1、 旋转几何综合题1.（09 年湖南常德）26如图 9，若 ABC 和 ADE 为等边三角形，M，N 分别 EB，CD 的中点，易证：CD=BE， AMN 是等边三角形（1）当把 ADE 绕 A 点旋转到图 10 的位置时，CD=BE 是否仍然成立？若成立请证明，若不成立请说明理由；（4 分）（2）当 ADE 绕 A 点旋转到图 11 的位置时， AMN 是否还是等边三角形？若是，请给出证明，并求出当 AB=2AD 时， ADE 与 ABC 及 AMN 的面积之比；若不是，请说明理由 （6 分）来源:学科网 ZXXK（09 年湖南常德 26 题解析）解：（1）CD=BE理由如下: 1 分 ABC
2、 和 ADE 为等边三角形 AB=AC，AE=AD ，BAC=EAD=60 oBAE =BAC EAC =60o EAC，来源:学科网DAC =DAE EAC =60o EAC， BAE=DAC ， ABE ACD 3 分CD=BE 4 分（2） AMN 是等边三角形理由如下： 5 分 ABE ACD， ABE= ACDM 、 N 分别是 BE、CD 的中点，BM= 12NAB=AC，A BE=ACD， ABM ACNAM=AN ，MAB=NAC 6 分NAM=NAC+CAM=MAB+CAM=BAC=60 o AMN 是等边三角形 7 分设 AD=a， 则 AB=2aAD=AE=DE ， AB
3、=AC， CE=DE ADE 为等边三角形， DEC=120 o， ADE=60 o，图 9 图 10 图 11图 8图 11CNDA BMEEDC=ECD=30 o ， ADC=90 o 8 分在 Rt ADC 中 ， AD=a， ACD=30 o ， CD = 3aN 为 DC 中点， 32， 227()N 9 分 ADE， ABC， AMN 为等边三角形，S ADE S ABC S AMN 7:164:)27(:2aa10 分解法二： AMN 是等边三角形理由如下： 5 分 ABE ACD，M 、 N 分别是 BE、 CN 的中点，AM=AN ， NC=MBAB=AC， ABM ACN，
4、MAB=NAC ，NAM=NAC+ CAM=MAB+CAM=BAC =60o AMN 是等边三角形 7 分设 AD=a， 则 AD=AE=DE= a，AB=BC=AC=2 a易证 BEAC， BE = AEB3)2(22 ， 32Ea aaM722 ADE， ABC， AMN 为等边三角形S ADE S ABC S AMN 7:164:)27(:2 aa10 分2.（2009 年山东德州）23 (本题满分 10 分) 已知正方形 ABCD 中，E 为对角线 BD 上一点，过 E 点作 EFBD 交 BC 于 F，连接DF，G 为 DF 中点，连接 EG，CG（1）求证：EG=CG；（2）将图中
5、BEF 绕 B 点逆时针旋转 45，如图所示，取 DF 中点 G，连接EG，CG问（1）中的结论是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由 （3）将图中BEF 绕 B 点旋转任意角度，如图所示，再连接相应的线段，问（1）中的结论是否仍然成立？通过观察你还能得出什么结论？（均不要求证明）FBA DCEG第 23 题图FBA DCEG第 23 题图解：（1）证明：在 RtFCD 中， G 为 DF 的中点， CG= 12FD 1 分同理，在 Rt DEF 中， EG= 2FD 2 分 CG=EG 3 分（2） （1）中结论仍然成立，即 EG=CG4 分证法一：连 接 AG，过 G 点作
6、 MNAD 于 M，与 EF 的延长线交于 N 点来源:学#科#网 Z#X#X#K在DAG 与 DCG 中， AD=CD，ADG=CDG ，DG=DG， DAG DCG AG=CG 5 分在DMG 与FNG 中， DGM =FGN，FG =DG，MDG=NFG， DMG FNG MG =NG在矩形 AENM 中，AM =EN 6 分在 Rt AMG 与 RtENG 中， AM=EN， MG=NG， AMGENG AG=EG EG=CG 8 分证法二：延长 CG 至 M,使 MG=CG，连接 MF，ME，EC， 4 分在DCG 与FMG 中，FG=DG ， MGF=CGD，MG =CG，DCG
