1、导数常考题型总结第 1 页 共 77 页导数常考题型总结一、导数单调性、极值、最值的直接应用1. （切线）设函数 axxf 2)( .（1）当 1a 时，求函数 )()( xxfxg 在区间 1,0 上的最小值；（2）当 0a 时，曲线 )(xfy 在点 )(,( 111 axxfxP 处的切线为l，l与x轴交于点 )0,( 2xA求证： axx 21 .解：(1) 1a 时， xxxg 3)( ，由 013)( 2 xxg ，解得 33x .)(xg的变化情况如下表：x 0 )33,0( 33 )1,33( 1)(xg - 0 +)(xg 0 极小值 0所以当 33x 时， )(xg 有最小
2、值 932)33( g .(2)证明：曲线 )(xfy 在点 )2,( 211 axxP 处的切线斜率 11 2)( xxfk 曲线 )(xfy 在点P处的切线方程为 )(2)2( 1121 xxxaxy .令 0y ，得 1212 2x axx ， 1 21112112 22 xxaxx axxx ax 1 ， 02 1 21 xxa ，即 12 xx .又 11 22 xax ， axaxxaxx axx 11111212 222222所以 axx 21 .2. （2009天津理20，极值比较讨论）已知函数 2 2( ) ( 2 3 ) ( ),xf x x ax a a e x R 其中
3、aR当 0a 时，求曲线 ( ) (1, (1)y f x f 在点 处的切线的斜率；w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当 23a 时，求函数 ( )f x 的单调区间与极值.解：本小题主要考查导数的几何意义、导数的运算、利用导数研究函数的单调性与极值等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法。导数常考题型总结第 2 页 共 77 页 .3)1()2()()(0 22 efexxxfexxfa xx ，故，时，当 .3)1(,1()( efxfy 处的切线的斜率为在点所以曲线 .42)2()( 22 xeaaxaxxf w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .2232.220)( aa
4、aaxaxxf 知，由，或，解得令以下分两种情况讨论： a若 32，则 a2 2a .当x变化时， )()( xfxf ， 的变化情况如下表：x a2 ， a2 22 aa， 2a ，2a+ 0 0 + 极大值 极小值 .)22()2()2()( 内是减函数，内是增函数，在，在所以 aaaaxf .3)2()2(2)( 2aaeafafaxxf ，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m .)34()2()2(2)( 2 aeaafafaxxf ，且处取得极小值在函数 a若 32，则 a2 2a ，当x变化时， )()( xfxf ， 的变化情况如下表：x 2 a， 2a a
5、a 22 ， a2 ，a2+ 0 0 + 极大值 极小值 内是减函数。，内是增函数，在，在所以 )22()2()2()( aaaaxf .)34()2()2(2)( 2 aeaafafaxxf ，且处取得极大值在函数w.w.w.k.s.5.u.c.o.m.3)2()2(2)( 2aaeafafaxxf ，且处取得极小值在函数3. （最值，按区间端点讨论）已知函数f(x)=lnxax.(1)当a0时，判断f(x)在定义域上的单调性；(2)若f(x)在1,e上的最小值为32，求a的值.解：(1)由题得f(x)的定义域为(0,)，且 f(x)1x 2ax 2x ax .a0，f(x)0，故f(x)在
