 于是定理的结论就可改写为在(0, 1)中至少存在一个q 值，使或,2. 推论1: 若 f (x) 在开区间(a, b)内每点处 f (x) 0，则 f (x) 在区间 (a, b) 内为一常数。证：, x1, x2 (a, b) ，且 x1 x2 ，于是 x1, x2 (a, b) ， 则 f
7、(x) 在x1, x2上连续，在(x1, x2)内可导，则有:,由 x1，x2 的任意性，可知 f (x) C，x(a, b) 。,3. 推论2: 若 f (x) 和 g(x) 在区间(a, b)内每点处 f (x) g(x)， 则 f (x) 与 g(x) 在区间(a, b)内仅相差一个常数。证：,因为, f (x) g(x) f (x) g(x) 0 ，x(a, b) 所以, 由推论1，可知 f (x) g(x) C。,函数 f(x) 在 (a, b) 内是一个常数的充要条件是在 (a, b) 内f(x)=0.,例3: 证明恒等式：,设 f (x) arcsin x arccos x ，则
8、,证明：,由推论1，可得 f (x) arcsin x arccos x C x( 1, 1) 特别地，令 x 0 ，可得,于是 又 所以,思考题,验证函数 f (x) ln x 在区间 1, e 上是否满足拉格朗日中值定理的条件？若满足，请求出定理结论中的x 值。 解：, 显然 f (x) ln x 在闭区 1, e 上连续； 因为 所以函数 f (x) ln x 在 (1, e) 内可导。 且 令 x e 1,即存在x e 1(1, e)，使 成立。,首先可以肯定 g(a) g(b)，否则若 g(a) g(b)，那么由罗尔定理知道，g(x) 在(a, b)内存在零点，此与假设矛盾。 作辅助
9、函数 再运用罗尔定理，本定理立即得证。,柯西定理: 如果函数 f (x)与 g(x)满足： 在闭区间a, b上连续； 在开区间(a, b)内可导，且 g(x) 0； 则至少存在一点 x (a, b)，使得 证明：,三 柯西(Cauchy)中值定理,若取 g(x) x，则柯西中值定理即为拉格朗日中值定理。,习题三(A)/ 1(单),2,4(单),5(1,2),8(1),9,习题中的问题,不求导数，证明函数 f (x) (x 1)(x 2)(x 3) 在(1, 3) 内有一点x ，使 f (x ) 0 f (x) 在 1, 2 上连续，在(1, 2)内可导，且 f (1) f (2) 由Roll定
10、理，知 x 1 (1, 2)，使 f (x 1) 0 同理对 f (x) 在 2, 3 上运用Roll定理，知 x 2 (2, 3)，使 f (x 2) 0 最后对 f (x)的导函数 f (x) 在 x 1, x 2 上运用Roll定理， 知 x (x 1, x 2) (1, 3) ，使 f (x ) 0,习题中的问题,证明不等式 sin x sin y x y 设 f (x) sin x，对 x y 在区间x, y上应用Lagrange定理 x (x, y)，使 f (x) f (y) f (x ) (x y)即 sin x sin y cosx (x y)故 sin x sin y co
11、sx x y 所以 sin x sin y x y ,习题中的问题,证明：若函数 f (x)在a , b上连续，在(a , b)内存在二阶导数， 且 f (a) f (b) 0，f (c) 0 ，其中 a c b ，则在(a, b)内至少存在一点 x ，使 f (x ) 0 。 证：对 f (x) 在 a , c上运用Lagrange中值定理，知 x 1(a , c)，使 同理，对 f (x) 在 c, b上运用Lagrange中值定理，知 x 2(c, b)，使 再对 f (x) 在 x 1, x 2上运用Lagrange中值定理，知 x (x 1, x 2) (a , b) ，使,1. 定
