1、 高等数学 第三章 中值定理与导数的应用 311 第三章 中值定理与导数的应用上章中我们详细地讨论了导数、微分的概念及它们的运算问题。我们知道导数是刻划函数在一点处变化率的数学模型，它反映了函数在一点处的局部变化性态。但在理论和实际应用中，常常需要把握函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系。从这节课开始我们将介绍导数的一些更深刻的性质 函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的关系 。由于这些性质都与自变量区间内部的某个中间值有关，因此被统称为 中值定理 。函数在某区间的整体性质与该区间内部某点处导数之间的这种关系不仅是用微分学解决实际问题的数学模型，而且还完善了微分自
2、身发展的理论基础，正是这一点的重要性，中值定理又称为微分基本定理。本章首先介绍微分学的理论基础中值定理，然后以中值定理为理论基础，以导数为工具，给出一类特殊极限（不定式）的一种简便求法；解决函数近似表达式和近似计算问题；最后进一步应用导数符号分析函数和其曲线变化的各种特征性质。1 中值定理我们知道导数和微分是讨论小增量 y = f(x x) - f( x)的有效工具，自然进而要问：这一工具是否也有助于对宏观增量 f (b) f (a) 的研究？微分中值定理对此做出肯定的回答。 本节里我们将由简到繁的介绍三个定理，它们统称为中值定理。定理 1（Rolle 中值定理） 设函数 满足条件)f 在闭区
3、间 上连续，a, 在开区间（ ）内可微，b ，)(f则至少存在一点 ( )，使得 ,.0)(f我们先从几何角度分析定理的含意：条件(3)说明弦 AB（图 3-2）平行于 轴；条件、表明曲线 是平面x)(xfy上一条以两个同高度的点 、 为端点的连续 图 3-1)(,afA,bfB曲线，是说曲线在 内处处有不平行于 轴的切线；结论是说在开区间 内部必至少有一(b ),(ba点，使得曲线 在该点的切线平行于 轴，从而平行于弦 . 一句话，平面上一条以两个同)fy高度的点为端点的连续曲线处处有不平行于 轴的切线时，其线内至少有一点，其切 线平行于 x 轴。y如何证明 Rolle 中值定理？图 3-1
4、 展示水平切线必出现在曲线弧的最高点或最低点处，即函数的最大值点或最小值点处。这启示给我们一条证明思路，证明函数取得最值的点就是我们要找的点 .证 由 知，函数 必在闭区间 上取得最大值 与最小值 . 则 .)(xfba,Mm情况 I： 若 = ，则函数 在 上是常数，因而 ，这时( )内的任意一Mm)(f 0)xfba,点都可以选作为点 .情况 II： 若 ，由 知， 与 中至少有一个不等于端点处的函数值；不妨设m，则必存在 (a, b)， ，下面往证 . )(aff)()(f由(2)知， 存在，即有 ，因为 f ( ) = M 是 f (x) 在区间a,b上)(f )(li0xfx的最大值
5、，所以 +x a, b，总有 ，即f0xy f (a) = f (b) 0 a 1 2 b x B A 高等数学 第三章 中值定理与导数的应用 322 当 x 0 时， ，由极限的保号性知， ，0)(xff 0)(lim)(0xfffx当 x b 时，Cauchy 中值定理的结论仍成立。 如果取函数 = ，Cauchy 中值定理就变成 Lagrange 中值定理了，所以 Cauchy 中值定理)(xg是 Lagrange 中值定理的推广，Rolle 中值定理是 Lagrange 中值定理的特殊情况（要求 ） ；)(bfaLagrange 中值定理是中值定理的核心定理，故称之为微分学中值定理。C
6、auchy（1789-1857）是 19 世纪法国著名的数学家，其父是一位著名的律 师，与数学家拉格朗日和拉普拉斯都有深交。这两位数学家 对 Cauchy 的成长影响很大。Cauchy 自幼聪颖，先习工科， 20 岁成为工程师。由于身体不好且富有数学才华，在拉普拉斯的 劝说 下转修数学。七年后晋升为数学教授，并Yf (b) y=f (x)f (a)0 g (a) g ( ) g (b) X高等数学 第三章 中值定理与导数的应用 355 晋升为法国科学院院士。他在数学上的最大贡献就是在微 积分中引入了极限的概念。他以物理 为背景，以极限为基础建立了逻辑清晰的分析体系，用清晰的无穷 小以零为极限的