7、FMGMF=CD，FMG DCG MFCD AB5 分DFBACE第 23 题图FBA DCEGMNN图 （一）FBA DCEGM图 （二） EFM在 Rt MFE 与 RtCBE 中， MF=CB，EF=BE，MFE CBE CB6 分MECMEFFECCEBCEF 90 7 分 MEC 为直角三角形 MG = CG， EG= 21MC EGC8 分（3） （1）中的结论仍然成立，即 EG=CG其他的结论还有: EGCG10 分3. (2009 山西)在ABC 中，ABBC2，ABC120，将ABC 绕点 B 顺时针旋转角 (0 90)得A 1BC1，A 1B 交 AC 于点 E，A 1C1
8、 分别交 AC，BC 于 D，F 两点(1)如图 224(a)，观察并猜想，在旋转过程中，线段 EA1 与 FC 是怎样的数量关系?并证明你的结论；图 234(a)(2)如图 234(b)，当 30时，试判断四边形 BC1DA 的形状，并说明理由；图 234(b)(3)在(2)的情况下，求 ED 的长解 (1)证明：ABBC，A C由旋转可知，ABBC 1，AC 1，ABEC 1BFABE C 1BFBEBF又BA 1BC，BA 1BEBCBF，即 EA1FC (2)四边形 BC1DA 是菱形证明：A 1ABA 130，A 1C1AB，同理 ACBC 1四边形 BC1DA 是平行四边形又ABB
9、C 1， 四边形 BC1DA 是菱形(3)如图 234(c)，过点 E 作 EGAB 于点 G，则 AGBG1FBA DCE图G图 234(c)在 Rt AEG 中， 由(2) 知四边形 BC1DA 是菱形，.32cos01AGEADAB2 .32AD如 图 23 5(a)， 在 Rt ABC 中 ， BAC 90， ， D， E 两 点 分 别 在32ACAC， BC 上 ， 且 DE AB， ， 将 CDE 绕 点 C 顺 时 针 旋 转 ， 得 到 CD E (如图2235(b)，点 D，E分别与点 D，E 对应)，点 E在 AB 上，D E与 AC 交于点 M图 235(1)求ACE
10、的度数；(2)求证：四边形 ABCD是梯形；(3)求AD M 的面积分 析 注 意 旋 转 前 后 对 应 元 素 的 关 系 ， 以 及 图 中 隐 含 的 45、 30等 特 殊 角 ， 将 AD M 的面积转化为 SADE S AME ，利用方程的思想求解解 (1)如图 235(a) ，BAC90，AB AC， BACB45DEAB，DECDCE45，EDC90 .2CDCECE4如图 235(b)，在 RtACE中，EAC90， ，CE 4，3A2cosCACE30(2)如图 235(b)，DCEACB45，ACE 30，DCAECB15又 ，D CAECB2BCAEDACB45ACB
11、DAC ADBC B45，DCB60，ABC 与DCB 不互补，AB 与 DC 不平行四边形 ABCD是梯形(3)在图 235(c)中，过点 C 作 CFAD，垂足为 F，过 D作 DG AB，垂足为G作AMH 60交 AE 于 H可得FCDACFACD30在 Rt ACF 中， ,645cosAF在 Rt DCF 中， ,302FCDADE 中，AD ，.2C26AE2，BAD135在 Rt ADG 中， .1345sinA.131DSEAD设 AMx，可得 ，MHHE2xH.x在 Rt AMH 中，由 AM2AH 2MH 2，可得 .)3()3(2化简，得 04x解得 .24x由 AMAC
12、 可得 32AM.421ESA .5 AMDMS4. (2009 湖南常德 )如图 238(a) ，若ABC 和ADE 为等边三角形，M，N 分别为EB， CD 的中点，易证：CDBE，AMN 是等边三角形图 238(1)当把ADE 绕 A 点旋转到图 238(b)的位置时，D，E，B 三点共线，CDBE 是否仍然成立?若成立请证明；若不成立请说明理由；(2)当ADE 绕 A 点旋转到图 238(c) 的位置时，D ，E， B 三点不共线，AMN 是否还是等边三角形? 若是，请给出证明；并求出当 AB2AD 时，ADE 与ABC 及AMN的面积之比；若不是，请说明理由解 (1)如图 238(b
13、) CDBE理由如下：ABC 和ADE 为等边三角形，ABAC，AEAD，BACEAC60BAE BACEAC，DACEADEAC ，BAE DAC ABEACDCDBF (2)如图 238(c)，AMN 是等边三角形，理由如下：同理可证ABEACD，ABE ACD，BECDM，N 分别是 BE，CD 的中点， .21CNDBEABAC， ABEACD，ABM ACNAMAN， MABNAC NAMNACCAMMABCAMBAC60AMN 是等边三角形设 ADa，则 AB2aADAEDE，ABAC，CE DE ADE 为等边三角形，DEC120，ADE60EDCECD30，ADC90在 Rt