6、(0,)上是单调递增函数.(2)由(1)可知：f(x) 2x ax ，若a1，则xa0，即f(x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为增函数，f(x)minf(1)a32，a32 (舍去).若ae，则xa0，即f(x)0在1,e上恒成立，此时f(x)在1,e上为减函数，f(x)minf(e)1ae32，a2e (舍去).导数常考题型总结第 3 页 共 77 页若e0，f(x)在(a,e)上为增函数，f(x)minf(a)ln(a)132a e.综上可知：a e.4. （最值直接应用）已知函数 )1ln(21)( 2 xaxxxf ，其中aR.（）若 2x 是 )(xf 的极值点，求a的
7、值；（）求 )(xf 的单调区间；（）若 )(xf 在0, ) 上的最大值是0，求a的取值范围.解：（） (1 )( ) , ( 1, )1x a axf x xx .依题意，令 (2) 0f ，解得 13a .经检验， 13a 时，符合题意.（）解： 当 0a 时， ( ) 1xf x x .故 )(xf 的单调增区间是(0, ) ；单调减区间是 )0,1( . 当 0a 时，令 ( ) 0f x ，得 1 0x ，或 2 1 1x a .当 10 a 时， ( )f x 与 ( )f x 的情况如下：x 1( 1, )x 1x 1 2( , )x x 2x 2( , )x ( )f x 0
8、 0 ( )f x 1( )f x 2( )f x 所以， ( )f x 的单调增区间是 1(0, 1)a ；单调减区间是 )0,1( 和 1( 1, )a .当 1a 时， )(xf 的单调减区间是 ),1( .当 1a 时， 21 0x ， ( )f x 与 ( )f x 的情况如下：x 2( 1, )x 2x 2 1( , )x x 1x 1( , )x ( )f x 0 0 ( )f x 2( )f x 1( )f x 所以， ( )f x 的单调增区间是 1( 1,0)a ；单调减区间是 1( 1, 1)a 和(0, ) . 当 0a 时， )(xf 的单调增区间是(0, ) ；单调
9、减区间是 )0,1( .导数常考题型总结第 4 页 共 77 页综上，当 0a 时， )(xf 的增区间是(0, ) ，减区间是 )0,1( ；当 10 a 时， ( )f x 的增区间是 1(0, 1)a ，减区间是 )0,1( 和 1( 1, )a ；当 1a 时， )(xf 的减区间是 ),1( ；当 1a 时， ( )f x 的增区间是 1( 1,0)a ；减区间是 1( 1, 1)a 和(0, ) .（）由（）知 0a 时， )(xf 在(0, ) 上单调递增，由 0)0( f ，知不合题意.当 10 a 时， )(xf 在(0, ) 的最大值是 1( 1)f a ，由 1( 1)
10、(0) 0f fa ，知不合题意.当 1a 时， )(xf 在(0, ) 单调递减，可得 )(xf 在0, ) 上的最大值是 0)0( f ，符合题意.所以， )(xf 在0, ) 上的最大值是0时，a的取值范围是1, ) .5. (是一道设计巧妙的好题，同时用到e底指、对数，需要构造函数，证存在且唯一时结合零点存在性定理不好想，联系紧密)已知函数 ( ) ln , ( ) .xf x x g x e 若函数(x)=f(x) 11xx+- ，求函数(x)的单调区间；设直线l为函数f(x)的图象上一点A(x0，f(x0)处的切线，证明：在区间(1,+)上存在唯一的x0，使得直线l与曲线y=g(x
11、)相切解：（） 1( ) 1xx f x x 11ln xxx ， 222 11121 xxxxxx 0x 且 1x ， 0x 函数 ( )x 的单调递增区间为 ，和11,0 （） 1( )f x x ， 0 01( )f x x ， 切线l的方程为 0 001ln ( )y x x xx , 即 001 ln 1y x xx , 设直线l与曲线 ( )y g x 相切于点11( , )xx e ， ( ) xg x e ， 1 01xe x ， 1 0lnx x , 0ln1 01( ) xg x e x .直线l也为 00 01 1 lny x xx x ， 即 00 0 0ln1 1xy