7、变量代替了牛顿、莱布尼自神秘莫测的无穷小，其极限概念的 创立是微积分严格化的关 键，无 论是从逻辑上还是数学思想方法上，都决定性地澄清了微积 分基础中的混乱。是微 积分发 展史上的菁华之一。1821 年 Cauchy 编著的数学名著分析教程，和他另外两本分析教本被 长期作为标 准教科书，其 逻辑体系保持至今，因而Cauchy 被称为近代分析的奠基人。他在分析中的许多见解令人震惊，如有一次法国科学大会上他首次精辟的阐述了分析中被广泛采用，但不一定正确的理论问题 无穷级数的收敛性，年 长的数学家拉普拉斯未等报告结束急返书屋， 对其即将付印的天体力学 中相关问题逐一核查，直到完全符合Cauchy 论
8、述才放心。不仅在分析的许多分支里， Cauchy 在代数学、几何学、数论、力学、物理学、天文学等领域均有卓越的建树，以其命名的定理、准则出现在许多教科书中。他思路敏捷，著作之丰仅次于大数学家欧拉。从 23 岁到 68 岁 逝世的 45 年中，共 发表论文 800 余篇，专著七本，汇总的全集共 27 本，平均每月有两篇大作问世。他有一句名言 “人总是要死的，但他们的业绩永存”。但人无完人。Cauchy 曾怠慢后来的著名数学家阿贝尔和伽罗瓦，不 仅长期积压，甚至丢失他们开创性的论文；他还是虔诚的保皇党，法国大革命时随查理十四流亡八年，浪费了许多学术 研究的机会。应用中值定理可以证明某些等式或不等式
9、的成立，并且在证明中常常需要构造辅助函数。例 2(P99 例 2) 求证 时， .0x1xe证 设 ，则 在区间 满足 lagrange 中值定理的条件。且 ，所以tef)(tf, tef)(， ，)(0又因为 ，所以 .1x1例 3(P100 例 3) 设 ，函数 在 上可微，在( a, b)内可导，证明存在 (a, b)，ba0)(xfba,.ffln)(证 将所求证的等式的右端恒等变形为 . 应设函数 g (x) = lnx，则函数 f (x)，/1)(l)(fbafg ( x)在闭区间a, b上满足 Cauchy 中值定理的全部条件，所以存在 (a, b)，使得，/1)(ln)(fba
10、f即 .ff)(2 洛必达法则为叙述简便起见，以 表示六种极限过程中的任意一种。x若 时函数 与 都是无穷小或都是无穷大，则比式的极限 可能存在也可能x)(fg不存在。我们把这样的极限叫做不定式，并分别简记为 或 。例如证明过的重要极限 00)(limxgf高等数学 第三章 中值定理与导数的应用 366 就是 型不定式。不定式的极限即便是知道存在，也不能用商的极限法则来求。本节将1sinlm0x以中值定理为理论依据、以导数为工具建立一个简便而又有效的求 型、 型未定式极限的方法0LHospital 法则。我们将它叙述为两个定理。下面仅以 xx 0 为例进行叙述和证明。定理 1 如果函数 f (
11、x) 与 g (x) 满足 ， ；0)(li0fx 0lim0、f (x ) 与 g (x) 在 x0 的某去心邻域内可微，并且 ；)(xg （A 为有限值或 ） ， fli0 则 .xgfx)(li)(0分析 如何将函数比的问题转化到其导函数比上去是证明的关键，显然 Cauchy 中值定理可沟通两者之间的关系，为能使用 Cauchy 中值定理，必须先对函数进行改造以符合定理的条件。证 因为在 xx 0 的极限过程中，不涉及函数 与 在 x0 的函数值，所以可以重新定义函)(xfg数值 ，这样这两个函数就在点 x0 处连续了。在 x0 附近任取一点 x，由条件 (2) 知，函)(0gf数 f
12、(x) 和 g (x) 在以 x0 和 x 为端点的闭区间上连续，在以 x0 和 x 为端点的开区间内可导，且 ，0)(xg由 Cauchy 中值定理，得， 介于 与 之间。 )()(0gfxgff 0又因为 ，所以00xx. 对于( )型的不定式，有完全类似的洛必达法则。定理 2 如果函数 f (x) 与 g (x) 满足 ， ；(lim0fx li0、f (x ) 与 g (x) 在 x0 的某去心邻域内可微，并且 ；0)(xg （A 为有限值或 ） ， fli0则 .注 只要将条件(2)进行相应的改动就可以得到其余五种极限过程下的罗必达法则，请自己写出。 法则的作用在于：当计算未定式极限