14、ADC 中， ADa，ACD30，.3CDN 为 DC 的中点， .27,22aADNAaADE，ABC，AMN 为等边三角形，S ADE S ABC S AMN 2)(a.7:164:1)725. (2009 宁波)如图 239(a) ，在平面直角坐标系中， O 为坐标原点，点 A 的坐标为(8，0)，直线 BC 经过点 B(8，6)，C(0，6)，将四边形 OABC 绕点 O 按顺时针方向旋转 得到四边形 OABC，此时直线 OA，直线 B C分别与直线 BC 相交于点P，Q图 239(1)四边形 OABC 的形状是_，当 90时， 的值是_；BQP(2)如图 239(b) ，当四边形 O
15、ABC 的顶点 B落在 y 轴的正半轴上时，求的值；BQP如图 239(c)，当四边形 OABC 的顶点 B落在直线 BC 上时，求OPB的面积；(3)在四边形 OABC 的旋转过程中，当 0 180时，是否存在这样的点 P 和点Q，使 BP ?若存在，直接写出点 P 的坐标；若不存在，请说明理由21分析 (1)矩形(或长方形)， ；(2) 先证COPAOB ，再证74BQBCQBCO，并求出 CQ，BQ 的长，从而可得 的值；易证OCPPBA P ，OPBP，CP AP，设 BPx，在 RtOCP 中，根据勾股定理解出 x的值，得到 SOPB ；(3) 先假设存在这样的点 P 和点 Q，使
16、，再根据已知条件B21分类讨论求解解 (1)矩形(长方形 )， 74BQ(2)POCBOA， PCOOAB90，COPAOB， 即OACP,8627,29CPBCP同理，BCQBC O，OQ在 Rt AOB中， ,102AB86CQCQ3，BQBCCQ11 7P在OCP 和BAP 中，,90OCOCPBAP OPB P，CPAP设 BPx，在 RtOCP 中，CP APOAOP8x(8x) 26 2x 2，解答 45S OPB 761(3)存在这样的点 P 和点 Q，使 .21B点 P 的坐标是 )6,4(),239(1对于第(3)题，我们提供如下详细解答：过点 Q 作 QHOA于 H，连接
17、OQ，则 QHOCOC，S POQ ，S POQ ，OC QP1PQOP 设 BPx， BQ2xBP如图 239(d)，当点 P 在点 B 的左侧时，OPPQBQ BP3x ，在 Rt PCO 中， (8x) 26 2(3 x)2解得 (舍去) 1,1x)29(P图 239如图 239(e)，当点 P 在点 B 的右侧时，OPPQBQ BPx ，PC 8x在 Rt PCO 中， (8x) 26 2x 2 解得 45745BPC)6,47(2综上可知，存在点 ，使),6329(1 )6,47(2P.21BQP6. 图 1 是边长分别为 4 和 3 的两个等边三角形纸片 ABC 和 C D E 叠
18、放在一起（C3与 C 重合）.（1）操作：固定ABC，将C D E 绕点 C 顺时针旋转 30得到CDE，连结AD、BE，CE 的延长线交 AB 于 F（图 2） ；探究：在图 2 中，线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论.（4分）（2）操作：将图 2 中的CDE，在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移，平移后的CDE 设为PQR（图 3） ；探究：设PQR 移动的时间为 x 秒，PQR 与ABC 重叠部 分的面积为 y，求 y与 x 之间的函数解析式，并写出函数自变 量 x 的取值范围.（5 分）（3）操作：图 1 中C D E 固定，将ABC 移
19、动，使顶点 C 落在 C E 的中点，边 BC 交 D E 于点 M，边 AC 交 D C 于点 N，设AC C = （30 90（图 4） ；探究：在图 4 中，线段 C NE M 的值是否随 的变化而变化？如果没有变化，请你求出 C NE M 的值，如果有变化，请你说明理由 .（4 分）解：（1）BE=AD 证明：ABC 与DCE 是等边三角形ACB=DCE=60 CA=CB，CE=CD BCE=ACD BCEA BE=AD（也可用旋转方法证明E图 1 CBAD图 2F E DCB A图 2QPRAB CF 图 3图 3DE 图 4M NB AG C图 4 C/（C /）（C /）QPRA
