1、 2.32 待定系数法求二次函数的解析式知识讲解（提高） 【学习目标】1. 能用待定系数法列方程组求二次函数的解析式；2. 经历探索由已知条件特点，灵活选择二次函数三种形式的过程，正确求出二次函数的解析式，二次函数三种形式是可以互相转化的 【要点梳理】要点一、用待定系数法求二次函数解析式1.二次函数解析式常见有以下几种形式 ：(1)一般式： (a，b，c 为常数，a0)；2yax(2)顶点式： (a，h，k 为常数，a0)；()(3)交点式： ( ， 为抛物线与 x 轴交点的横坐标，a0)12yx1x22.确定二次函数解析式常用待定系数法，用待定系数法求二次函数解析式的步骤如下第一步，设：先设
2、出二次函数的解析式，如 或 ，2yabc2()yaxhk或 ，其中 a0；12()yax第二步，代：根据题中所给条件，代入二次函数的解析式中，得到关于解析式中待定系数的方程(组)；第三步，解：解此方程或方程组，求待定系数；第四步，还原：将求出的待定系数还原到解析式中要点诠释：在设函数的解析式时，一定要根据题中所给条件选择合适的形式：当已知抛物线上的三点坐标时，可设函数的解析式为 ；当已知抛物线的顶点坐标或对称轴或最大值、最小值时可设函数的解2yaxbc析式为 ；当已知抛物线与 x 轴的两个交点(x 1，0)，(x 2，0)时，可设函数的解析式为()hk12yax【典型例题】类型一、用待定系数法
3、求二次函数解析式1. 已知抛物线 经过 A，B，C 三点，当 时，其图象如图 1 所示.求抛物线的解yaxbc2 x0析式，写出顶点坐标.图 1【答案与解析】设所求抛物线的解析式为 （ ）.yaxbc2a0由图象可知 A，B，C 的坐标分别为（0，2） ， （4，0） ， （5，-3）.解之，得cab2164053,， abc123,抛物线的解析式为 yx123yx123258()()该抛物线的顶点坐标为 .2，【总结升华】这道题的一个特点是题中没有直接给出所求抛物线经过的点的坐标，需要从图象中获取信息.已知图象上三个点时，通常应用二次函数的一般式列方程求解析式.要特别注意：如果这道题是求“图
4、象所表示的函数解析式” ，那就必须加上自变量的取值范围 .x02. 一条抛物线 经过点 与 .求这条抛物线的解析式.yxmn142()032， ()4，【答案与解析】抛物线 经过点（ ）和 ，yx2,(,)这条抛物线的对称轴是直线 .x2设所求抛物线的解析式为 .yh14()将点 代入，得 ，解得 .(,)03214023()h12这条抛物线的解析式为 ，即 .yx2()yx432【总结升华】解析式中的 a 值已经知道，只需求出 的值。已知条件给出了两个点，因此，可以从二次函数mn,的一般式入手列方程组解答.还可以从所给两点 的特征入手：这两点关于抛物线的对称轴(),0对称，因此可知对称轴是直
5、线 ，这样又可以从抛物线的顶点式入手.当点 M（ ）和 N（x2 xy1,）都是抛物线上的点时，若 ，则对称轴方程为 ，这一点很重要也很有用.xy2, y1 x123. 已知抛物线 的顶点坐标为（1，4） ，与 轴两交点间的距离为 6，求此抛物线的函axbc2数关系式.【答案与解析】因为顶点坐标为（1，4） ，所以对称轴为 ，又因为抛物线与 轴两交点的距离为 6，x1x所以两交点的横坐标分别为： ， ， 则两交点的坐标为（ ，0） 、 （2，0） ；求13234函数的函数关系式可有两种方法：解法 ：设抛物线的函数关系式为顶点式： (a0)，把（2，0）代入得 ，(1) yax()142 a9所
6、以抛物线的函数关系式为 ；yx4912()解法 ：设抛物线的函数关系式为两点式： (a0)，(2) ()（ -）把（1，4）代入得 ，a49所以抛物线的函数关系式为： ；(4)yx（ -2）【总结升华】在求函数的解析式时，要根据题中所给条件选择合适的形式.举一反三：【变式】已知一抛物线与 x轴的交点是 ， B（1，0） ，且经过点 C（2，8）.),(A（1）求该抛物线的解析式； （2）求该抛物线的顶点坐标.【答案】 （1） ；42y（2） .)9,(类型二、用待定系数法解题4. 如图所示，已知二次函数 的图象经过 A(2，0)，B(0，-6)两点21yxbc(1)求这个二次函数的解析式；(2