13、 遇到困难时，可改为计算极限 代替之。例 1(P102 例 1) 求极限 .2tancos1limxx解 首先判定所求是 型不定式，且易验证它满足 LHospital 法则的条件。原式 .21coslisectilitancoslim322 xxxxx 注 在每次使用洛必达法则之前要检查是不是不定式。Agfffx)(limlilim000 Axgffx)(li)(li000(lifx )(limxgf高等数学 第三章 中值定理与导数的应用 377 关键是指数是否大于零例 2(P102 例 2) 求极限 .xx/1arctn2lim解 原式( ) .0例 3(P103 例 3) 计算 . xex
14、cos12li0解 原式( ) ( ) .0exsinlmlim0ex注 当计算未定式极限 仍遇到困难时，还可以改为计算极限 ，即可以重复0lxgf 0limx)(gf使用 LHospital 法则，但每次使用前一定注意验证还是不是不定式。例 4(P103 例 4) 计算 （ ）.axlni解 原式( ) .例 5(P105 例 5) 计算 ， .xablim)1,0(解 原式( ) ，xln1若 时，原式 = 0.1a若 ，存在自然数 ，使得 ，再连续使用 -1 次 LHospital 法则，得nan原式 .2)(llibxax 0)(l1(li xaxb注 例 4 与例 5 表明了当 时的
15、三个正无穷大量：指数函数 、幂函数 、对数函数x的增大速度的相对关系，今后在应用中可作为结论使用。xln例 6(P103 例 6) 求极限 .xxcos1inlim0解 原式 .332snli220 x注 使用 LHospital 法则时应注意简化求导运算，如恒等变形，等价代换等都可简化求导运算。例 7 求极限 .xx30sinarcl解 原式 .注 及时排除非不定因式也可以有效地简化求导运算。另外还有五类常见的不定式： ， ， ， ， ，它们可以通过倒置、通分和化为010是非不定因式21x61lim6li1lim222 xxxx2lilix1高等数学 第三章 中值定理与导数的应用 388 指
16、数函数的复合形式的技巧，而转化为 或 型的不定式，然后使用 LHospital 法则。0例 8(P104 例 7) 求极限 ,( a 0 ).xaxlnim解 原式( ) .0注 此例将 型转化为 型是必要的；若改为 型将不得其解。例 9(P105 例 8) 求极限 .)ln1(li1xx解 原式(-) .21)ln(limn1liln1liml)nlim11 xxxxx例 10(P105 例 9) 求极限 ， .x0i解 原式( ) .0xlnei例 11(P105 例 10) 求极限 .x1li解 原式( ) .0e0注 问个问题：可否在 的极限过程中直接使用洛必达法则？如何处理？ n 洛
17、必达法则只是 存在的充分条件，当 不存在时，并不能说明)(limxgfx)(limxgfx不存在，只是罗必达法则失效。如 P.106,2 就是一个反例。)(limxgf3 泰勒中值定理 导数刻画了函数的瞬时变化率，从而描述了函数局部的变化形态。本节将进一步说明在微分学中值定理的基础上，以导数为工具还可以成功的从整体研究函数的变化状况。一般地说，一个函数总是容易计算它在某些特殊点处的函数值 f (x0)，而在这些特殊点附近的函数值 f (x) 则难以计算。在微分的应用中，我们给出了用一次线性函数计算函数值的近似计算公式.)()(00xfxf这个公式的思想是“以直代曲” ，它计算简单(一次函数)，
18、但精度不高，关键是没给出误差估计，仅知道其误差当 xx 0 时是比(x - x0)高阶的无穷小，显然不能够满足近似计算时对误差的要求。要将“以直代曲”的思想深度推广，就是“以曲代曲” ，但要求近似曲线函数必须计算简单，否则毫无价值。根据这个要求什么样的曲线可以进入我们的视线呢？由于多项式是一种只涉及到加、减、乘三种运算的，也是比较简单的函数，借助于多项式来研究函数的近似问题无疑会给计算带来很大的方便。本节探讨的 Taylor 中值定理提供了用多项式逼近函数的一条途径，并且可以估计误差，从而在理论上和应用中都起着重要的作用。我们现在的问题是 ： 是否存在一个关于 (x - x0) 的 n 次多项
19、式，nnn xaaaxP )()()( 022010 参见例 8参见例 40li1i)(l 10 ax0lnilnx1li高等数学 第三章 中值定理与导数的应用 399 使得 f (x) 与 Pn (x) 仅相差一个比 (x - x0)n 高阶的无穷小，即 . nnxPxf )()(0先分析一下如果存在这样的多项式 Pn (x)，它应是什么样的？关键是确定多项式 Pn (x) 的系数ak .要想让函数 f (x) 与多项式 Pn (x) 近似，首先他们在点 x0 处的值应相等，即 f (x0) = Pn (x0)； 其次由于它们的弯曲程度应尽量一致，这要求在点 x0 附近它们的各级变化率应一致