12、理: 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： 在点a的某个领域内（点a可除外）可导，且 g(x) 0 （或 ）。则有 （或 ）,II 洛必达 (LHospital) 法则,一 基本未定式,证明：,在点 x a 处补充定义函数值f (a) g(a) 0 则函数 f (x) 与 g(x) 在点 a 的某个领域连续， 设 x 为这个领域内的任意一点，例如设 x a (或 x a), 则在区间a, x （或 x, a）上， f (x) 与 g(x) 满足柯西定理的三个条件，因此有显然当 x a 时，a 。于是，上式两边的极限得（或 ）,例4: (1) 求极限解：,(2) 求极限 解：,2. 定理
13、: 设函数 f (x) 和 g(x) 满足条件： 在点a的某个领域内（点a可除外）可导，且 g(x)0 （或）。则有 （或）,（对 或 型）,定理1与定理2中的 x a 改为 x 时，洛必达法则同样有效。即:,(2) 求极限 解：,例5: (1) 求极限解：,(3) 求极限 解：,(4) 求极限 解：,思考题,求下列各极限：,例6: (1) 求极限解：,显然这是 型未定式极限，利用洛必达法则，有,右端的极限不存在，即洛必达法则中第三个条件不满足。 所以，此例不能用洛必达法则求解。,需要指出，洛必达法则是求解未定型极限的有效方法，但是法则的条件不是必要的，有时存在极限却不能用洛必达法则求出。 即
14、如果法则失效，并不意味着原极限一定不存在，这时应换用其它方法去求。,(2) 求极限 解：,易知这是 型未定式极限，利用洛必达法则，有,此时出现循环，始终是未定式极限，得不到极限结果， 即洛必达法则对此题也失效。 但是，该极限是存在的，可以改用其它的方法来求得。,例6 (1), (2) 表明洛必达法则并不是万能的。,洛必达法则不仅可以用来解决 型和 型未定式的极限问题， 还可以用来解决 0 、 、1、00 、0 等型的未定式的极限问题。解决这些类型未定式极限问题的关键，就是设法将其转化成型 或 型，再用洛必达法则进行计算。,二 其他未定式,例7: (1) 求极限解：,对于 型的未定式极限可化为
15、或 型来计算。,至于到底化为哪种类型，取决于哪种计算简便。,(2) 求极限 解： (3) 求极限 解：,(4) 求极限 解：,(5) 求极限解：,习题三(A)/10,习题中的问题,利用洛毕达法则求极限,利用洛毕达法则求极限,习题中的问题,利用洛毕达法则求极限,利用洛毕达法则求极限,习题中的问题,利用洛毕达法则求极限,对于一些较复杂的函数，为了便于研究， 往往希望用一些简单的函数来近似表达。 已知近似公式 ： 特点： p1 (x0) f (x0) ， p1 (x0) f (x0) 需要解决的问题事实上:,p1 (x) x 的一次多项式,II.5 泰勒公式,一 皮亚诺(Peano)余项的泰勒(Ta
16、ylor)公式,1. 定理: 设 f(x) 在x0 点的n 阶导数存在, 则,上式称为带有皮亚诺余项的泰勒公式,证明: 即要证明下面极限为零,对上式连续应用(n-1) 次洛必达法则:,2. 当x0 = 0 时, 公式,也称为带有皮亚诺余项的麦克劳林(Maclaurin)公式.,例8: 求下列函数的麦克劳林展式:,余项估计:,1. 定理: 设 f(x) 在 a, b 上有直到n 阶的连续导数, 在 (a, b) 上(n + 1) 阶导数存在, x, x0 a, b, 则有,上式称为 f(x) 的 n 阶泰勒公式,Rn(x) 称为 n 阶泰勒公式的拉格朗日余项 .,二 拉格朗日余项的泰勒公式,特例
