1、中考二次函数综合题 复习（含答案）一、二次函数与面积面积的求法：公式法：S=1/2*底*高 分割法/ 拼凑法1、如何表示各图中阴影部分的面积？ 2、抛物线 与 轴交与 A、B（点 A 在 B 右侧） ，与 轴交与点 C， D 为抛物线的顶32xy y点，连接 BD，CD，（1）求四边形 BOCD 的面积.（2）求BCD 的面积. 3、已知抛物线 与 轴交与 A、C 两点，与 轴交与点 B，421xy y（1）求抛物线的顶点 M 的坐标和对称轴；（2）求四边形 ABMC 的面积.xyOMENA图五O xyDC图四xyODCEB图六PxyOA B图三xyOA BD图二ExyOA BC图一4、已二次
2、函数 与 轴交于 A、B 两点（A 在 B 的左边） ，与 y 轴交于点 C，顶点为 P.32xy（1）结合图形，提出几个面积问题，并思考解法；（2）求 A、B、C、P 的坐标，并求出一个刚刚提出的图形面积；（3）在抛物线上（除点 C 外） ，是否存在点 N，使得 ,ABCNS若存在，请写出点 N 的坐标；若不存在，请说明理由。变式一：在抛物线的对称轴上是否存点 N，使得 ，若存在直接写出 N 的坐标；若不存ABCNS在，请说明理由.变式二：在双曲线 上是否存在点 N，使得 ，若存在直接写出 N 的坐标；若不存3yxABCNS在，请说明理由.5、抛物线 与 轴交与A 、B（点A在B 右侧） ，
3、与 轴交与点C，若点E为第二象限抛32xy y物线上一动点， 点E运动到什么位置时，EBC的面积最大 ,并求出此时点E的坐标和EBC 的最大面积CPxOA ByA xyBOC变式一图A xyOBC变式二图【模拟题训练】1 （2015三亚三模）如图，直线 y= x+2 与 x 轴交于点 B，与 y 轴交于点 C，已知二次函数的图象经过点 B、C 和点 A（1， 0） （1）求 B、C 两点坐标；（2）求该二次函数的关系式；（3）若抛物线的对称轴与 x 轴的交点为点 D，则在抛物线的对称轴上是否存在点 P，使PCD 是以CD 为腰的等腰三角形？如果存在，直接写出 P 点的坐标；如果不存在，请说明理
4、由；（4）点 E 是线段 BC 上的一个动点，过点 E 作 x 轴的垂线与抛物线相交于点 F，当点 E 运动到什么位置时，四边形 CDBF 的面积最大？求出四边形 CDBF 的最大面积及此时 E 点的坐标二、二次函数与相似【相似知识梳理】二次函数为背景即在平面直角坐标系中，通常是用待定系数法求二次函数的解析式，在求点的坐标过程中需要用到相似三角形的一些性质，如何利用条件找到合适相似三角形是需要重点突破的难点。其实破解难点以后不难发现，若是直角三角形相似无非是如图 1-1 的几种基本型。若是非直角三角形有如图 1-2 的几种基本型。利用几何定理和性质或者代数方法建议方程求解都是常用的方法。【例题
5、点拨】【例 1】如图 1-3，二次函数 的图像与 轴相交于点 A、B ，与 轴相交于点 C，经过2bxayxy点 A 的直线 与 轴相交于点 D，与直线 BC 垂直于点 E，已知 AB=3，求这个二次函数的解2kxy析式。【例 2】如图 1-4，直角坐标平面内，二次函数图象的顶点坐标为 C ，且在 轴上截得的线段3,4xAB 的长为 6.（1）求二次函数解析式；（2）在 轴上方的抛物线上，是否存在点 D，使得以 A、B 、D 三点为顶点的三角形与ABC 相似？x若存在，求出点 D 的坐标，若不存在，请说明理由。YXED2D1HCBAO【例 3】如图 1-6，在平面直角坐标系中，二次函数 -的图
6、像经过点 A（4,0） ，cbxy241C（0,2） 。（1）试求这个二次函数的解析式，并判断点 B（-2,0）是否在该函数的图像上；（2）设所求函数图像的对称轴与 轴交于点 D，点 E 在对称轴上，若以点 C、D、E 为顶点的三角形x与ABC 相似，试求点 E 的坐标。图1-3BEADOCxy图1-6CA1Oyx【模拟题训练】2 （2015崇明县一模）如图，已知抛物线 y= x2+bx+c 经过直线 y= +1 与坐标轴的两个交点A、B，点 C 为抛物线上的一点，且ABC=90（1）求抛物线的解析式；（2）求点 C 坐标；（3）直线 y= x+1 上是否存在点 P，使得 BCP 与 OAB
