1、1几何综合题专项练习一、与三角形有关的几何综合题例 1.如图 1，已知ABC=90，ABE 是等边三角形，点 P 为射线 BC 上任意一点（点 P 与点 B 不重合），连结 AP，将线段 AP 绕点 A 逆时针旋转 60得到线段 AQ，连结 QE 并延长交射线 BC 于点F. （1）如图 2，当 BP=BA 时，EBF= ，猜想QFC= ；（2）如图 1，当点 P 为射线 BC 上任意一点时，猜想QFC 的度数，并加以证明；（3）已知线段 AB= ，设 BP= x，点 Q 到射线 BC 的距离为 y，求 y 关于 x的函数关系式3解:（1） 30 = 60EBFQFC不妨设 BP , 如图 1
2、 所示 BAP=BAE+EAP=60+EAP 3AEAQ= QAP+EAP=60+EAPBAP= EAQ 在ABP 和AEQ 中 AB=AE， BAP=EAQ ， AP=AQABP AEQAEQ=ABP=90BEF 1801809630EQB = 60FCF3(事实上当 BP 时，如图 2 情形，不失一般性结论仍然成立，不分类也可）A(3)在图 1 中，过点 F 作 FG BE 于点 GABE 是等边三角形 BE=AB= ，由（1）得 303EBF在 RtBGF 中， BF=32BE2cos0BEF=2 ABPAEQ QE=BP= x QF=QEEF 2x过点 Q 作 QHBC，垂足为 H在
3、Rt QHF 中， （x 0）sin60()2yQFA即 y 关于 x 的函数关系式是：3yx图 2ABEQPF C图 1ACBEQF PH图1ACBEQF P图2ABEQPF C2二 、与四边形有关的几何综合题例 2、如图所示，（1）正方形 ABCD 及等腰 RtAEF 有公共顶点 A,EAF=90 , 连接 BE、DF.将 Rt0AEF 绕点 A 旋转,在旋转过程中，BE、DF 具有怎样的数量关系和位置关系？结合图(1)给予证明；(2)将（1）中的正方形 ABCD 变为矩形 ABCD，等腰 RtAEF 变为 RtAEF，且 AD=kAB,AF=kAE,其他条件不变.(1)中的结论是否发生变
4、化？结合图(2)说明理由；(3)将（2）中的矩形 ABCD 变为平行四边形 ABCD，将 RtAEF 变为AEF，且BAD=EAF= ，其他条件不变.(2)中的结论是否发生变化？结合图(3)，如果不变，直接写出结论；如果变化，直接用 k 表示出线段 BE、DF 的数量关系，用 表示出直线 BE、DF 形成的锐角 .（1）证明：延长 DF 分别交 AB、BE 于点 P、G.在正方形 ABCD 和等腰直角AEF 中AD=AB,AF=AE,BAD=EAF =90 FAD=EABFADEAB FDA=EBA DF=BEDPA=BPG, ADP+DPA=90EBP+BPG=90 DGB=90DFBE （
5、2）改变. DF=kBE， =180- .证法（一）：延长 DF 交 EB 的延长线于点 HAD=kAB,AF=kAE =k, =k =ABDEFABDEFBAD=EAF = FAD=EAB FADEAB = =k BEDFADF=kBE由FADEAB 得AFD=AEBAFD+AFH=180 AEB+AFH=180四边形 AEHF 的内角和为 360，EAF+EHF=180EAF= ,EHF= + =180 =180-证法（二）：DF=kBE 的证法与证法（一）相同延长 DF 分别交 EB、AB 的延长线于点 H、G.由FADEAB 得ADF=ABEABE=GBHADF=GBH =BHF =G
6、BH+G =ADF+G.3在ADG 中，BAD+ADF+G=180,BAD= + =180 =180-证法（三）：在平行四边形 ABCD 中 ABCD 可得到ABC+C=180EBA+ABC+CBH=180C=EBA+CBH在 BHP、 CDP 中，由三角形内角和等于 180可得C+CDP=CBH+BHPEBA+CBH+CDP=CBH+BHPEBA+CDP=BHP由FADEAB 得ADP=EBAADP+CDP=BHP 即ADC=BHPBAD+ADC=180 ,BAD= ,BHP= + =180 =180 -（有不同解法，参照以上给分点，只要正确均得分.）三 、与圆有关的几何综合题例 3.如图，