17、:,(1) 当 n = 0 时, 泰勒公式给出拉格朗日中值定理:,(2) 当 n = 1 时, 泰勒公式变为:,误差:,2. 当x0 = 0 时, 公式,也称麦克劳林公式.,例9: 求下列函数的麦克劳林展式:,例10: 计算e, 准确到10-5.,其中,其中,类似可得,其中,其中,已知,其中,类似可得,例11: 求下列极限:,解:,从几何上看，函数 f (x)在区间(a, b)内可导， 则函数的图形是一条连续曲线。 如果曲线上每一点处的切线斜率都为正值，tan a f (x) 0，则曲线是上升的。 反之，如果曲线上每一点处的切线斜率都为负值，即 tan a f (x) 0，则曲线下降。,III
18、 函数单调性的判别法,定理: 设函数 f (x) 在区间 (a, b) 内可导。 如果 x (a, b) 时恒有 f (x) 0, 则 f (x) 在(a, b) 内单调增加； 如果 x (a, b) 时恒有 f (x) 0, 则 f (x) 在(a, b) 内单调减少。 证：, 设 x1 和 x2 是区间 (a, b) 内任意两点，且 x1 0 ，因而有 x2 x1 0 ， f () 0 ，则 f (x2) f (x1) f (x )( x2 x1 ) 0 ，从而 f (x2) f (x1) 由单调性的定义，函数 f (x) 在 (a, b) 内单调增加。, 0, 0, 0,减少,例12:
19、求函数 f (x) x3 3x 的单调区间。 解：,+,-,+,-2,2,函数 f (x) x3 3x 的定义域为( , )， 因为 f (x) 3x2 3 3(x 1)(x 1) 令 f (x) 0，解得 x1 1，x2 1。,通常采用列表讨论,所以，f (x) 在区间( , 1)及(1, )内单调增加，,在区间( 1, 1)内单调减少。,思考题,1. 求 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的单调区间。,令,列表讨论：,+,-,+,极小值 1,极大值 2,解：,定义域为( , )，,例13: 求函数 的单调区间。 解：,在 x 0 处，f (x) 不存在。,+,-,不存在,列表讨论：,
20、0,定义域为( , )，,导数为零和导数不存在的点都可能是函数增减区间的分界点。,例14: 讨论函数 y x3 的单调性。 解： 例15: 讨论函数 的单调性。 解：,定义域为( , )，因为导数 y 3x2 除 x 0 外都大于零，所以 y x3 在( , )内单调增加。,所以函数 在定义域,当 x 0 时，均有 y 0 ，,当 x 0 时， 不存在。,( , )内单调增加。,函数的定义域为( , )，,注意：当函数在某区间内，仅个别点的导数为零或不存在时，而其余各点的导数均大于（或小于）零，此时函数在这个区间内仍是单调增加（或减少）的。,思考题, 求函数 f (x) 2x2 lnx 的单调
21、区间。,解：,令,（舍去）,列表讨论：,+,-,0,1.193,定义域为(0, )，,例16: 证明不等式, 当x 0 时,例17: 证明方程 sin x = x 只有一个实根.,需掌握!,#,1. 定义: 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域内有定义，除点 x0 以外，对于该邻域的任意点 x，有 f (x) f (x0) ，则称 f (x0) 为函数 f (x) 的极小值，x0 称为函数 f (x) 的极小值点。极大值、极小值统称为极值(extremum) ，极大值点、极小值点统称为极值点。,极大值 y= 0,极大值 y= 0,极大值 y 无,极小值y 无,极小值 y= 0,无极值 y=
22、 0,无极值 y= 0,y 0,y 0,IV 函数的极值及其求法,注意：极值是局部概念，它只是在与极值点邻近的所有点的函数值相比较而言是最大或最小；在定义区间上，函数的极大值可能小于极小值。,1) 定理1: 设函数 f (x) 在点 x0 处可导, 如果点 x0 是 f (x) 的极值点, 则在点 x0 处的导数为零，即 f (x0) 0 。,2. 极值的必要条件:,定理表明: 可导函数的极值点必定是它的驻点。 但注意: 函数的驻点并不一定是函数的极值点。例 f(x) = x3, x = 0 是驻点但不是极值点. 此外: 导数不存在点也可能是函数的极值点。,2) 驻点(stationary p
