1、导数压轴题9(能力挑 战题) 设 f(x) ，其中 a 为正实数ex1 ax2(1)当 a 时，求 f(x)的极值点43(2)若 f(x)为 上的单调函数，求 a 的取值范围12，32解析 f( x) ，ax2 2ax 1ex1 ax22(1)当 a 时 ，若 f(x )0，则 4x28x 30x 1 ，x2 ，43 12 32x ( ，12) 12 (12，32) 32 (32， )f (x) 0 0 f(x) 极大值 极小值 x1 是极大值点，x 2 是极小值点12 32(2)记 g(x)ax 22ax 1，则g(x)a(x1) 21a，f(x)为 上的 单调函数，则 f(x)在 上不变号
2、，12，32 12，32 0，ex1 ax22g(x)0 或 g(x)0 对 x 恒成立，12，32又 g(x)的对称轴为 x1，故 g(x)的最小值为 g(1)，最大值为 g .(12)由 g(1)0 或 g 000，f(x)在 x1 处取得极值(2)由题意，得 xln xax 2 x .ln xx设 h(x) ，ln xx则 h(x) .1 ln xx2令 h(x)0，得 0e，h(x)在(e ，)上为减函数h(x)maxh(e) ，1ea .1e(3)由(2)知 h(x) 在(e， ) 上为减函数，ln xxh(x)h(x1)， .ln xx ln x 1x 1(x1)ln xx ln(
3、x1) ，ln xx1 ln(x1) x，xx1 (x1) x.令 x2 012，得 2 0122 0132 0132 012.11已知函数 f(x)ln(1x) (aR) ax1 x(1)求函数 f(x)的单调区间；(2)若数列a m的通项公式 am 2 013(mN *)，求证：(1 12 0132m 1)a1a2am0， 0，11 x a1 x2所以 f( x)0，即函数 f(x)的增区间为(1,1)，(1，)，无减区间；当 a0 时，f(x ) 11 x a1 x2 ，x2 2 ax 1 a1 x1 x2由 f( x)0，得 x2(2a)x1a0，此方程的两根 x1 ，x2 ，其中10
4、，所以 f(x)01x2，f(x)0 时，函数 f(x)的增区间为( 1， x1)，(x2， )，减区间为(x 1,1)，(1，x2)，其中 x1 ，a 2 a2 8a2x2 .a 2 a2 8a2(2)当 a1 时 ，由(1) 知，函数 f(x)ln(1x ) 在(0,1)上为减函数，x1 x则当 00，因为 xaa 20，故(xa)(x a 2)0.当 a0 时，因 aa 2a 且 aa 2a2，所以上面不等式的解集为(aa 2，)，从而此时函数 f(x)在(aa 2， )上单调递增当 a0，我们考察函数 g(x)x 2 a2x a 2，x(a2a，a 2a)32 a42 a32因 a 2
5、x 对称轴 ，且 0；4 (2k 4，2k 34)当 x (2k ，2k2)，即 x 时，f(x)0，x ，(0，2)所以 h(x)在 上为增函数，0，2所以 h(x)1，e 对 k 分类讨论 ：当 k1 时，g( x)0 恒成立，所以 g(x)在 上为增函数，所以 g(x)0，2ming(0)0，即 g(x)0 恒成立；当 10，恒有 f(x)0，求 p 的取值范围；(3)证明： 0，f(x )在(0， ) 上无极值点；当 p0 时，令 f(x )0，x (0，) ，1pf(x)， f(x)随 x 的变化情况如下表：x (0，1p) 1p (1p， )f (x) 0 f(x) 递增 极大值
6、递减从上表可以看出：当 p0 时，f(x)有唯一的极大值，当 x 时， f(x)ln p；即1p函数 f(x)的极值点是 .( 1p， ln p)(2)当 p0 时，在 x 处取得极大值 f ln ，此极大值也是最大值，1p (1p) 1p要使 f(x)0 恒成立，只需 f ln 0；(1p) 1pp1，p 的取 值范围为1 ，)(3)令 p1，由(2) 知， ln xx10，ln xx1，nN，n2，ln n 2n 21， 1 ，ln n2n2 n2 1n2 1n2 ln 222 ln 332 ln nn212(ln 2222 ln 3232 ln n2n2)12(1 122) (1 132
7、) (1 1n2)12n 1 (122 132 1n2)0；1e，e 1e当 1 2t 1 21 tt 12 1t 1t 4t 12 t 12tt 120，u(t)在(0,1) 上是增函数，则 u(t)ln(n1) 都成立34 49 n 1n2(3)是否存在实数 a(a0)，使得方程 f(x )(4a1)在区间 内2gx 1x (1e，e)有且只有两个不相等的实数根？若存在，请求出 a 的取值范围；若不存在，请说明理由解析 (1)F( x) 2x1 ，1x 1 x2x 3x 1当 x(1,0)时，F( x)0，x(0， )时，F( x)ln(n1) 34 49 n 1n2(3)把方程 f(x)
8、(4 a1)整理为2gx 1xax2(12a)xln x0.设 H(x)ax 2(12a)x ln x(x0)，原方程在区间 内有且只有两个不相等的实数根，即函数 H(x)在区间(1e，e)内有且只有两个零点(1e，e)H(x)2ax(12a) 1x 2ax2 1 2ax 1x ，2ax 1x 1x令 H(x) 0，因为 a0，解得 x1 或 x (舍)，12a当 x(0,1)时，H(x)0，H(x)是增函数， H(x)在 内有且只有两个不(1e，e)相等的零点，只需Error!即Error!Error!解得 10.令 g 0，函数 f(x)单调递增；ax2 2a 1x axx 12当 x 和(2 ，)时，(，12)f(x) 2 则1xh(x) 0，x 12x2则函数 h(x)单调递增，h( x)h(2)2ln 2 ，32ln 2 2ln 2 0.1 32a ，12，2)则 a ln 2 ，(ln 2 1) 34f(x1)f (x2)ln 2 .34