12、 xx x x ， 由得 00 0 0ln 1ln 1 xx x x ， 00 0 1ln 1xx x 下证：在区间（1,+）上 0x 存在且唯一.导数常考题型总结第 5 页 共 77 页由（）可知， ( )x 11ln xxx 在区间 1,+（ ）上递增又 1 2( ) ln 01 1ee e e e ， 2 22 2 2 21 3( ) ln 01 1e ee e e e ，结合零点存在性定理，说明方程 ( ) 0x 必在区间 2( , )ee 上有唯一的根，这个根就是所求的唯一 0x ，故结论成立6. （最值应用，转换变量）设函数 22 1( ) (2 )ln ( 0)axf x a x
13、 ax (1)讨论函数 ( )f x 在定义域内的单调性；(2)当 ( 3, 2)a 时，任意 1 2, 1,3x x ， 1 2( ln3) 2ln3 | ( ) ( )|m a f x f x 恒成立，求实数m的取值范围解： 22 1( ) 2af x ax x 2 22 (2 ) 1ax a xx 2( 1)(2 1)ax xx 当 2a 时， 1 12a ，增区间为 1 1( , )2a ，减区间为 1(0, )a ， 1( , )2 当 2a 时， 1 12a ，减区间为(0, ) 当 2 0a 时， 1 12a ，增区间为 1 1( , )2 a ，减区间为 1(0, )2 ， 1
14、( , )a 由知，当 ( 3, 2)a 时， ( )f x 在1,3上单调递减， 1 2, 1,3x x ， 1 2| ( ) ( )|f x f x (1) (3)f f 1(1 2 ) (2 )ln3 6 3a a a ，即 1 2| ( ) ( )|f x f x 2 4 ( 2)ln33 a a 1 2( ln3) 2ln3 | ( ) ( )|m a f x f x 恒成立，( ln3) 2ln3m a 2 4 ( 2)ln33 a a ，即 2 43ma a ，又 0a ， 2 43m a ( 3, 2)a ， 13 2 3843 3 9a ，m 133 7. （最值应用）已知二
15、次函数 ( )g x 对 x R 都满足 2( 1) (1 ) 2 1g x g x x x 且 (1) 1g ，设函数1 9( ) ( ) ln2 8f x g x m x （m R ， 0x ）（）求 ( )g x 的表达式；（）若 x R ，使 ( ) 0f x 成立，求实数m的取值范围；（）设1 m e ， ( ) ( ) ( 1)H x f x m x ，求证：对于 1 2 1, x x m ， ，恒有1 2| ( ) ( )| 1H x H x 导数常考题型总结第 6 页 共 77 页解：（）设 2g x ax bx c ，于是 2 21 1 2 1 2 2 1 2g x g x
16、a x c x ，所以 121.ac ，又 1 1g ，则 12b 所以 21 1 12 2g x x x 3分（） 21 9 1( ) ln ln ( 0).2 8 2f x g x m x x m x m x R，当m0时，由对数函数性质，f（x）的值域为R；4分当m=0时， 2( ) 02xf x 对 0x ， ( ) 0f x 恒成立； 5分当m0时， ( )f x 在区间（0，1）上的单调递减，在区间（1，4）上单调递增，函数 ( )f x 在区间0,4上的最小值为 (1) ( 2)f a e 又 (0)f (2 3)xbe a 0 ， 4(4) (2 13) 0f a e ，函数
17、( )f x 在区间0，4上的值域是 (1), (4)f f ，即 4 ( 2) ,(2 13) a e a e 又 2 4( ) ( 14) xg x a e 在区间0，4上是增函数，且它在区间0，4上的值域是 2 4 2 8( 14) ,( 14) a e a e . 2 4( 14)a e 4(2 13)a e 2 4( 2 1)a a e 2 4( 1) 0a e ，存在 4,0, 21 使得 1|)()(| 21 ff 成立只须2 4( 14)a e 4(2 13)a e 0,g(x)=0的两根都小于0，在(0, ) 上， ( ) 0f x ，故 ( ) (0, )f x 在上单调递
