1、图形变换旋转综合题1. 如图，在ABC 中，C=90， A=30 ，BC=2，D 是 AB 中点，等腰直角三角板的直角顶点落在点 D 上，使三角板绕点 D 旋转。（1）如图 1，当三角板两边分别交边 AC、BC 于 F、E 时，线段 EF 与 AF、BE 有怎样的关系并加以证明。（2）如图 1,设 AF=x，四边形 CEDF 的面积为 y.求 y 关于 x 的函数关系式，写出自变量 x 的取值范围.（3）在旋转过程中，当三角板一边 DM 经过点 C 时，另一边 DN 交 CB 延长线于点 E,连结 AE 与CD 延长线交于 H,如图 2，求 DH 的长。2. 如图，已知正方形ABCD，将一块等
2、腰直角三角尺的锐角顶点与A重合，并将三角尺绕点旋转，如图1，使它的斜边与BC交于点E，一条直角边与CD交于点F（E、F不与B、D重合） ，AE、AF分别与BD交于P、Q两点.（1）求证：ABPACF，且相似比为1 ； 2（2）请再在图 1 中（不再添线和加注字母）找出两对相似比为 1 的非直角三角形的相似2三角形；（直接写出）（3） ，如图 2 当 M 点旋转到 BC 的垂直平分线 PQ 上 时，连结 ON,若 ON=8,求 MQ 的长。3. 如图，操作：将一把三角尺放在边长为 1 的正方形 ABCD 上，并使它的直角顶点 P 在对角线AC 上滑动，直角的一边始终经过点 B，另一边与边 DC
3、或射线 DC 相交于点 Q。 当点 Q 在边 CD 上时，线段 PQ 与线段 PB 之间有怎样的大小关系？试证明你观察得到的结论； 当点 Q 在边 CD 运动上时，设四边形 PBCQ 的面积为 S 时，试用含有 x 的代数式表示 S： 当点 P 在线段 AC 上滑动时，PCQ 是否可能成为等腰三角形？如果可能，指出所有能使PCQ 成为等腰三角形的点 Q 的位置，并求出相应的 x 的值；如果不可能，试说明理由。4. 在梯形 ABCD 中，ABCD,BCD=90,且 AB=1,BC=2，tanADC=2;对角线相交于 O 点，等腰直角三角板的直角顶点落在梯形的顶点 C 上，使三角板绕点 C 旋转。
4、（1）当三角板旋转到图 1 的位置时，猜想 DE 与 BF 的数量关系，并加以证明。（2）在（1）问条件下，若 BE：CE=1：2，BEC=135,求 sinBFE 的值。（3）当三角板的一边 CF 与梯形对角线 AC 重合时，作 DHPE 于 H,如图 2，若 OF= 时，求65PE 及 DH 的长。5. 等边ABC 边长为 6，P 为 BC 上一点,含 30、60的直角三角板 60角的顶点落在点 P上,使三角板绕 P 点旋转。（1）如图 1，当 P 为 BC 的三等分点,且 PDAB 时,判断EPF 的形状。（2）在（1）问的条件下，FE、PB 的延长线交于点 G, 如图 2，求EGB 的
5、面积。（3）在三角板旋转过程中，若 CF=AE=2,(CFBP)， 如图 3，求 PE 的长。6. 如图， 是边长为 的正方形 的对称中心， 为 上一点， （OaABCDPODPb），连结 ，把一个边长均大于 的直角三角板的直角顶点放置于 点处，让20baAP2a三角板绕 点旋转，旋转时保持三角板的两直角边分别与正方形的 、 边（含端点）相交，BC其交点为 、 .EF（1）在旋转过程中， 的长能否与 的长相等？若能，请作出此时点 的位置，并给出EAPE证明，若不能，请说明理由.（2）探究在旋转过程中，线段 与 长的大小关系，并对你得出的结论给予证明.F（3）探究在旋转过程中,四边形 的面积 是
6、否发生变化？若不变化，求出定值 ；若CSS发生变化，试求出面积 的变化范围（用含 、 的代数式表示）. Sab7. 已知：将一副三角板( Rt ABC 和 Rt DEF)如图摆放，点 E、 A、 D、 B 在一条直线上，且 D 是 AB 的中点。将 Rt DEF 绕点 D 顺时针方向旋转角 (0 90)，在旋转过程中，直线 DE、 AC 相交于点 M，直线 DF、 BC 相交于点 N，分别过点 M、 N 作直线 AB 的垂线，垂足为G、 H。（1）当 30时(如图)，求证： AG=DH；（2）当 60时(如图)，(1)中的结论是否成立？请写出你的结论，并说明理由；（3）当 0 90时，如图，若
7、 AM=2,求 DH 的长。8. 把两个全等的直角三角板 ABC 和 EFG 叠放在一起，使三角板 EFG 的直角顶点 G 与三角板 ABC 的斜边中点 O 重合，其中BF30，斜边 AB 和 EF 长均为 4(1)当 EGAC 于点 K，GFBC 于点 H 时（如图） ，求 GH：GK 的值(2) 现将三角板 EFG 由图所示的位置绕 O 点沿逆时针方向旋转，旋转角 满足条件：030（如图） ，EG 交 AC 于点 K ，GF 交 BC 于点 H，GH：GK 的值是否改变？证明你发现的结论；(3)在下，连接 HK，在上述旋转过程中，设 GH= ，GKH 的面积为 ，求 与 之xyx间的函数关
8、系式，并写出自变量 的取值范围；x（4）三角板 EFG 由图所示的位置绕 O 点逆时针旋转时，090，是否存在某位置使BFG 是等腰三角形，若存在，请直接写出相应的旋转角 ；若不存在，说明理由答案：1. （1）EF 2=AF2+BE2。（2）函数关系式为 y=x，自变量 x 的取值范围为 x .32（3）DH 的长为 。322. （1）略； （2）AQDAEC；APQAFE.（3）MQ=4 。3. 过点 P 作 交 AB 于 E, 过点 P 作 交 BC 于 F EABFCDPE=AE,BE=1-AE,PF=1-PE=1-AE BE=PF 09FQEPBEBPFQ PB=PQ 设 PM=x,B
9、M=1-x, QC=1-x-x=1-2x2112()PBCQSMPFxxA4. （1）当三角板旋转到图 1 的位置时， DE=BF,证明略。（2）sinBFE= 。3（3）PE= ， DH= 。60275. （1）EPF 为等边三角形。（2）EGB 的面积。（3）可证EBP 为等边三角形，PE 的长为 4。6. （1）当 运动到 位置时（点 与 重合）时（以 为圆心，以 为半径画弧得PECECPC与 的另一个交点 ）， = . 证明略BCGAP（2）探究结论:在旋转过程中，线段 .证明略F（3）探究结论:在旋转过程中,四边形 的面积 发生变化.S面积 的取值范围是: S2()(2)4ab224ab7. （1）当 30时，证明 AG= AD； DH= DB.21（2）当 60时，证明AMGDNH；（3）当 0 90时,同样可证明 AG=DH， 可求 DH= 38. (1) ，(2)不变，(3) ( )，1: 23yx1(3)存在，30、90