7、ABC 是等腰三角形，AB=AC ，以 AC 为直径的 O 与 BC 交于点 D，DEAB，垂足为 E，ED 的延长线与 AC 的延长线交于点 F。（1）求证：DE 是O 的切线；（2）若O 的半径为 2，BE=1，求 cosA 的值.解：（1）证明：连结 AD、ODAC 是直径 ADBC 来源:Z,AB=AC ， D 是 BC 的中点，又O 是 AC 的中点OD/ABDEAB， ODDEDE 是 O 的切线（2）由（ 1）知 OD/AE AEDF ， ，解得 FC=2 ， AF=6BACF142CcosA= 614E四、动态综合题例 4.已知：把 Rt ABC 和 Rt DEF 按如图（1）
8、摆放（点 C 与点 E 重合），点 B、 C（ E）、 F 在同一条直线上 ACB = EDF = 90， DEF = 45， AC = 8 cm， BC = 6 cm， EF = 9 cm如图（2）， DEF 从图（1）的位置出发，以 1 cm/s 的速度沿 CB 向 ABC 匀速移动，在 DEF移动的同时，点 P 从 ABC 的顶点 B 出发，以 2 cm/s 的速度沿 BA 向点 A 匀速移动.当 DEF 的顶点D 移动到 AC 边上时， DEF 停止移动，点 P 也随之停止移动 DE 与 AC 相交于点 Q，连接 PQ，设移4动时间为 t（s）（0 t4.5）解答下列问题：（1）当 t
9、 为何值时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上？（2）连接 PE，设四边形 APEC 的面积为 y（cm 2），求 y 与 t 之间的函数关系式；是否存在某一时刻 t，使面积 y 最小？若存在，求出 y 的最小值；若不存在，说明理由（3）是否存在某一时刻 t，使 P、 Q、 F 三点在同一条直线上？若存在，求出此时 t 的值；若不存在，说明理由（图（3）供同学们做题使用）。24（本小题满分 12 分）解：（1）点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上， AP = AQ. DEF = 45， ACB = 90， DEF ACB EQC = 180， EQC = 45. DEF = EQC. CE
10、= CQ. 由题意知： CE = t， BP =2 t， CQ = t. AQ = 8 t.在 Rt ABC 中，由勾股定理得： AB = 10 cm .则 AP = 102 t.102 t = 8 t.解得： t = 2.答：当 t = 2 s 时，点 A 在线段 PQ 的垂直平分线上. 4 分（2）过 P 作 ，交 BE 于 M，BE .90MADB C F（ E）图（1）ADB C FE图（2）PQAB C图（3）图（2）QADB C FEPM5在 Rt ABC 和 Rt BPM 中， ，sinACPMB . PM = .8210PMt85t BC = 6 cm， CE = t， BE
11、= 6 t. y = S ABC S BPE = = 12BCA12EP16828t5= = .2445tt8435t ，抛物线开口向上.0a当 t = 3 时， y 最小 = .85答：当 t = 3s 时，四边形 APEC 的面积最小，最小面积为 cm2. 8 分845（3）假设存在某一时刻 t，使点 P、 Q、 F 三点在同一条直线上.过 P 作 ，交 AC 于 N，NAC .90B ， PAN BAC. .PAC .10268Nt ， .5Pt5At NQ = AQ AN， NQ = 8 t ( ) = t3t ACB = 90， B、 C（ E）、 F 在同一条直线上， QCF =
12、90， QCF = PNQ. FQC = PQN， QCF QNP . . . PNQFC6359t 0t3t解得： t = 1.CEADB F图（3）P QN6AB CDEFG图9【综合练习】1.如图 9，在平行四边形 ABCD 中，E 为 BC 边上的一点，且 AE 与 DE 分别平分BAD 和ADC。(1)求证：AEDE；(2)设以 AD 为直径的半圆交 AB 于 F，连接 DF 交 AE 于 G，已知CD=5，AE=8，求 值。FGA【解答】7.(本题满分 l0 分)（1）证明略（2）DE=6，AFGAED， 6384FGDEA2如图 1，RtABCRtEDF，ACB =F=90，A=