18、增当 2a 时,0,g(x)=0的两根为 2 21 24 4,2 2a a a ax x ，当 10 x x 时， ( ) 0f x ；当 1 2x x x 时， ( ) 0f x ；当 2x x 时， ( ) 0f x ，故( )f x 分别在 1 2(0, ),( , )x x 上单调递增，在 1 2( , )x x 上单调递减由知，若 ( )f x 有两个极值点 1 2,x x ，则只能是情况，故 2a 导数常考题型总结第 13 页共 77 页因为 1 21 2 1 2 1 21 2( ) ( ) ( ) (ln ln )x xf x f x x x a x xxx ，所以 1 2 1
19、21 2 1 2 1 2( ) ( ) ln ln11f x f x x xk ax x xx x x 又由知， 1 2 1xx ，于是 1 21 2ln ln2 x xk a x x 若存在a，使得 2 .k a 则 1 21 2ln ln 1x xx x 即 1 2 1 2ln lnx x x x 亦即 2 2 221 2ln 0( 1)(*)x x xx 再由知，函数 1( ) 2lnht t tt 在(0, ) 上单调递增，而 2 1x ，所以2 221 12ln 1 2ln1 0.1x xx 这与(*)式矛盾故不存在a，使得 2 .k a 14. （构造函数，好，较难）已知函数 21
20、( ) ln ( 1) ( 0)2f x x ax a x a R a ， .求函数 ( )f x 的单调增区间；记函数 ( )F x 的图象为曲线C，设点 1 1 2 2( , ) ( , )A x y B x y、 是曲线C上两个不同点，如果曲线C上存在点 0 0( , )M x y ，使得： 1 20 2x xx ；曲线C在点M处的切线平行于直线AB，则称函数 ( )F x 存在“中值相依切线”.试问：函数 ( )f x 是否存在中值相依切线，请说明理由.解：（）函数 ( )f x 的定义域是(0, ) .由已知得， 1( 1)( )1( ) 1 a x x af x ax ax x .
21、 当 0a 时, 令 ( ) 0f x ,解得0 1x ;函数 ( )f x 在(0,1)上单调递增 当 0a 时，当 1 1a 时，即 1a 时, 令 ( ) 0f x ,解得 10 x a 或 1x ;函数 ( )f x 在 1(0, )a 和(1, ) 上单调递增当 1 1a 时，即 1a 时, 显然，函数 ( )f x 在(0, ) 上单调递增；当 1 1a 时，即 1 0a 时, 令 ( ) 0f x ,解得0 1x 或 1x a 函数 ( )f x 在(0,1)和 1( , )a 上单调递增.综上所述:导数常考题型总结第 14 页共 77 页当 0a 时,函数 ( )f x 在(0
22、,1)上单调递增当 1a 时,函数 ( )f x 在 1(0, )a 和(1, ) 上单调递增当 1a 时,函数 ( )f x 在(0, ) 上单调递增；当 1 0a 时,函数 ( )f x 在(0,1)和 1( , )a 上单调递增.()假设函数 ( )f x 存在“中值相依切线”.设 1 1( , )A x y , 2 2( , )B x y 是曲线 ( )y f x 上的不同两点，且 1 20 x x ，则 21 1 1 11ln ( 1)2y x ax a x ， 22 2 2 21ln ( 1)2y x ax a x .2 12 1AB y yk x x 2 22 1 2 1 2 1
23、2 11(ln ln ) ( ) ( 1)( )2x x a x x a x xx x 2 1 1 22 1ln ln 1 ( ) ( 1)2x x a x x ax x .曲线在点 0 0( , )M x y 处的切线斜率 0( )k f x 1 2( )2x xf 1 21 22 ( 1)2x xa ax x ，依题意得： 2 1 1 22 1ln ln 1 ( ) ( 1)2x x a x x ax x 1 21 22 ( 1)2x xa ax x .化简可得 2 12 1ln lnx xx x 1 22x x ， 即 21lnxx = 2 12 12( )x xx x 21212( 1