23、oint): 使f(x) = 0 的点x, 称为驻点(或稳定点).,函数在定义域中的驻点及不可导点为极值可疑点。 如果函数在极值可疑点x0的左右两侧具有不同的单调性， 则x0是极值点。,3. 极值判别法:,1) 定理2 (判定极值的第一种充分条件): 设函数 f (x) 在点 x0 的某邻域 (x0 d , x0 d ) 内连续并可导(但 f (x0) 可以不存在)。如果 当 x (x0 d , x0) 时，f (x) 0；当 x (x0, x0d )时，f (x) 0， 则 x0 为函数 f (x) 的极小值点; 当 x (x0 d , x0) 和 x (x0, x0d ) 时导数 f (x
24、)保持相同符号，则 x0 不是 f (x) 的极值点。,证：, 当 x (x0 d , x0) 时 f (x) 0 ，则函数 f (x) 在 (x0d , x0) 内单调增加，所以 f (x0) f (x) 。当 x (x0, x0d )时 f (x) f (x) 。因此，对任意的 x (x0 d , x0) (x0, x0d )总有 f (x0) f (x) 所以 f (x0)为 f (x) 的极大值。 同理可证 。 因为在 x (x0 d , x0 d )内，导数 f (x)保持相同符号，即 f (x) 0 或 f (x) 0，因此在 x0 的左右两边均单调增加或单调减少，故 x0 不可能
25、是 f (x)的极值点。,由前面定理可知，求函数极值的一般步骤为： 求出函数 f (x) 的定义域； 求函数 f (x) 的导数 f (x) ； 求出 f (x) 的所有驻点及导数不存在点 x1, x2, , xn ； 考察 f (x) 在点 xi ( i 1, 2, , n ) 的两侧是否变号， 确定极值点； 判定各极值点是极大值点还是极小值点，写出极大值或极小值。求函数的极值的过程与求函数单调区间的过程基本相同。 所以，单调区间和极值常常一同求出。,通常 列表 说明,令,列表讨论：,-,-,+,非极值,极小值,例18: 求函数 y x4 2x3 1 的单调区间和极值。 解：,定义域为( ,
26、 )，,思考题,求函数 的单调区间与极值。,解：,令 f (x) 0， 得驻点 x1 1 及导数不存在的点 x2 0。 列表讨论:,+,-,+,极小值,极大值 0,不存在,定义域为( , )，,2) 定理3 (判定极值的第二种充分条件): 设函数 f (x) 在点x0 处具有二阶导数, 且 f (x0) 0, f (x0) 0, 则 当 f (x0) 0 时，x0 为函数 f (x) 的极小值点。 证：, 由导数定义及 f (x0) 0 和 f (x0) 0，当 x x0 时 f (x) 0，由定理2可知，x0为函数 f (x) 的极大值点。同理可证 。,f (x) 6x2 18x2 12，令
27、 f (x) 0， 得驻点 x1 1，x2 2 f (x) 12x 18， 由于 f (1) 6 0 ， 所以 f (2) 1 为极小值。,例19: 求函数 f (x) 2x3 9x2 12x 3 的极值。 解：,注意: 当函数 f (x)的二阶导数容易求出，且驻点 x0 处的二阶导数 f (x0) 0 时，则利用定理3判定驻点 x0 是否为极值点比较方便。对于驻点处二阶导数等于零时， 定理3失效，就该利用定理2来判定极值点。因此，定理2比定理3应用更广泛些。,例: 函数 的驻点为 x1 1，,而 x2 0 是导数不存在的点，所以不能用定理3判定。,所以极小值为,且 ， ，,例: 求函数 f