20、B CF 图 3 TSBE=AD）（2）如图在CQT 中 TCQ=30 RQT=60 QTC=30 QTC=TCQ QT=QC=x RT=3 x RTSR=90 RST=90 y= 32 (3x) 2= (3x) 2 (0x3) 34838934（3）CNEM 的值不变 证明：ACC=60 MCENCC=120CNCNCC =120 MCE =CNC E=C EMCCCN CNEM=CCE C= =/32947.将两块含 30角且大小相同的直角三角板如图 1 摆放。（1）将图 1 中 绕点 C 顺时针旋转 45得图 2，点1AB与 AB 的交点，求证： ；1PC是 11PA2（2）将图 2 中
21、 绕点 C 顺时针旋转 30到 （如图1 2BC3） ，点 与 AB 的交点。线段 之间存在一个确定的A是 12与等量关系，请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图 3 中线段 绕点 C 顺时针旋转1P60到 （如图 4） ，连结 ，C32求证： AB. 32解：（1）证明：过点 作 CA 的垂线，垂1P足为 D 易知：CD 为等腰直角三角形， DA 是直角三角形，且1PA30，所以 故 111CP2 PDA2 ， 11CA2（2）解： 过点 作 C 的垂线，垂足为 E 易知： E 为等腰直角三角形（其1 1P2 D中2A CA45） CE 是直角三角形，且130，所以2PP1112CE ，
22、故 12P（3）证明：将图 3 中线段 绕点 C 顺时针旋转 60到 ，易证：1P3CP ，于是 45，故 AB.12C2232128.如图 1，小明将一张矩形纸片沿对角线剪开，得到两张三角形纸片（如图 2） ，量得他们的斜边长为 10cm，较小锐角为 30，再将这两张三角纸片摆成如图 3 的形状，但点B、C 、F、D 在同一条直线上，且点 C 与点 F 重合（在图 3 至图 6 中统一用 F 表示）（图 1） （图 2） （图 3）小明在对这两张三角形纸片进行如下操作时遇到了三个问题，请你帮助解决。（1）将图 3 中的ABF 沿 BD 向右平移到图 4 的位置，使点 B 与点 F 重合，请你
23、求出平移的距离；（2）将图 3 中的ABF 绕点 F 顺时针方向旋转 30到图 5 的位置，A 1F 交 DE 于点G，请你求出线段 FG 的长度；（3）将图 3 中的ABF 沿直线 AF 翻折到图 6 的位置， AB1 交 DE 于点 H，请证明：AHDH（图 4） （图 5） （图 6）解：（1）图形平移的距离就是线段 BC 的长（2 分）又在 RtABC 中，斜边长为 10cm，BAC=30，BC=5cm ，平移的距离为 5cm （2 分）（2） ， ，D=30130AF60GFD （1 分）9GD在 RtEFD 中，ED=10 cm ， FD= ， （1 分）53 cm （2 分）53
24、FC（3）AHE 与 中， ， （1 分）1DHB130FAED ， ，AE ，即 （1 分）1F又 ， （AAS） （1 分） 1HDBAHEDB （1 分）A9.如图（9）-1，抛物线 23yaxb经过 A（ 1，0） ，C（3， 2）两点，与 y轴交于点 D，与 x轴交于另一点 B（1）求此抛物线的解析式；（2）若直线 )0(1ky将四边形 ABCD 面积二等分，求 k的值；（ 3） 如 图 （ 9） -2， 过 点 E（ 1， 1） 作 EF x轴 于 点 F， 将 AEF 绕 平 面 内 某 点 旋 转 180得MNQ（点 M、N 、Q 分别与点 A、E、F 对应） ，使点 M、 N
25、 在抛物线上，作 MG x轴于点 G，若线段 MG AG1 2，求点 M，N 的坐标（1）解：把 A（ 1，0） ，C（3， 2）代入抛物线 23yaxb 得9)()(2ba1 分整理得 204 2 分 解得 21ba3 分抛物线的解析式为 231xy4 分DO BA xyCy=kx+1图（9）-1EFMNGO BA xy图（9）-2Q（2）令 02312x 解得 124x， B 点坐标为（4，0） 又D 点坐标为（0， ） ABCD 四边形 ABCD 是梯形S 梯形 ABCD 82)35(15 分设直线 0kxy与 x 轴的交点为 H， 与 CD 的交点为 T，则 H（ ，0 ） ， T（ ， ） 6 分直线 )(1kxy将四边形 ABCD 面积二等分S 梯形 AHTD 2S 梯形 ABCD 4)3(k7 分 4k8 分（3）MG x轴于点 G，线段 MGAG12设 M（m， 2） ， 9 分 点 M 在抛物线上 232m 解得 1231， （舍去） 10 分M 点坐标为（3， ） 11 分根据中心对称图形性质知，MQAF，MQAF，NQEF，N 点坐标为（1， ） 12 分EFMNGO BA xy图(9) -2QD O BA xy CBCy=kx+1图(9) -1H T