7、)设该二次函数图象的对称轴与 x 轴交于点 C，连接 BA，BC，求ABC 的面积【答案与解析】 (1)把 A(2，0)，B(0，-6)代入 21yxbc得 解得20,6,bc4,6.c 这个二次函数的解析式为 21yx(2) 该抛物线的对称轴为直线 ，42 点 C 的坐标为(4，0)， ACOC-OA4-22 1162ABSOA【总结升华】求ABC 的面积时，一般要将坐标轴上的边作为底边，另一点的纵（横）坐标的绝对值为高进行求解(1)将 A、B 两点坐标分别代入解析式求出 b，c 的值(2)先求出点 C 的坐标再求出ABC 的面积举一反三：【变式】已知二次函数图象的顶点是 ，且过点 (12)
8、， 302，（1）求二次函数的表达式；（2）求证：对任意实数 ，点 都不在这个二次函数的图象上.m()M，【答案】 （1） ；23xy（2）证明：若点 在此二次函数的图象上，则 ()， 221()m得 20= ，该方程无实根418所以原结论成立【巩固练习】一、选择题1. 对于任何的实数 t，抛物线 y=x 2 + (2-t) x + t 总经过一个固定的点，这个点是 ( )A. (l, 3) B.（-l, 0) C.（-1, 3) D. (1, 0)2如图所示为抛物线 的图象，A、B、C 为抛物线与坐标轴的交点，且 OAOC1，则下列关2yaxbc系中正确的是（ ）A B C D1ab1ab2
9、ba0c3在平面直角坐标系中，先将抛物线 关于 x 轴作轴对称变换，再将所得的抛物线关于 y 轴作轴2yx对称变换，那么两次变换后所得的新抛物线的解析式为( )A B C D2yx22y2yx4老师出示了小黑板上题后小华说：过点(3，0)；小彬说：过点(4，3)；小明说： a1，小颖说：抛物线被 x 轴截得的线段长为 2，你认为四个人的说法中，正确的有( )已知抛物线 与 x 轴交于(1，0)，试添23yab加一个条件，使它的对称轴为直线 x2A1 个 B2 个 C3 个 D4 个5将抛物线 绕它的顶点旋转 180，所得抛物线的解析式是( )16yxA B 2 216yxC D9yx 06如图
10、所示，正方形 ABCD 的边长为 1，E、F、G、H 分别为各边上的点，且 AEBFCGDH，设小正方形EFGH 的面积为 S，AE 为 x，则 S 关于 x 的函数图象大致是( )二、填空题7已知二次函数的图象经过原点及点 ，且图象与 x 轴的另一交点到原点的距离为 1，则该二次函1,24数的解析式为_ _8已知二次函数对称轴为 x2，且在 x 轴上截得的线段长为 6，与 y 轴交点为(0，-2)，则此二次函数的解析式为 9抛物线 上部分点的横坐标为 ，纵坐标 的对应值如下表：2yaxbcxyx -2 -1 0 1 2 y 0 4 6 6 4 从上表可知，下列说法中正确的是_ _ （填写序号
11、）抛物线与 x 轴的一个交点为（3，0） ；函数 的最大值为 6；2yaxbc抛物线的对称轴是 ；在对称轴左侧，y 随 x 增大而增大1210某同学利用描点法画二次函数， (a0)的图象时，列出的部分数据如下表：2axbcx 0 1 2 3 4y 3 0 -2 0 3经检查，发现表格中恰好有一组数据计算错误，请你根据上述信息写出二次函数的解析式：_11如图所示，已知二次函数 的图象经过点(-1，0)，(1，-2)，该图象与 x 轴的另一个交点为2yxbcC，则 AC 长为_第 11 题 第 12 题12在如图所示的直角坐标系中，已知点 A（1，0） ，B（0，-2） ，将线段 AB 绕点 A
12、按逆时针方向旋转 90至 AC（1）点 C 的坐标为 ；（2）若抛物线 经过点 C，则抛物线的解析式为 21yxa三、解答题13已知 (a0)经过 A(-3，2)，B(1，2)两点，且抛物线顶点 P 到 AB 的距离为 2，2bc求此抛物线的解析式14有一个二次函数的图象三位同学分别说出了它的一些特点：甲：对称轴是直线 x4；乙：与 x 轴两个交点的横坐标都是整数；丙：与 y 轴交点的纵坐标也是整数，且以这三个交点为顶点的三角形面积为 3，请写出满足上述全部特点的一个二次函数解析式15已知，如图所示，抛物线 与 x 轴相交于两点 A(1，0)，B(3，0)，与 y 轴相交于2yaxbc点 C(