20、，因而猜想应有. ),21()(0kfknk 因为 ， nnnnn axPaPaaxaxP !(,!3),2,)(,)( 0)010 所以)(xn nnxfxfxf )(!)(!2)() 0)(2000 也就是说，在函数 f (x) 在含 x0 的某开区间内具有直到 n 阶的导数的条件下，f (x)的近似多项式就应形如公式，我们称公式为函数 f (x)的在点 x0 处的泰勒多项式 。显然 ，只要函数 f (x) 在含 x0 的某开区间内具有直到 n 阶的导数，就可以得到其泰勒多项式 Pn (x).现在的问题是： 可以用函数 f (x)的泰勒多项式 Pn (x)来近似表达函数 自己吗？这个问题的
21、)(f等价说法是什么？ 它等价于问，函数与多项式的差是什么？下面的定理表明泰勒多项式 Pn (x)可以用来近似表达函数 ，即它给出了其误差的具体表达。f定理（Taylor 中值定理） 设函数 在含点 的某个开区间 (a, b) 内有直到 阶的导数，f0 1则对任意一点 (a, b)，有x)RPfn， 其中 （ 介于 与 之间）.10)1()!nnxfxx0证 设 , ，显然函数 和 在以 x 和 x0 为),(,ba)(xRn10)n端点的闭区间上可导，且 的导数不为零，再注意到 n)(0，0)(0)1( xRxRnnn由 Cauchy 中值公式，得， （ 介于 与 之间） ；nnx )()(
22、)( 011010 1x0在以 x 和 1 为端点的区间上对函数 和 再用 Cauchy 中值公式，得xn)0， （ 介于 与 之间） ；10)(nR10201)()( nnxR210如此接连使用 Cauchy 中值公式 次，得到， （ 在 与 之间） 。10)(nx!)( x0因为 ，所以 ，代入上式，即得)(1xPn xfR. 10)()!nn )(!)(!20(200 ff nn 高等数学 第三章 中值定理与导数的应用 31010 公式称为 f (x) 按 的幂展开到 n 阶的泰勒公式，公式称为其拉格朗日型余项。)0当然，Taylor 中值定理的作用不仅在于近似计算和估计误差，它具有重要
23、的理论价值。注 n = 0 时，泰勒公式就变成了拉格朗日公式，即泰勒中值定理是拉格朗日中值定理向高阶导数这个深度的推广。 可以证明满足定理条件的多项式 Pn (x)是唯一的（请自证） 。 若降低定理条件为函数 在点 x0 的 阶导数存在，Taylor 公式的 Lagrange 型余项可简化)(f为，称为 Peano 余项，符号 表示当 时， 是比无穷小 更高阶的无穷)(0nx0)(xRnnx)(0小。当不需要对误差进行数值估计时，如理论证明中，用带 Peano 余项的 Taylor 公式无疑是方便的。 当 是有界函数时，用 Lagrange 型余项可以估计误差：)(1fn10)(!)(nnxM
24、xR 最常用到的是 的情形，这时的 Taylor 公式也称为 Maclaurin 公式。带有 Lagrange 型余0项的 Maclaurin 公式是 （ ） 1)1()( !2)(!1)()( nnnxfxffxfxf 10例 1(P108 例 1) 写出 = 的 n 阶麦克劳林公式。xe解 因为 ，xnffff e)()()(1 所以 ， ，00)()( 代入，即得.)10(即可以用多项式近似表达 为 xe误差为 .)!1()!(1nxRn在中令 即可近似计 e： ，误差为 .)!1(3)!(e1nRn当取 n = 9 时，误差 ，此时 .2871.e例 2(P109 例 2) 写出函数 f (x) = sin x 的 n 阶麦克劳林公式。解 f (0) = 0， 又因为 ， )(sikk),(n从而 ， .2sin)(kk),1( 21(si)1( xfn取 n = 2m + 1， 所以 .12153 )!(co)!()!i mmmxxx )10(在上式中分别取 ，正弦函数（参见 P.110 图 3-4）的近似公式和误差分别为：,211 时， ， ；sinxx!)(!2 n !5|!5|)2(sin|)(4 xxxR6|3| 32！0.!39 !R