28、(x) x4 的极值。 解：,f (x) 4x3，得驻点 x 0，f (x) 12x2 ，f (0) 0 故定理3失效。 但是: 当 x 0 时，f (x) 0 ， 所以在 x 0 处有极小值 f (0) 0 。,例20: 求函数y = x1/x (x 0) 的极值.,习题三(A)/ 12(1,5,7), 13(2), 17(双),习题中的问题,证明：当 x 0 时，,当 x 0 时，仅个别点的导数为零，而其余各点的导数均大于零， 所以 f (x) 在(0, )内是单调增加的，即,习题中的问题,求函数 的单调区间与极值,定义域为( , )，,-,+,+,不存在,极小值0,-,极大值,极小值0,
29、如果函数 f (x) 在 a, b 上连续, 由闭区间上连续函数的性质可知: f (x) 在a, b上必能取到最大值和最小值。,V 函数的最值,1. 最值: 函数的最大值和最小值统称为最值.,一般来说，函数的最值与极值是不同的.,如果函数 f (x) 在a, b上连续，那么 f (x) 在a, b 上的最大值、最小值可能在 (a, b) 内取得，也可能在区间的两个端点上取得。 如果函数 f (x)的最大值、最小值在(a, b)内取得，则其最大值点及最小值点必定是 f (x) 的极大值点及极小值点。, 求出 f (x)在(a, b)内的所有极值点 x1, x2, xn ； 比较 f (x1),
30、f (x2), , f (xn), f (a), f (b) 的大小，其中最大的为 f (x) 在a, b上的最大值，最小的为最小值。,2. 求 f (x) 在a, b上连续函数的最值的步骤：,例21: 求函数 的区间 1, 4上的最值。 解：,所以最大值 f (1) 1，最小值 f (4) 2,令 f (x) 0，得驻点 x1 1, 导数不存在点 x2 0 , x3 2,注意：下面两种特殊情况。 如果函数 f (x) 在a, b上单调增加，则 f (a)是 f (x) 在a, b上的最小值，f (b) 是 f (x) 在a, b上的最大值；如果函数 f (x) 在a, b上单调减少，则 f
31、(a) 是 f (x) 在a, b上的最大值，f (b) 是 f (x) 在区间a, b 上的最小值。 在实际应用问题中，如果函数 f (x) 在 (a, b) 内可导，且仅有一个驻点 x0，又由实际问题本身可判断，f (x) 的最大（小）值肯定在区间 (a, b) 内取得。那么, 可断定该驻点 x0 处的函数值就是实际问题所要求的最值。,在实际问题中要求最值，首先应该建立函数关系式， 通常称之为数学模型或目标函数。,最优化某个东西意即极大化或极小化该东西的某个方面。 什么是所生产的最能获利的产品尺寸？ 什么是花费最小的油罐形状？ 在用函数来描述我们感兴趣的事物的数学模型中， 我们是通过求得可
32、微函数的最大值和最小值来回答这样的问题的。,来自商业和工业的例子 例22: (制作盒子) 通过从12英寸12英寸的方形马口铁的四角 切去全等的四个小正方形再把四边向上折起制作成一只无盖的方盒子。从四个角要切掉多大的正方形才能使方盒子装得尽可能多？,122x,解：,四个角处的正方形的边长为 x。 盒子的体积就是变量 x 的函数： V (x) x (12 2x)2 x (0, 6) 144 x 48 x2 4 x3 V (x) 144 96x 12x2 12 (12 8x x2) 12 (2 x)(6 x) 令 V (x) 0，得定义域 (0, 6) 内驻点 x 2， 由于驻点唯一，由实际意义可知
33、问题的最大值存在， 所以当切掉的小正方形的边长为 2 英寸时， 所做成的方盒体积最大，最大体积为V (2) 128 英寸3。,x,x,x,x,x,x,122x,12,x,最小值,最小值,体积,最大值,不按比例标记,例23: (高效油罐设计) 你被要求设计一个容量为1升形状如直圆柱的油罐。怎样的尺寸用的材料最少？ 解：,设油罐的底半径为 r，高为h ，如图罐的体积： 如果 r 和 h 都以厘米计，则以厘米3计的体积为: p r 2 h 1000 . 1升 1000厘米3 罐的表面积： S 2p r 2 2p r h 模型 为把表面积表示为单个变量的函数，从约束条件 p r 2h 1000中解出一