24、)1xxxx .设 21x tx ( 1t )，上式化为： 2( 1) 4ln 21 1tt t t ,4ln 21t t ,令 4( ) ln 1g t t t , 21 4( ) ( 1)g t t t 22( 1)( 1)tt t .因为 1t ,显然 ( ) 0g t ，所以 ( )g t 在(1, ) 上递增,显然有 ( ) 2g t 恒成立.所以在(1, ) 内不存在t,使得 4ln 21t t 成立.综上所述，假设不成立.所以，函数 ( )f x 不存在“中值相依切线”15. (2011天津理19，综合应用)已知 0a ，函数 2lnf x x ax ， 0x ( f x 的图象
25、连续)求 f x 的单调区间；若存在属于区间 1,3 的 , ，且 1 ，使 f f ，证明：ln3 ln2 ln25 3a 导数常考题型总结第 15 页共 77 页解： 21 1 22 axf x axx x ， 0x 令 0f x ，则 22ax a 当x变化时， f x ， f x 的变化情况如下表：x 20, 2aa 22aa 2 ,2aa f x 0 f x 单调递增 极大值 单调递减所以 f x 的单调增区间是 20, 2aa ，单调减区间是 2 ,2aa 由 f f 及 f x 的单调性知 22aa 从而 f x 在区间 , 上的最小值为 f 又由 1 ， , 1,3 ，则1 2
26、 3 所以 2 1 ,2 3 ,f f ff f f 即 ln2 4 ,ln2 4 ln3 9 .a aa a 所以ln3 ln2 ln25 3a 16. （最值与图象特征应用）设 Ra ，函数 eaaxexf x )(1(2)( 2 为自然对数的底数）.判断 )(xf 的单调性；若 2,11)( 2 xexf 在 上恒成立，求a的取值范围.解： )2(21)1(21)( 2 axeaaxexf xx ),12(21 2 aaxaxe x令 .12)( 2 aaxaxxg当 )(,0)(,01)(,0 xfxfxga 时 在R上为减函数.当 ,04)(440)(,0 22 aaaaxga 的判
27、别时导数常考题型总结第 16 页共 77 页)(0)(,0)( xfxfxg 即 在R上为减函数.当 0a 时，由 ,0122 aaxax 得 ,1111 axax 或由 ,0122 aaxax 得 ,1111 axa ),(),()( a aaa aaxf 在 上为增函数；),()( a aaa aaxf 在 上为减函数.由知当 2,1)(,0 在时 xfa 上为减函数. .5112 15.2 15)2()( 222min aeeaeafxf 得由当 22 212 15)2(,0 eeafa 时21)( exf 在1，2上不恒成立，a的取值范围是 ).,51( 17. (单调性)已知 ( )
28、f x =ln(x+2)x2+bx+c若函数 ( )f x 在点(1，y)处的切线与直线3x+7y+2=0垂直，且f(1)=0，求函数 ( )f x 在区间0,3上的最小值；若 ( )f x 在区间0,m上单调，求b的取值范围.解： bxxxf 221)( ，依题意令 (1)f = 73， ( 1)f 0，解得b=4，c=5.22302 924221)( 2 xxxxxxf 得x 0 (0, 223 ) 223 （ 223 ,3） 3y + 0 y ln2+5 极大 8+ln5因为8+ln55+ln2 x=0时 ( )f x 在0，3上最小值 (0)f =5+ln2.若 ( )f x 在区间0
29、，m上单调，有两种可能令 bxxxf 221)( 0得b2x 21x ，在0，m上恒成立而y=2x 21x 在0，m上单调递增，最大值为2m 21m ，b2m 21m .令 bxxxf 221)( 0 得b2x 21x ，导数常考题型总结第 17 页共 77 页而 y=2x 21x 在0，m单增，最小为y=21，b21 .故b2m 21m 或b21时 ( )f x 在0，m上单调.18. （单调性，用到二阶导数的技巧）已知函数 xxf ln)( 若 )()()( Rax axfxF ，求 )(xF 的极大值；若 kxxfxG 2)()( 在定义域内单调递减，求满足此条件的实数k的取值范围.解：