13、0，3)(1)求抛物线的函数关系式；(2)若点 是抛物线 上的一点，请求出 m 的值，并求出此时ABD 的面积7,2Dm2yaxbc【答案与解析】一、选择题1.【答案】A；【解析】把 y=x 2 + (2-t) x + t 化为 y=x2+2x+(1-x)t, 因为对于任何的实数 t，抛物线 y=x 2 + (2-t) x + t 总经过一个固定的点，所以与 t 的值无关，即 1-x=0，x=1,代入y=x2+2x+(1-x)t,得 y=3,过定点（1,3） ，故选 A.2.【答案】B；【解析】由图知 A(-1，0)，C(0，1)代入 中得 a-b-12yaxbc0,1,abc3.【答案】C；
14、【解析】先将抛物线 关于 x 轴作轴对称变换，可得新抛物线为 ，2yx 2yx再将抛物线为 ，整理得 ()22yx4.【答案】C；【解析】小颖说的不对，其他人说的对5.【答案】D；【解析】此题容易误选 A、B，简单地认为改变。的符号，抛物线开口向下，或改变函数值的正负即可将抛物线 绕它的顶点旋转 180，所得的抛物线顶点坐标、对称轴不变，只是216yx开口方向向下因此，由 化为 ，因而所求抛物线解析式216yx2(3)yx即 2(3)yx06.【答案】B；【解析】 ABBCCDDA1，AEBFCGDHx， AHDGCFBE1-x ，1()2AEHBFCGDHSSx ，214()2x又 0x1，
15、其图象应为开口向上，自变量从 0 到 1 之间的抛物线部分，故选 B二、填空题7 【答案】 或 ；2yx23yx【解析】抛物线经过点(1，0)或(-1，0)8 【答案】 ； 285【解析】由对称轴 x2 和抛物线在 x 轴上截得的线段长为 6，可知抛物线与 x 轴的两个交点为(-1，0)，(5，0)，然后设交点式易求解 抛物线的对称轴为 x2，且在 x 轴上截得线段长为 6， 抛物线与 x 轴两交点为(-1，0)，(5，0)设二次函数解析式为 ya(x+1)(x-5) (a0)将点(0，2)代入上式得-2a(0+1)(0-5)， 因此二次函数解析式为 25a2(1)5yx即 8yx9 【答案】
16、 ；【解析】由纵坐标相等的点关于对称轴对称可得对称轴为 ，由表可知在 时 y 随 x 的增大而增大，12x12x与 x 轴的一个交点为(-2，0)，则另一个交点为(3，0)当 时，y 值最大，故错.10 【答案】 ；243y【解析】先描点，根据二次函数的图象找出错误的一组数据，再利用表内的数据的特点，选用 求解析式较简便12()ax由描点知，表内 ， 是错误的设 (a0)，y12()yax由表知 ，又点(0，3)在抛物线上，所以 3 a(0-1)(0-3)，所以 ()3yx 1a因此 ，即 1A243yx11 【答案】3；【解析】由 经过点(-1，0)，(1，-2)可得2yxbc 10,1,2
17、2yx其对称轴为 ，由对称性可求 C 点坐标为（2，0） ， .x 2(1)3AC12 【答案】 （1）(3，-1)；（2） .21yx【解析】(1)过点 C 作 CDx 轴，垂足为 D，在ACD 和BAO 中，由已知有CAD+BAO90，而ABO+BAO90， CADABO，又 CDAAOB90，且由已知有 CAAB， ACDBAO， CDOA1，ADBO2， 点 C 的坐标为(3，-1)；(2) 抛物线 ，经过点 C(3，-1)，yxa ，解得 ，21312 抛物线的解析式为 .yx三、解答题13.【答案与解析】 A(-3，2)，B(1，2)的纵坐标相同， 抛物线对称轴为 x-1又 顶点
18、P 到 AB 距离为 2， P(-l，0)或 P(-1，4)故可设抛物线解析式为 (a0)或 (a0)2(1)ya2(1)4yax将 B(1，2)分别代人上式得 或 或 21()yx2()4yx14.【答案与解析】答案不唯一 或 或(3)51(3)5yx2187yx或 2187yx设 (a0)，由甲所述知 ，由乙所述，知 ， 均为整数，12()yax128x1x2不妨取 ，则 ， ，由丙所述知 ，解得 ，()7ya()73a17 ，即 ()7yx28x15.【答案与解析】（1）由已知得 解之 0,93,abc1,43.abc243yx（2） 是抛物线 上的点， ，7,Dm2yx5m 1524ABDS
