1、- 1 -专题五 函数型综合题【简要分析】中考中的函数综合题，聊了灵活考查相关的基础知识外，还特别注重考查分析转化能力、数形结合思想的运用能力以及探究能力此类综合题，不仅综合了函数及其图象一章的基本知识，还涉及方程（组）、不等式（组）及几何的许多知识点，是中考命题的热点善于根据数形结合的特点，将函数问题、几何问题转化为方程（或不等式）问题，往往是解题的关键【典型考题例析】 例 1：如图 2-4-20，二次函数的图象与 轴交于 A、B 两x点，与 轴交于点 C，点 C、D 是二次函数图象上的一对对y称点，一次函数的图象过点 B、D （1）求 D 点的坐标（2）求一次函数的解析式（3）根据图象写出
2、使一次函数值大于二次函数的值的 的取值范围x（2005 年贵州省贵阳市中考题）分析与解答 （1）由图 2-4-20 可得 C（0，3）抛物线是轴对称图形，且抛物线与 轴的两个交点为xA（3，0）、B（1，0），抛物线的对称轴为 ，D 点的坐标为（2，3）1x（2）设一次函数的解析式为 ，ykxb将点 D（2，3）、B（1，0）代入解析式，可得，解得 kb1,k一次函数的解析式为 yx（3）当 时，一次函数的值大于二次函数的值21x或说明：本例是一道纯函数知识的综合题，主要考查了二次函的对称性、对称点坐标的求法、一次函数解析式的求法以及数形结合思想的运用等例 2 如图 2-4-21，二次函数 的
3、图2(0)yaxbc象与 轴交于 A、B 两点，其中 A 点坐标为（1，0），x图 2-4-203yx321-3-2-1OCBANMDCBAO图 2-4-21yx- 2 -点 C（0，5）、D（1，8）在抛物线上，M 为抛物线的顶点（1）求抛物线的解析式（2）求MCB 的面积（2005 年吉林省中考题）分析与解答 第（1）问，已知抛物线上三个点的坐标，利用待定系数法可求出其解析式第（20 问，MCB 不是一个特殊三角形，我们可利用面积分割的方法转化成特殊的面积求解（1）设抛物线的解析式为 ，根据题意，得 ，解之，得2yaxbc058abc45abc所求抛物线的解析式为 245yx（2）C 点的
4、坐标为（0，5）OC=5令 ，则 ，解得0y2450x1,xB 点坐标为（5，0）OB=5 ，顶点 M 坐标为（2，9）2245()9yxx过点 M 用 MNAB 于点 N，则 ON=2，MN=911(59)(2)52CBBMOBCOCSS梯 形说明：以面积为纽带，以函数图象为背景，结合常见的平面几何图形而产生的函数图象与图形面积相结合型综合题是中考命题的热点解决这类问题的关键是把相关线段的长与恰当的点的坐标联系起来，必要时要会灵活将待求图形的面积进行分割，转化为特殊几何图形的面积求解例 3 ：已知抛物线 与 轴交于 、 ，与 轴交2(4)2yxmx1(,0)Ax2(,)By于点 C，且 、
5、满足条件1x2122,0- 3 -（1）求抛物线的角析式；（2）能否找到直线 与抛物线交于 P、Q 两点，使 轴恰好平分CPQ 的面ykxby积？求出 、 所满足的条件 （2005 年湖南省娄底市中考题）kb分析与解答 （1）= ，22(4)()30mm对一切实数 ，抛物线与 轴恒有两个交点，x由根与系数的关系得 ， 1212(4)x由已知有 ，得 由得120x212,8.mx化简，得 (28)4(4)m940解得 ，满足 当 时，12112,7.,mx当 时 12x27，不满足 ，抛物线的解析式为 126,3x12 8y（2）如图 2-4-22，设存在直线 与抛物线交于点 P、Q ，使 轴平
6、分CPQykxby的面积，设点 P 的横坐标为 ，直线与 轴交于点 EQx ，1122CEQPQSECx ，由 轴平分CPQ 的面积得点 P、Q 在Pxy轴的两侧，即 ， ，由yPQx0PQx得 28kxb2()8kb又 、 是方程 的两根，PxQ2()0x ， ()0kk又直线与抛物线有两个交点，QCPEyO图 2-4-21x- 4 -当 时，直线 与抛物线的交点 P、 Q，使 轴能平分CPQ 的28kb且 ykxby面积故 ()yx说明 本题是一道方程与函数、几何相结合的综合题，这类题主要是以函数为主线解题时要注意运用数形结合思想，将图象信息与方程的代信息相互转化例如：二次函数与 轴有交点