34、个变量并代入表面积的表达式。 解出 h 比较容易： ，因此 求解 ，令 S 0 ，得 由于驻点唯一，故 r 5.42，h 2r 10.84 厘米材料最省。,上下端圆盖的面积,圆柱壁侧面积,我们怎样解释“最少的材料”的意思？一种可能性是忽略材料的厚度以及制造中浪费的材料。然后我们在满足约束p r 2 h = 1000 的条件下求使总的表面积尽可能小的 r 和 h 的尺寸。,来自经济学的例子 例24: 某企业每月生产Q（吨）产品的成本为求其最小平均成本。 解：,平均成本函数为,令 ，解得 Q = 300 。 因此 在区间(0, ) 内仅有一个驻点 Q 300 ， 又由实际问题知 有最小值, 则 为
35、最小值， 即该企业月生产300吨产品时，平均成本最低，为36元/吨。,例25: 设某产品的价格函数为P 10 0.2Q（千元/只），成本函数为C(Q) 50 2Q（千元），问当产量和价格分别为多少时, 该产品的利润最大? 并求之. 解：,根据题意，该产品的收益函数为：R(Q) QP Q (10 0.2Q ) 10Q 0.2Q2 则利润函数为：L(Q) R(Q) C(Q) (10Q 0.2Q2) (50 2Q ) 0.2Q2 8Q 50 令 L(Q) 8 0.4Q 0， 解得唯一驻点 Q 20 ， 又因为 L(Q) 0.4 0 所以当 Q 20 时，有最大值 L(20) 30，此时 P 6。 因
36、此，当产量为20（只），价格为6（千元/只）时， 该产品的利润最大，最大利润为30000元。,思考题,1. 现欲围一个面积为60m2 的矩形场地。所用材料的造价其正面是7元/m2，其余三面是3元/m2。 试问场地的长、宽各为多少时，才能使所用材料费用最少?,60m2,设所围矩形场地的正面长为 x m，另一边长为 y m。 则矩形场地的面积为 xy 60，y 60/x， 并设四面围墙的高相同，都为h m。 则四面围墙所使用材料费用为：,解：,令 f (x) 0，得 x1 6, x2 6（舍）,由于驻点唯一，由实际意义可知问题的最小值存在， 因此当正面长为6 m，侧面长为10 m时，所用费用最少。
37、,思考题,2. 圆柱体上底的中心到下底的边沿的距离为 l，问当底半径与高分别为多少时，圆柱体的体积最大？ 解：,如图所示，圆柱体高 h 与底半径 r 满足,圆柱体的体积公式为：,将 r 2 l 2 h2 代入得,求导得 ，令V 0 得 ，,，高为 时，圆柱体的体积最大。,解得 。由于驻点唯一，所以当底半径为,习题三(A)/24(单),在研究函数图形的变化状况时, 知道它的上升和下降规律很有必要,但这还不能完全反映它的变化规律和几何特性。 例如，函数 和 在区间0 , +)上都是单调增加的， 但他们的曲线弯曲的方向不同。y x2 向上弯曲，向下弯曲。为此, 要给出曲线弯曲方向的定义.,VI 曲线
38、的凹向与拐点,1. 定义: 设 f (x)在(a, b)内连续，对任意x1 x2 (a, b)，恒有则称 f (x)在区间(a, b)内上凹(concave, 或称凹)的；如果恒有则称 f (x)在区间(a, b)内下凹(convex, 或称凸)的。,0,0,上凹,下凹,*定义: 如果在某区间内，曲线弧位于其上任一点切线的上方， 则称曲线在这个区间内是上凹（或称凹）的；如果在某区间内，曲线弧位于其上任一点切线的下方， 则称曲线在这个区间内是下凹（或称凸）的。,0,0,上凹,下凹,从上面的图中可以看到， 当曲线上凹(凹)时, 其切线斜率随 x 的增大而变大(tan a 由负变正), 即导数是单调