7、相似？若存在，请直接写出 P 点的坐标；若不存在，请说明理由三、二次函数与垂直【方法总结】应用勾股定理证明或利用垂直 三垂直模型【例 1】：如图，直线 l 过等腰直角三角形 ABC 顶点 B，A 、C 两点到直线 l 的距离分别是 2 和 3，则AB 的长是（ ）【例 2】：在平面直角坐标系中，抛物线 y=ax2+bx+c 与 x 轴的两个交点分别为 A（-3 ，0） 、B （1，0） ，过顶点 C 作 CHx 轴于点 H.（1）直接填写：a= ，b= ，顶点 C 的坐标为 ；（2）在 y 轴上是否存在点 D，使得ACD 是以 AC 为斜边的直角三角形？若存在，求出点 D 的坐标；若不存在，说
8、明理由；(图26图)y xOCBA【例 3】 、如图，已知抛物线 y=x2+bx-3a 过点 A（1,0） ，B(0,-3), 与 x 轴交于另一点 C.（1）求抛物线的解析式；（2）若在第三象限的抛物线上存在点 P，使PBC 为以点 B 为直角顶点的直角三角形，求点 P 的坐标；（3）在（2）的条件下，在抛物线上是否存在一点 Q，使以 P,Q,B,C为顶点的四边形为直角梯形？若存在，请求出点 Q 的坐标；若不存在，请说明理由.【模拟题训练】3 （2015普陀区一模）如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 A（m ，0）和点 B（0，2m） （m0） ，点 C 在 x 轴上（不与点 A 重合）
9、（1）当BOC 与AOB 相似时，请直接写出点 C 的坐标（用 m 表示）（2）当BOC 与AOB 全等时，二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过 A、B 、C 三点，求 m 的值，并求点 C 的坐标（3）P 是（2）的二次函数图象上的一点， APC=90，求点 P 的坐标及ACP 的度数4如图，已知抛物线 y=x21 的顶点坐标为 M，与 x 轴交于 A、B 两点（1）判断MAB 的形状，并说明理由；（2）过原点的任意直线（不与 y 轴重合）交抛物线于 C、D 两点，连接 MC、MD，试判断 MC、MD是否垂直，并说明理由四、二次函数与线段题目类型：求解线段长度（定值，最值）：充分利用勾
10、股定理、全等、相似、特殊角（30，45，60，90，120等） 、特殊三角形（等腰、等腰直角、等边） 、特殊线（中位线、中垂线、角平分线、弦等） 、对称、函数（一次函数、反比例函数、二次函数等）等知识。判断线段长度关系：a=b, a=2b, a+b=c, a+b=2c, a 2+b2=c2 , a*b=c2【模拟题训练】5 （2015山西模拟）如图 1，P（m，n）是抛物线 y= x21 上任意一点，l 是过点（0，2）且与 x轴平行的直线，过点 P 作直线 PHl，垂足为 H【特例探究】（1）填空，当 m=0 时，OP= _ ，PH= _ ；当 m=4 时，OP= _ ，PH= _ 【猜想验
11、证】（2）对任意 m，n，猜想 OP 与 PH 大小关系，并证明你的猜想【拓展应用】（3）如图 2，如果图 1 中的抛物线 y= x21 变成 y=x24x+3，直线 l 变成 y=m（m1） 已知抛物线 y=x24x+3 的顶点为 M，交 x 轴于 A、B 两点，且 B 点坐标为（3，0） ，N 是对称轴上的一点，直线 y=m（m1）与对称轴于点 C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线 y=m 的距离等于该点到点 N 的距离用含 m 的代数式表示 MC、MN 及 GN 的长，并写出相应的解答过程；求 m 的值及点 N 的坐标五、二次函数与角度结题方法总结角度相等的利用和证明：直接计算 平行