7、可转化为一元二次旗号有实数根，并且其交点的横坐标就是相应一x元二次方程的解点在函数图象上，点的坐标就满足该函数解析式等例 4 已知：如图 2-4-23，抛物线 经过原点2yaxbc（0，0）和 A（1，5）（1）求抛物线的解析式（2）设抛物线与 轴的另一个交点为 C以 OC 为直径x作M，如果过抛物线上一点 P 作M 的切线 PD，切点为D，且与 轴的正半轴交于点为 E，连结 MD已知点 E 的坐y标为（0， ），求四边形 EOMD 的面积（用含 的代数mm式表示）（3）延长 DM 交M 于点 N，连结 ON、OD，当点 P 在（2）的条件下运动到什么位置时，能使得 ？请求出此时点 P 的坐标
8、DOES四 边 形（2005 年广西壮族自治区桂林市中考题）分析与解答 （1）抛物线过 O(0，0)、A（1，3）、B（1，5）三点， ，解得 ，抛物线的解析式为 c=0a+b-3540abc24yx（2）抛物线 与 轴的另一个交点坐标为 C（4，0），连结 EM2yxM 的半径是 2，即 OM=DM=2ED、EO 都是的切线，EO=EDEOMEDM 1222OMEEDSSEmA四 边 形ADEPNMyO图 2-4-21x- 5 -（3）设 D 点的坐标为（ ， ），0xy则 0122OMEESS四 边 形当 时，即 ， ，故 ED 轴，DN四 边 形 my0x又ED 为切线，D 点的坐标为（
9、2，3），点 P 在直线 ED 上，故设点 P 的坐标为（ ，2），x又 P 在抛物线上， 4x16, 或 为所求. (26,)(26,)【提高训练】 1已知抛物线的解析式为 ，（1）求证：此抛物线与 轴必2()yxmxx有两个不同的交点（2）若此抛物线与直线 的一个交点在 轴上，求34yy的值（2005 年江苏省盐城市中考题）m- 6 -2如图 2-4-24，已知反比例函数 的图象与一次函数 的图象相交于12yx4ykxP、Q 两点，并且 P 点的纵坐标是 6（1）求这个一次函数的解析式（2）求POQ的面积（2005 年江海南省中考题）3在以 O 这原点的平面直角坐标系中，抛物线 与 轴交于
10、点2(0)yaxbcyC（0，3）与 轴正半轴交于 A、B 两点（B 点在 A 点的右侧），抛物线的对称轴是x，且 （1）求此抛物线的解析式（2）设抛物线的顶点为 D，求四2x3ACS边形 ADBC 的面积 （2005 年湖北省仙桃市中考题）图2-4-24xyQ OPA- 7 -OABC 是一张平放在直角坐标系中的矩形纸片，O 为原点，点 A 在 轴上，点 C 在x轴上，OA=10，OC=6（1）如图 2-4-25，在 AB 上取一点 M，使得CBM 沿 CMy翻折后，点 B 落在 轴上，记作 B点，求所 B点的坐标（2）求折痕 CM 所在直x线的解析式（3）作 BGAB 交 CM 于点 G，
11、若抛物线 过点 G，求抛物216yxm线的解析式，交判断以原点 O 为圆心，OG 为半径的圆与抛物线除交点 G 外，是否还有交点？若有，请直接写出交点的坐标 （2005 年广西壮族自治区南宁市中考题）5如图 2-4-26，在 RtABC 中，ACB=90 0， ，以斜边 AB 所在直线为 轴，以BCAx斜边 AB 上的高所在的直线为 轴，建立直角坐标系，若 ，且线段y217OBOA、OB 的长是关于 的一元二次方程 的两根（1）求点 C 的x2(3)0xm坐标（2）以斜边 AB 为直径作圆与 轴交于另一点 E，求过 A、B、E 三点的抛物线的解析式，并画出此抛物线的草图（3）在抛物线的解析式上
12、是否存在点 P，使ABP和ABC 全等？若相聚在，求出符合条件的 P 点的坐标；若不存在，请说明理由图2-4-25CyxBMG BAOfx = 2x- 8 -（2005 年陕西省中考题）【答案】 1（1） ，抛物线与 轴必有两个不同的交点2(1)4()10mx（2） 或 552（1） （2） yx6POQSE图2-4-25CyBA Of x = 2x- 9 -3（1） （2） 4（1）B（8，0）；（2）243yxADCS四 边 形（3）抛物线方程为 除了交点 G 外，另有交点为点 G 关于6263yx轴的对称点，其坐标为（8， ）y105（1）C（0，2）（2） 23x（3）存在，其坐标为（0，2）和（3，-2）