39、增加的。,从上面的图中可以看到， 当曲线下凹(凸)时, 其切线斜率随 x 的增大而变小(tan a 由正变负), 即导数是单调减少的。,2. 定理: 若在区间(a, b)内 f(x) 0，则曲线 y=f (x) 在区间(a, b)的图形是上凹(凹)的；若在区间(a, b)内 f(x) 0，则曲线 y=f (x) 在区间(a, b)的图形是下凹(凸)的。3. 拐点: 曲线上凹与下凹的分界点称为线的拐点(inflection point)。,拐点处的左右两侧二阶导数必然异号， 因而在拐点处二阶导数等于零或不存在。 反之不然。,例26: 求曲线 y x4 2x3 1 的凹向与拐点。 解：,+,+,-
40、,曲线在区间( , 0) (1, )上凹; 在区间(0, 1)下凹； 曲线的拐点是(0, 1)和(1, 0)。,函数的定义域为( , )，,令 y 0，得 x1 0 ，x2 1 下表说明曲线的凹向与拐点,例27: 求曲线 的凹向与拐点。 解：,+,-,不存在,0,（图）,定义域为( , )，,当 x 2 时，y 不存在。 列表讨论：,曲线在区间( , 2)下凹；在区间(2, )上凹； 拐点是(2, 0)。,思考题,1. 求 y x3 5x2 3x 5 的凹向与拐点。 解：,+,-,0,令 ，得,0,定义域为( , )，,思考题,2. 求 y ln (1 x2)的凹向与拐点。 解：,0,+,-,
41、-,定义域为( , )，,令 y 0，得 x1 1 ，x2 1,例28: 试确定 a, b, c 的值, 使曲线 y ax3 bx2 cx 的拐点为(1, 2),并且该点处的切线斜率为 1。 解：,由已知条件可知：,习题三(A)/20(1,2,6), 21,当函数的定义域和值域都是有限时, 其图形仅局限于一定范围内, 如椭圆。 有些函数的定义域或值域却是无限的, 其图形则远离原点而向无穷远处延伸（如抛物线）； 而有些向无穷远处延伸的曲线，当其上的点无限远离原点时， 该曲线却与某直线（渐近线）无限地靠近，如双曲线。,VII 曲线的渐近线,定义: 曲线上一点 M 沿曲线 y f (x) 无限远离坐
42、标原点时， 如果点 M 与某定直线 L 之间的距离趋于零，则称直线 L 为曲线 y f (x) 的一条渐近线（asymptote）。,一 水平渐近线 如果曲线 y f (x) 的定义域是无穷区间，且有则称直线 y b 为曲线 y f (x) 的水平渐近线。例29: 求曲线 的水平渐近线。 解：,所以 y 0 是水平渐近线。,二 垂直渐近线如果曲线 y f (x) 在点 x a 处间断，且有则称直线 x a 为曲线 y f (x) 的垂直渐近线。例30: 求曲线 的渐近线。 解：,所以直线 y 0 和 x 2 分别为 曲线的水平渐近线和垂直渐近线。,三 斜渐近线如果曲线 y f (x) 满足则称
43、直线 y a x b 为曲线 y f (x) 的斜渐近线。求出渐近线方程中的 a 和 b:得到:,例31: 讨论 y x arctan x 的渐近线。 解：,因为此函数在( , )内连续， 所以没有垂直渐近线。但,故当 x 时，有渐近线 ， 而当 x 时，有渐近线 。,步骤： 求出 f (x) 的定义域，并讨论其奇偶性及周期性； 求 f (x)、驻点及 f (x)不存在的点； 求 f (x)、使 f (x) 0 的点及 f (x)不存在的点； 用由第 步中所得的点，将定义域划分成几个小区间， 列表讨论函数的单调性、极值、凹向与拐点； 确定曲线的渐进线； 适当补充一些点，特别是曲线与坐标轴的交点等； 根据上述结果，用描点法画出函数 f (x)的图形。,VIII 函数图形的描绘,例32: 作函数 y 2x3 9x2 12x 3的图形。 解：定义域为( , )，y 6x2 18x 12 6(x 1)(x 2) 令 y 0，得 x1 1 ，x2 2y 12x 18 6(2x 3)令 y 0，得,