30、 x axx axfxF ln)()( 定义域为 ),0( x2 ln)1()( x xaxF 令 aexxF 10)( 得 由 aexxF 100)( 得由 aexxF 10)( 得即 ),0()( 1 aexF 在 上单调递增，在 ),( 1 ae 上单调递减aex 1 时，F(x)取得极大值 11 )1( aaa ee aaeF kxxxG 2)(ln)( 的定义域为(0，+)， kxxxG ln2)(由G(x)在定义域内单调递减知： 0ln2)( kxxxG 在(0，+)内恒成立令 kxxxH ln2)( ，则 2 )ln1(2)( x xxH 由 exxH 得0)(当 ),0( ex
31、 时 )(,0)( xHxH 为增函数当 ),( ex 时 0)( xH ， )(xH 为减函数当x=e时，H(x)取最大值 keeH 2)(故只需 02 ke 恒成立， ek 2又当 ek 2 时，只有一点x=e使得 0)()( xHxG 不影响其单调性 .2ek 二、交点与根的分布19. （2008四川22，交点个数与根的分布）已知 3x 是函数 2( ) ln(1 ) 10f x a x x x 的一个极值点求a；导数常考题型总结第 18 页共 77 页求函数 ( )f x 的单调区间；若直线y b 与函数 ( )y f x 的图像有3个交点，求b的取值范围解： 2( ) ln(1 )
32、10f x a x x x ， ( ) 2 101af x xx 3x 是函数 2( ) ln(1 ) 10f x a x x x 的一个极值点(3) 4 04af ， 16a由 2( ) 16ln(1 ) 10f x x x x ， ( 1, )x 216 2 8 6 2( 1)( 3)( ) 2 101 1 1x x x xf x xx x x 令 ( ) 0f x ，得 1x ， 3x ， ( )f x 和 ( )f x 随x的变化情况如下：x ( 1,1) 1 (1,3) 3 (3, )( )f x 0 0 ( )f x增 极大值 减 极小值 增( )f x 的增区间是( 1,1) ，
33、(3, ) ；减区间是(1,3)由知， ( )f x 在( 1,1) 上单调递增，在(3, ) 上单调递增，在(1,3)上单调递减 ( ) (1) 16ln2 9f x f 极大 ， ( ) (3) 32ln2 21f x f 极小 又 1x 时， ( )f x ；x 时， ( )f x ；可据此画出函数 ( )y f x 的草图（图略），由图可知，当直线y b 与函数 ( )y f x 的图像有3个交点时，b的取值范围为(32ln2 21,16ln2 9) 20. （交点个数与根的分布）已知函数 2( ) 8 , ( ) 6ln .f x x x g x x m 求 ( )f x 在区间 ,
34、 1t t 上的最大值 ( );ht是否存在实数 ,m使得 ( )y f x 的图像与 ( )y g x 的图像有且只有三个不同的交点？若存在，求出m的取值范围；若不存在，说明理由。解： 2 2( ) 8 ( 4) 16.f x x x x 当 1 4,t 即 3t 时， ( )f x 在 , 1t t 上单调递增，2 2( ) ( 1) ( 1) 8( 1) 6 7;ht f t t t t t 当 4 1,t t 即3 4t 时， ( ) (4) 16;ht f 当 4t 时， ( )f x 在 , 1t t 上单调递减， 2( ) ( ) 8.ht f t t t 综上 22 6 7,
35、3,( ) 16, 3 4,8 , 4t t tht tt t t 函数 ( )y f x 的图像与 ( )y g x 的图像有且只有三个不同的交点，即函数( ) ( ) ( )x g x f x 的图像与x轴的正半轴有且只有三个不同的交点。22( ) 8 6ln ,6 2 8 6 2( 1)( 3)( ) 2 8 ( 0),x x x x mx x x xx x xx x x 导数常考题型总结第 19 页共 77 页当 (0,1)x 时， ( ) 0, ( )x x 是增函数；当 (0,3)x 时， ( ) 0, ( )x x 是减函数；当 (3, )x 时， ( ) 0, ( )x x 是