12、线 等腰三角形 全等、相似三角形 角平分线性质 倒角（1=3，2=31= 2）【构造三垂直模型法】例 1：如图，在平面直角坐标系 xOy 中，点 P 为抛物线 上一动点，点 A的坐标为（4，2） ，若AOP=45，则点 P 的坐标为( )【直接计算】例 2.如图，抛物线 与 x 轴交于A，B 两点，与 y 轴交于点 C，点 D 是抛物线的对称轴 与 x 轴的交点，点 P 是抛物线上一点，且DCP=30，则符合题意的点 P 的坐标为( )【与几何图形结合】例 4、二次函数 32xy的图象与x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 的左侧） ，与 y 轴交于 C 点，在二次函数的图象上是否存在点
13、 P，使得PAC 为锐角？若存在，请你求出 P 点的横坐标取值范围；若不存在，请你说明理由。【利用相似】例 3、已知抛物线2yaxbc的图象与 x轴交于 A、 B两点（点 A在点 B的左边） ，与 轴交于点 C（0，3） ，过点 C作 x轴的平行线与抛物线交于点 D，抛物线的顶点为 M，直线 5y经过 D、 M两点.（1）求此抛物线的解析式；（2）连接 、 、 C，试比较 AB和 的大小，并说明你的理由.【模拟题训练】6 （2015松江区一模）已知在平面直角坐标系 xOy 中，二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点（1，3）和点（1，5） ；（1）求这个二次函数的解析式；（2）将这个二次函数
14、的图象向上平移，交 y 轴于点 C，其纵坐标为 m，请用 m 的代数式表示平移后函数图象顶点 M 的坐标；（3）在第（2）小题的条件下，如果点 P 的坐标为（2，3） ，CM 平分PCO，求 m 的值六、二次函数与平行四边形解题方法总结：平行线的性质（同位角，内错角，同旁内角） 比较一次函数 k 值 平行四边形的性质 注意多解性【模拟题训练】7如图，抛物线 y=x2+bx3 与 x 轴交于 A、B 两点（点 A 在点 B 左侧） ，直线 l 与抛物线交于A、C 亮点，其中 C 的横坐标为 2（1）求 A、C 两点的坐标及直线 AC 的函数解析式；（2）P 是线段 AC 上的一个动点，过点 P
15、作 y 轴的平行线交抛物线于点 E，求 ACE 面积的最大值；（3）点 G 是抛物线上的动点，在 x 轴上是否存在点 F，使以 A、C、F、G 四个点为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件的点 F 的坐标；若不存在，请说明理由七、二次函数与图形转换常见图像变换：平移（上加下减，左加右减）轴对称（折叠）【模拟题训练】8 （2014西城区一模）抛物线 y=x2kx3 与 x 轴交于点 A，B，与 y 轴交于点 C，其中点 B 的坐标为（1+k，0） （1）求抛物线对应的函数表达式；（2）将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移，使其顶点 M 落在线段 BC 上，记该抛物线为 G，求抛物线
16、 G 所对应的函数表达式；（3）将线段 BC 平移得到线段 BC（B 的对应点为 B，C 的对应点为 C） ，使其经过（2）中所得抛物线 G 的顶点 M，且与抛物线 G 另有一个交点 N，求点 B到直线 OC的距离 h 的取值范围模拟训练题参考答案1 考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）分别令解析式 y= x+2 中 x=0 和 y=0，求出点 B、点 C 的坐标；（2）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c，将点 A、B 、C 的坐标代入解析式，求出 a、b、c 的值，进而求得解析式；（3）由（2）的解析式求出顶点坐标，再由勾股定理求出 CD 的值，再以点 C 为圆心，CD