13、E=30EDF 绕着边 AB 的中点 D 旋转， DE， DF 分别交线段 AC 于点 M，K （1）观察： 如图 2、图 3，当CDF=0 或 60时，AM+CK_MK(填“”，“”或“ 时，连结 CC，设四边形 ACCA 的面积为 S，求 S 关于 t 的函数关系式；53当线段 A C 与射线 BB，有公共点时，求 t 的取值范围(写出答案即可)【解答】GMEKDCABF84.如图，在菱形 ABCD 中，AB=2cm，BAD=60，E 为 CD 边中点，点 P 从点 A 开始沿 AC 方向以每秒cm 的速度运动，同时，点 Q 从点 D 出发沿 DB 方23向以每秒 1cm 的速度运动，当点
14、 P 到达点 C 时，P，Q 同时停止运动，设运动的时间为 x 秒（1）当点 P 在线段 AO 上运动时.请用含 x 的代数式表示 OP 的长度；Q EOA CDBP9若记四边形 PBEQ 的面积为 y，求 y 关于 x 的函数关系式（不要求写出自变量的取值范围）；（2）显然，当 x=0 时，四边形 PBEQ 即梯形 ABED，请问，当 P 在线段 AC 的其他位置时，以P，B，E，Q 为顶点的四边形能否成为梯形？若能，求出所有满足条件的 x 的值；若不能，请说明理由.【解答】24.（本小题满分 12 分）解：（1）由题意得BAO=30，ACBDAB=2 OB=OD=1，OA=OC= 3OP=
15、 2 分32x过点 E 作 EHBD，则 EH 为COD 的中位线 DQ=x BQ=2-x12HOC 13(2)3)(2)BPQEySxxx3 分2134x（2）能成为梯形，分三种情况：当 PQBE 时，PQO=DBE=30 3tan0oOPQ即 x=321x25此时 PB 不平行 QE，x= 时，四边形 PBEQ 为梯形.当 PEBQ 时，P 为 OC 中点AP= ，即3232x 4x此时，BQ=2-x= PE，x= 时，四边形 PEQB 为梯形.534HQ EOA CDBPQH EOA CBDPQHEOA CBDPQH EOA CBDP10当 EQBP 时，QEHBPO HEQOPB312
16、xx=1（x=0 舍去）此时，BQ 不平行于 PE，x=1 时，四边形 PEQB 为梯形. 2 分综上所述，当 x= 或 或 1 时，以 P，B，E，Q 为顶点的四边形是梯形.1 分 25345.如图，将一张矩形纸片对折，然后沿虚线剪切，得到两个（不等边）三角形纸片ABC，A1B1C1 1 将ABC，A 1B1C1 如图摆放，使点 A1 与 B 重合，点 B1 在 AC 边的延长线上，连接 CC1交 BB1 于点 E求证：B 1C1CB 1BC 2 若将ABC，A 1B1C1 如图摆放，使点 B1 与 B 重合，点 A1 在 AC 边的延长线上，连接CC1 交 A1B 于点 F试判断 A1C1
17、C 与A 1BC 是否相等，并说明理由 AB(A1)CB1C1图 EA1C1C AB(B1)图 FA1B1C1ABC（图） 113 写出问题2中与A 1FC 相似的三角形 【解答】24（本小题满分 11 分） （1 ）证明：由题意，知ABCA 1B1C1， AB= A1B1，BC 1=AC，2=7，A=1 3 =A= 1 1 分 BC1AC 四边形 ABC1C 是平行四边形 2 分 AB CC1 4 =7= 2 3 分 5 =6 ， B 1C1CB 1BC 4 分2 A 1C1C =A 1BC 5 分理由如下：由题意，知ABCA 1B1C1， AB= A1B1，BC 1=BC，1= 8，A=2 3 =A，4= 7 6 分 1 FBC= 8FBC， C 1BC A1BA 7 分 4= 2(180C 1BC)，A= 2(180A 1BA) 4 =A 8 分 4 =2 5 =6 ， A 1C1C=A 1BC9 分3 C 1FB，10 分； A 1C1B，ACB11 分写对一个不得分）AB(A1)CB1C1图 E14325 6 7A1C1C AB(B1)图 F3645127 8