36、增函数；当 1,x 或 3x 时， ( ) 0.x ( ) (1) 7, ( ) (3) 6ln3 15.x m x m 最大值 最小值当x充分接近0时， ( ) 0,x 当x充分大时， ( ) 0.x 要使 ( )x 的图像与x轴正半轴有三个不同的交点，必须且只须( ) 7 0,( ) 6ln3 15 0,x mx m 最大值最小值 即7 15 6ln3.m 存在实数m，使得函数 ( )y f x 与 ( )y g x 的图像有且只有三个不同的交点，m的取值范围为(7,15 6ln3).21. （交点个数与根的分布）已知函数 .23)32ln()( 2xxxf 求f(x)在0,1上的极值；若
37、对任意 03)(ln|ln|,31,61 xxfxax 不等式 成立，求实数a的取值范围；若关于x的方程 bxxf 2)( 在0，1上恰有两个不同的实根，求实数b的取值范围.解： 23 )13)(1(3332 3)( x xxxxxf ，令 1310)( xxxf 或得 （舍去）)(,0)(,310 xfxfx 时当 单调递增；当 )(,0)(,131 xfxfx 时 递减.1,0)(613ln)31( 在为函数 xff 上的极大值.由 03)(ln|ln| xxfxa 得 xxaxxa 32 3lnln32 3lnln 或设 332ln32 3lnln)( 2xxxxxh ， xxxxxg
38、323ln32 3lnln)( ，依题意知 31,61)()( xxgaxha 在或 上恒成立，0)32( 2)32( 33)32(3332)( 2 xxx xxxxxg ，032 62)62(3132 3)( 22 xx xxxxxh ，31,61)()( 都在与 xhxg上单增，要使不等式成立，导数常考题型总结第 20 页共 77 页当且仅当 .51ln31ln),61()31( aagaha 或即或由 .0223)32ln(2)( 2 bxxxbxxf令 xxxxxbxxxx 32 972332 3)(,223)32ln()( 22 则 ，当 37,0)(,0)(,37,0 在于是时 x
39、xx 上递增；1,37)(,0)(,1,37 在于是时 xxx 上递减，而 )1()37(),0()37( ， 1,00)(2)( 在即 xbxxf 恰有两个不同实根等价于 0215ln)1( 067267)72ln()37( 02ln)0( b bb .37267)72ln(215ln b22. (2009宁夏，利用根的分布)已知函数 3 2( ) ( 3 ) xf x x x ax be 如 3a b ，求 ( )f x 的单调区间；若 ( )f x 在( , ),(2, ) 单调增加，在( ,2),( , ) 单调减少，证明： 6.w.w.w.k.s.5.u.c.o.m解： 3a b 时
40、， 3 2( ) ( 3 3 3) xf x x x x e ，故w.w.w.k.s.5.u.c.o.m3 2 2( ) ( 3 3 3) (3 6 3)x xf x x x x e x x e ( 3)( 3) xx x x e w.w.w.k.s.5.u.c.o.m当 3x 或0 3 ( ) 0;x f x 时， 当 3 0 3 ( ) 0.x x f x 或 时，从而 ( ) ( , 3),(0,3) 30 3f x 在 单调增加，在（ ，），（， ）单调减少. 3 2 2 3( ) ( 3 ) (3 6 ) ( 6) .x x xf x x x ax be x x a e e x a x b a 由条件得 3(2) 0, 2 2( 6) 0, 4 ,f a b a b a 即 故从而 3( ) ( 6) 4 2 .xf x e x a x a 因为 ( ) ( ) 0,f f 所以 3 ( 6) 4 2 ( 2)( )( )x a x a x x x 2(