17、 为半径作弧交对称轴于 P1，以点 D 为圆心 CD 为半径作圆交对称轴于点 P2，P 3，作 CE 垂直于对称轴与点 E，由等腰三角形的性质及勾股定理就可以求出结论；（4）设出 E 点的坐标为（a ， a+2） ，就可以表示出 F 的坐标，由四边形 CDBF 的面积=S BCD+SCEF+SBEF 求出 S 与 a 的关系式，由二次函数的性质就可以求出结论解答： 解：（1）令 x=0，可得 y=2，令 y=0，可得 x=4，即点 B（4，0） ，C（0，2） ；（2）设二次函数的解析式为 y=ax2+bx+c，将点 A、B、C 的坐标代入解析式得，解得： ，即该二次函数的关系式为 y= x2
18、+ x+2；（3）y= x2+ x+2，y= （x ） 2+ ，抛物线的对称轴是 x= OD= C（0，2） ，OC=2在 RtOCD 中，由勾股定理，得CD= CDP 是以 CD 为腰的等腰三角形，CP1=DP2=DP3=CD如图 1 所示，作 CHx 对称轴于 H，HP1=HD=2，DP1=4P1（ ，4） ，P 2（ ， ） ，P 3（ ， ） ；（4）当 y=0 时，0= x2+ x+2x1=1，x 2=4，B（4，0） 直线 BC 的解析式为：y= x+2如图 2，过点 C 作 CMEF 于 M，设 E（a， a+2） ，F（a ， a2+ a+2） ，EF= a2+ a+2（ a+
19、2）= a2+2a（0 x4） S 四边形 CDBF=SBCD+SCEF+SBEF= BDOC+ EFCM+ EFBN，= + a（ a2+2a）+ （4a） （ a2+2a） ，=a 2+4a+ （0x 4） =（a2） 2+a=2 时 ，S 四边形 CDBF 的面积最大 = ，E（ 2，1） 点评： 本题考查了二次函数的综合运用，涉及了待定系数法求二次函数的解析式的运用，勾股定理的运用，等腰三角形的性质的运用，四边形的面积的运用，解答时求出函数的解析式是关键2考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）根据直线的解析式求得 A、B 的坐标，然后根据待定系数法即可求得抛物线的解析式；（
20、2）作 CDx 轴于 D，根据题意求得 OAB=CBD，然后求得AOBBDC，根据相似三角形对应边成比例求得 CD=2BD，从而设 BD=m，则 C（2+m ，2m ） ，代入抛物线的解析式即可求得；（3）分两种情况分别讨论即可求得解答： 解：（1）把 x=0 代入 y= x+1 得，y=1，A（ 0， 1） ，把 y=0 代入 y= x+1 得，x=2，B（2，0） ，把 A（0，1） ，B（2，0）代入 y= x2+bx+c 得， ，解得 ，抛物线的解析式 y= x2 x+1，（2）如图，作 CDx 轴于 D，ABC=90，ABO+CBD=90，OAB=CBD，AOB=BDC，AOBBDC
21、， = =2，CD=2BD，设 BD=m，C（2+m，2m） ，代入 y= x2 x+1 得，2m= （m+2） 2 （m+2 ）+1 ，解得， m=2 或 m=0（舍去） ，C（4，4） ；（3）OA=1 ，OB=2，AB= ，B（2，0） ，C（4，4） ，BC=2 ，当AOB PBC 时，则 = = ，解得，PB= ，作 PEx 轴于 E，则AOB PEB， = ，即 = ，PE=1，P 的纵坐标为1，代入 y= x+1 得，x=0 或 x=4，P（ 0，1）或（4，1） ；当AOB CBP 时，则 = ，即 = ，解得，PB=4 ，作 PEx 轴于 E，则AOB PEB， = ，即 =
22、 ，PE=4，P 的纵坐标为4，代入 y= x+1 得，x=6 或 x=10，P（ 6，4）或（10，4） ；综上，P 的坐标为（0，1）或（4，1）或（6，4）或 （10，4） 点评： 本题是二次函数和一次函数的综合题，考查了待定系数法、三角形相似的判定和性质，数形结合运用是解题的关键3考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）分类讨论：BOCBOA，BOC AOB，根据相似三角形的性质，可得答案；（2）根据全等三角形的性质，可得 C 点坐标，根据待定系数法，可得函数解析式；（3）根据相似三角形的性质，可得关于 a 的方程，根据解方程，可得 a 的值可得 p 点坐标，分类讨论：当点
