1、1浅谈二元函数的极值问题摘 要：本文首先给出二元函数极值的定义，实例分析了二元函数极值存在的必要条件和充分条件，并通过实例解析了求二元函数极值的步骤.关键词：二元函数; 极值;必要条件;充分条件To discuss the extreme-value problem of the binary function shallowlyAbstract: In this paper, the definition and conditions of the extreme of binary function are firstly given, on the basis, steps of fin
2、ding the extreme value are discussed, and specific examples of relevant to this are given to expound them.Key words: binary function; extreme; necessary condition; sufficient condition前言函数极值在数学、工程、金融风险管理等多领域都有广泛应用，本文以二元函数为例，讨论函数极值的若干方面问题.1. 预备知识定义 设函数 在点 的某领域 内有定义，若对于任意点f0(,)xyp0()Up，成立不等式0(,)(pxyU（
3、或 ） ，0()ff0()ff则称函数 在点 取得极大（或极小）值，点 称为 的极大（或极小）f0 f值点，极大值、极小值统称极值，极大值点、极小值点统称极值点.注意：这里所讨论的极值点仅限于定义域的内点.2. 二元函数存在极值的实例分析2例 1 二元函数 在点 处存在极小值. 243yxz)0,(因为点 的任一邻域内异于 的点的函数值都为正,而在点 处)0,( 0,的函数值为零.从几何上看这是显然的,因为点 是开口朝上的椭圆抛)0,(物面 的顶点 .243yxz例 2 二元函数 在点 处存在极大值.2yxz)0,(因为点 是位于 面下方的锥面 的顶点,所以二元函数)0,(o2yxz在点 处存
4、在极大值 . 2yxz),(3. 极值的条件3.1 极值的必要条件若函数 在点 存在偏导数，且在 取得极值，则有f0(,)xyp0p， . （1）0,f(,)yfx反之，若函数 在点 满足（1） ，则称 为 的稳定点.上述极值的必要f 0f条件指出：若 存在偏导，则其极值点必为稳定点，但稳定点并不都是极值点，例如函数 ，原点为其稳定点，但它在原点并不取得极值(,)hxy点.此外，函数在偏导数不存在的点仍然可能有极值，例如：，,0xz它是交于 轴的两个平面.显然，凡 的点都是函数的极小值点.但是，Y时， 时， .0x1,x01zx因此在 时偏导数不存在.0x由此可见，函数的极值点必为 及 同时为
5、零或至少有一个偏导数不存fxy在的点.3.2 极值的充分条件3设函数 在点的某个邻域内连续且有二阶连续偏导数,又)(yxfz且 ,记二阶连续偏导数为0),(xf 0, , , ,则Afx),( Byxf)( Cyxf),(0 AB2函数 在 点处是否取得极值的条件如下:yz0(1) 当 且 时,函数 在点 处取得极大值;0),(fz),(0(2) 当 且 时,函数 在点 处取得极小值;Ayxy(3) 当 时,函数 在点 处不取得极值;),(fz),(0(4) 当 时,函数 在点 处可能取得极值,也可能不取得0极值.4. 求二元函数的极值的步骤要求函数的极值，首先要求出所有使函数的偏导数等于零或
6、偏导数不存在的点，然后讨论该点周围函数的变化情形，以进一步判断是否有极值，为此我们讨论 ，若 的一切二阶导数连续，则由泰勒公式并注意f(,)fxy到在极值点必须 ，就有0x.2220000021(,)(,)(,)2 ,xxy yf fxfyx由于 的一切二阶偏导数在 连续，记 ，(,)f 0(,)20(,)xAf， ，那就有0xyB20(,)yCf20( ,(,)xf y0,)00yxyBx20( ,(,)f C于是.222211fAxByxy当二次形式 不为零时，注意到 时，kC0,x4都是无穷小量，所以存在点 的一个领域，使得在这个领, 0(,)Mxy域内， 的符号与 的符号相同，而当 时
7、， 的符号取决于fkfkff的符号了.22xy对于二次型 2fAxByC它的判别式为 . HA那就有以下结论：H0A0H0 H=0函数有极大值函数有极小值函数无极值 需进一步判定利用代数中关于二次型的理论，很容易理解以上结论.这是因为当 而 时，二次型 为负定的，故 ，从而 ；0HAkf0kf0f当 而 时，二次型 为正定的，故 ，从而 ；当ff时，二次型为不定的.所以 亦可正可负的，于是函数无极值；当时，二次型 在某些 值上将等于零，于是 的符号就必须进0kf,xyf一步判断了.5. 求极值的相关例题例 1 证明具有已知周长的三角形中，等边三角形有最大面积.证明: 设三角形的边长为 ，周长,
8、xyz，2p于是 .zxy三角形的面积 有如下公式：S.2(,)()()()()fxyppzxpyp5由 ()2)0,fpyxyx解得 的稳定点：(,)fxy， ， ， . 0p(,)(,0)p2(,)3p事实上， 的定义域是 （如下图阴影部分）： ,fxyDyx0 , , . 在 上一定有最大值，0xpyxp(,)fxyD在 内有唯一稳定点 ，D2()3,411,*327fppp在 上取值为零，因此 一定在 取到 内的最大值，(,)fxy(,)fxy(,)3D即 , , .23xp2zp时，三角型有最大值.例 2 设通过观测或实验得到一列点 ， 它们大体上在一条(,)ixy1,.in直线上，
9、即大体上可用直线方程来反映变量 与 之间的对应关系，现要6确定一直线与这 个点的偏差平方和最小 .n解: 设所求直线方程为，yaxb所测得的 个点为 ，现要确定 使得n(,)ix1,2.)n,a21(,()iiify为最小，为此 12()0,naiibiiifxby把这组关于 的线性方程加以整理，得,a211.,nniiiiiaxbxy求此方程组的解，即得 的稳定点(,)fab, .11221()nniiiniiixyya2111221()()nnniiiiniixyxb为了进一步确定该点是极小值点，我们计算得, ,210naiAfx120nabiBfx, bCf22114()nniiDAC由极值的充要条件知， 在点 取得极小值，由实际问题知这极(,)a(,)b小值为最小值.结束语多元函数的极值问题在多元函数微分学上有重要应用,在这里利用偏导7讨论二元函数极值问题可以帮助我们更好的学习极值问题的求解.参考文献：1 廖可人, 李正元. 数学分析M . 北京：高等教育出版社 , 1986.2 陈传璋, 金福临, 朱学炎, 欧阳光中. 数学分析M. 北京：高等教育出版社, 1983.3 高尚华. 数学分析M. 北京：高等教育出版社 , 2001.