23、P 的坐标为（ ，1）时，根据正弦函数据，可得COP 的度数，根据等腰三角形得到性质，可得答案； 当点 P 的坐标为（ ，1）时，根据正弦函数据，可得AOP 的度数，根据三角形外角的性质，可得答案解答： 解：（1）点 C 的坐标为（m，0）或（4m，0） 或（4m，0） ；（2）当BOC 与AOB 全等时，点 C 的坐标为（m，0） ，二次函数 y=x 2+bx+c 的图象经过 A、B 、C 三点，解得 二次函数解析式为 y=x 2+4，点 C 的坐标为（2，0） ；（3）作 PHAC 于 H，设点 P 的坐标为（a ，a 2+4） ，AHP=PHC=90，APH=PCH=90 CPH，APH
24、PCH， = ，即 PH2=AHCH，（a 2+4） 2=（a+2） （2a） 解得 a= ，或 a= ，即 P（ ，1）或（ ，1） ，如图：当点 P1 的坐标为（ ，1）时，OP1=2=OC，sin P1OE= = COP=30， ACP=75当点 P 的坐标为（ ，1）时， sinP2OF= ，P 2OF=30由三角形外角的性质，得P 2OF=2ACP，即ACP=15点评： 本题考查了二次函数综合题， （1）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键；（2）利用全等三角形的性质，解三元一次方程组；（3）利用了相似三角形的性质，分类讨论是解题关键，正弦函数及等腰三角形的性质，三角形外角的性
25、质4考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）由抛物线的解析式可知 OA=OB=OM=1，得出AMO=MAO=BMO= MBO=45从而得出MAB 是等腰直角三角形（2）分别过 C 点，D 点作 y 轴的平行线，交 x 轴于 E、F，过 M 点作 x 轴的平行线交 EC 于 G，交DF 于 H，设 D（m，m 21） ，C（n，n 21） ，通过 EGDH，得出 = ，从而求得 m、n 的关系，根据 m、n 的关系，得出CGMMHD，利用对应角相等得出CMG+ DMH=90，即可求得结论解答： 解：（1）MAB 是等腰直角三角形理由如下：由抛物线的解析式为：y=x 21 可知 A（1，
26、0） ，B （1，0） ，OA=OB=OM=1，AMO=MAO=BMO=MBO=45，AMB=AMO+BMO=90，AM=BM ，MAB 是等腰直角三角形（2）MC MD理由如下：分别过 C 点，D 点作 y 轴的平行线，交 x 轴于 E、F，过 M 点作 x 轴的平行线交 EC 于 G，交 DF 于H，设 D（m，m 21） ，C（n，n 21） ，OE=n，CE=1n 2，OF=m，DF=m 21，OM=1，CG=n2，DH=m 2，EGDH， = ，即 = ，解得 m= ， = =n， = = =n， = ，CGM=MHD=90，CGMMHD，CMG=MDH，MDH+DMH=90CMG+
27、DMH=90，CMD=90，即 MCMD5 （2015山西模拟）如图 1，P（m，n）是抛物线 y= x21 上任意一点，l 是过点（0，2）且与 x 轴平行的直线，过点 P 作直线 PHl，垂足为 H【特例探究】（1）填空，当 m=0 时，OP= 1 ，PH= 1 ；当 m=4 时，OP= 5 ，PH= 5 【猜想验证】（2）对任意 m，n，猜想 OP 与 PH 大小关系，并证明你的猜想【拓展应用】（3）如图 2，如果图 1 中的抛物线 y= x21 变成 y=x24x+3，直线 l 变成 y=m（m1） 已知抛物线y=x24x+3 的顶点为 M，交 x 轴于 A、B 两点，且 B 点坐标为
28、（ 3，0） ，N 是对称轴上的一点，直线y=m（m1）与对称轴于点 C，若对于抛物线上每一点都有：该点到直线 y=m 的距离等于该点到点 N 的距离用含 m 的代数式表示 MC、MN 及 GN 的长，并写出相应的解答过程；求 m 的值及点 N 的坐标考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）根据勾股定理，可得 OP 的长，根据点到直线的距离，可得可得 PH 的长；（2）根据图象上的点满足函数解析式，可得点的坐标，根据勾股定理，可得 PO 的长，根据点到直线的距离，可得 PH 的长；（3）根据该点到直线 y=m 的距离等于该点到点 N 的距离，可得 CM=MN，根据线段的和差，可得GN
29、 的长；对于抛物线上每一点都有：该点到直线 y=m 的距离等于该点到点 N 的距离，可得方程，根据解方程，可得 m 的值，再根据线段的和差，可得 GN 的长解答： 解：（1）当 m=0 时，P（0，1） ，OP=1，PH= 1（2）=1；当 m=4 时，y=3，P（4，3） ，OP= =5，PH=3（2）=3+2=5，故答案为：1，1，5，5；（2）猜想：OP=PH，证明：PH 交 x 轴与点 Q，P 在 y= x21 上，设 P（m， m21） ，PQ=| x21| ，OQ=|m|，OPQ 是直角三角形，OP= = = = m2+1，PH=yp（2）=（ m21）（2）= m2+1OP=PH
30、（3）CM=MN=m1， GN=2+m，理由如下：对于抛物线上每一点都有：该点到直线 y=m 的距离等于该点到点 N 的距离，M（2，1） ，即 CM=MN=m 1GN=CGCMMN= m 2（m 1）=2+m点 B 的坐标是（3，0） ，BG=1，GN=2+m 由勾股定理，得 BN= = ，对于抛物线上每一点都有：该点到直线 y=m 的距离等于该点到点 N 的距离，得即 1+（2+m） 2=（m） 2解得 m= 由 GN=2+m=2 = ，即 N（0， ） ，m= ，N 点的坐标是（0， ） 点评： 本题考查了二次函数综合题，利用了勾股定理，点到直线的距离，线段中点的性质，线段的和差，利用的
31、知识点较多，题目稍有难度6考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）根据待定系数法，可得函数解析式；（2）根据顶点坐标公式，可得顶点坐标，根据图象的平移，可得 M 点的坐标；（3）根据角平分线的性质，可得全等三角形，根据全等三角形的性质，可得方程组，根据解方程组，可得答案解答： 解：（1）由二次函数 y=ax2+bx 的图象经过点（1，3）和点（1，5） ，得，解得 二次函数的解析式 y=x24x；（2）y=x 24x 的顶点 M 坐标（2，4） ，这个二次函数的图象向上平移，交 y 轴于点 C，其纵坐标为 m，顶点 M 坐标向上平移 m，即 M（2，m 4） ；（3）由待定系数法，得
32、 CP 的解析式为 y= x+m，如图：作 MGPC 于 G，设 G（a， a+m） 由角平分线上的点到角两边的距离相等，DM=MG在 RtDCM 和 RtGCM 中 ，RtDCMRtGCM（HL） CG=DC=4，MG=DM=2，化简，得 8m=36，解得 m= 点评： 本题考察了二次函数综合题， （1）利用了待定系数法求函数解析式， （2）利用了二次函数顶点坐标公式，图象的平移方法；（3）利用了角平分线的性质，全等三角形的性质7考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）将 A 的坐标代入抛物线中，易求出抛物线的解析式；将 C 点横坐标代入抛物线的解析式中，即可求出 C 点的坐标，再
33、由待定系数法可求出直线 AC 的解析式（2）欲求ACE 面积的最大值，只需求得 PE 线段的最大值即可PE 的长实际是直线 AC 与抛物线的函数值的差，可设 P 点的横坐标为 x，用 x 分别表示出 P、E 的纵坐标，即可得到关于 PE 的长、x 的函数关系式，根据所得函数的性质即可求得 PE 的最大值（3）此题要分两种情况：以 AC 为边， 以 AC 为对角线确定平行四边形后，可直接利用平行四边形的性质求出 F 点的坐标解答： 解：（1）将 A（1，0） ，代入 y=x2+bx3，得 1b3=0，解得 b=2；y=x22x3将 C 点的横坐标 x=2 代入 y=x22x3，得 y=3，C（2
34、，3） ；直线 AC 的函数解析式是 y=x1（2）A（1 ，0） ，C （2， 3） ，OA=1，OC=2，SACE= PE（OA+OC ）= PE3= PE，当 PE 取得最大值时，ACE 的面积取最大值设 P 点的横坐标为 x（1x2） ，则 P、E 的坐标分别为：P （x，x1） ，E（x，x 22x3） ；P 点在 E 点的上方， PE=（x1）（x 22x3）=x 2+x+2，当 x= 时，PE 的最大值= 则 SACE 最大 = PE= = ，即ACE 的面积的最大值是 （3）存在 4 个这样的点 F，分别是 F1（1，0） ，F 2（3 ，0） ，F 3（4+ ，0） ，F 4
35、（4 ，0） 如图，连接 C 与抛物线和 y 轴的交点，C（2，3） ，G（0，3）CGX 轴，此时 AF=CG=2，F 点的坐标是（3，0） ；如图，AF=CG=2，A 点的坐标为 （1，0） ，因此 F 点的坐标为（1，0） ；如图，此时 C，G 两点的纵坐标关于 x 轴对称，因此 G 点的纵坐标为 3，代入抛物线中即可得出 G点的坐标为（1 ，3） ，由于直线 GF 的斜率与直线 AC 的相同，因此可设直线 GF 的解析式为y=x+h，将 G 点代入后可得出直线的解析式为 y=x+4+ 因此直线 GF 与 x 轴的交点 F 的坐标为（4+ ，0） ；如图，同可求出 F 的坐标为（ 4 ，
36、0） ；综合四种情况可得出，存在 4 个符合条件的 F 点点评： 此题考查了一次函数、二次函数解析式的确定、二次函数的应用、平行四边形的判定和性质等知识，（3）题应将所有的情况都考虑到，不要漏解8考点： 二次函数综合题菁优网版权所有分析： （1）将 B（1+k，0）代入 y=x2kx3，得到（1+k） 2 k（1+k）3=0，解方程求出 k=2，即可得到抛物线对应的函数表达式；（2）先求出点 B、点 C 的坐标，运用待定系数法得到直线 BC 的解析式为 y=x3，再由（1）中抛物线的对称轴为直线 x=1，根据平移的规律得出抛物线 G 的顶点 M 的坐标为（1，2） ，然后利用顶点式得到抛物线
37、G 所对应的函数表达式为 y=（x1） 22，转化为一般式即 y=x22x1；（3）连结 OB，过 B作 BHOC于点 H根据正弦函数的定义得出 BH=BCsinC=3 sinC，则当C 最大时 h 最大；当 C最小时 h 最小即 h 的取值范围在最大值与最小值之间由图 2 可知，当C与 M 重合时，C最大，h 最大根据 SOBC=SOBB+SOBC，求出 BH= ；由图 3 可知，当 B与 M 重合时，C最小，h 最小根据 SOBC=SOCB+SOCC，求出 BH= ，则h 解答： 解：（1）将 B（1+k，0）代入 y=x2kx3，得（1+k） 2k（1+k ）3=0，解得 k=2，所以抛
38、物线对应的函数表达式为 y=x22x3；（2）当 k=2 时，点 B 的坐标为（3，0） y=x22x3，当 x=0 时，y=3，点 C 的坐标为（0，3） 设直线 BC 的解析式为 y=mx+n，则 ，解得 ，直线 BC 的解析式为 y=x3y=x22x3=（x1） 24，将（1）中的抛物线沿对称轴向上平移时横坐标不变把 x=1 代入 y=x3 可得 y= 2，抛物线 G 的顶点 M 的坐标为（1，2） ，抛物线 G 所对应的函数表达式为 y=（x1） 22，即 y=x22x1；（3）连结 OB，过 B作 BHOC于点 HBH=BCsinC=3 sinC，当 C最大时 h 最大；当C最小时 h 最小由图 2 可知，当 C与 M 重合时，C 最大，h 最大此时，S OBC=SOBB+SOBC， OCBH= +3，BH= ；由图 3 可知，当 B与 y=x22x1 的顶点 M 重合时，B（ 2，1） ，则 C（1，4） ， C最小，h最小此时，S OBC=SOCB+SOCC， OCBH= +3= ，此时 C（1， 4）OC= =BH= 综上所述， h 点评： 本题是二次函数的综合题型，其中涉及到运用待定系数法求二次函数、一次函数的解析式，抛物线的顶点坐标求法，二次函数平移的规律，锐角三角函数的定义和三角形的面积求法等知识综合性较强，有一定难度
