1、 知识点与讲义1二次根式的运算知识点及经典试题知识点一：二次根式的乘法法则： （ ， ），即两个二次根式相乘，根指数不变，ab0b只把被开方数相乘.要点诠释：（1）在运用二次根式的乘法法则进行运算时，一定要注意：公式中 a、b 都必须是非负数； （2）该法则可以推广到多个二次根式相乘的运算：（3）若二次根式相乘的结果能化简必须化简，如 .416知识点二、积的算术平方根的性质： （ ， ），即积的算术平方根等于积中各因式ba0b的算术平方根的积.要点诠释：（1）在这个性质中，a、b 可以是数，也可以是代数式，无论是数，还是代数式，都必须满足 ，0a才能用此式进行计算或化简，如果不满足这个条件，等
2、式右边就没有意义，等式也就不能成立了；0（2） 二次根式的化简关键是将被开方数分解因数，把含有 形式的 移到根号外面.2a（3）作用：积的算术平方根的性质对二次根式化简（4）步骤：对被开方数分解因数或分解因式，结果写成平方因式乘以非平方因式即： 2利用积的算术平方根的性质 （ ， ）；ba0b利用 （一个数的平方的算术平方根等于这个数的绝对值）即)0(2aa被开方数中的一些因式移到根号外；（5）被开方数是整数或整式可用积的算术平方根的性质对二次根式化简知识点三、二次根式的除法法则： （ ， ），即两个二次根式相除，根指数不变，把被开ba0方数相除.要点诠释：（1）在进行二次根式的除法运算时，对
3、于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，其中 ，0a，因为 b 在分母上，故 b 不能为 0.0(2)运用二次根式的除法法则，可将分母中的根号去掉，二次根式的运算结果要尽量化简，最后结果中分母不能带根号.知识点四、知识点与讲义2商的算术平方根的性质 （ ， ） ，即商的算术平方根等于被除式的算术平方ba0根除以除式的算术平方根.要点诠释：（1）利用：运用次性质也可以进行二次根式的化简，运用时仍要注意符号问题. 对于公式中被开方数 a、b 的取值范围应特别注意，其中 ， ，因为 b 在分母上，故 b 不能为 0.a0（2）步骤：利用商的算术平方根的性质： （ ， ） b 分别对 ， 利用
4、积的算术平方根的性质 化简a b分母不能有根号，如果分母有根号要分母有理化，即 （ ）a2)(0（3） 被开方数是分数或分式可用商的算术平方根的性质对二次根式化简知识点五：最简二次根式1.定义：当二次根式满足以下两条：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.把符合这两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.在二次根式的运算中，最后的结果必须化为最简二次根式或有理式. 要点诠释：(1)最简二次根式中被开方数不含分母；(2)最简二次根式被开方数中每一个因数或因式的次数都小于根指数 2，即每个因数或因式从次数只能为 1 次.2.把二次根式化成最简二次根式的一般步骤：(1)把根
5、号下的带分数或绝对值大于 1 的数化成假分数，把绝对值小于 1 的小数化成分数；(2)被开方数是多项式的要进行因式分解； (3)使被开方数不含分母；(4)将被开方数中能开得尽方的因数或因式，用它们的算术平方根代替后移到根号外；(5)化去分母中的根号； (6)约分.3.把一个二次根式化简，应根据被开方数的不同形式，采取不同的变形方法.实际上只是做两件事：一是化去被开方数中的分母或小数；二是使被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.知识点六、同类二次根式1.定义：几个二次根式化成最简二次根式后，如果被开方数相同，那么这几个二次根式就叫做同类二次根式.要点诠释：(1)判断几个二次根式是否是同类二次根式
6、，必须先将二次根式化成最简二次根式，再看被开方数是否相同；(2)几个二次根式是否是同类二次根式，只与被开方数及根指数有关，而与根号外的因式无关.2.合并同类二次根式合并同类二次根式，只把系数相加减，根指数和被开方数不变.(合并同类二次根式的方法与整式加减运算中的合并同类项类似) 要点诠释：(1)根号外面的因式就是这个根式的系数； (2)二次根式的系数是带分数的要变成假分数的形式；(3)不是同类二次根式，不能合并知识点与讲义3知识点七、二次根式的加减二次根式的加减实质就是合并同类二次根式，即先把各个二次根式化成最简二次根式，再把其中的同类二次根式进行合并.对于没有合并的二次根式，仍要写到结果中.
7、在进行二次根式的加减运算时，整式加减运算中的交换律、结合律及去括号、添括号法则仍然适用.二次根式加减运算的步骤：(1)将每个二次根式都化简成为最简二次根式；(2)判断哪些二次根式是同类二次根式，把同类的二次根式结合为一组；(3)合并同类二次根式.知识点八、二次根式的混合运算二次根式的混合运算是对二次根式的乘除及加减运算法则的综合运用.要点诠释： (1)二次根式的混合运算顺序与实数中的运算顺序一样，先乘方，后乘除，最后算加减，有括号要先算括号里面的；(2)在实数运算和整式运算中的运算律和乘法公式在二次根式的运算中仍然适用；(3)二次根式混合运算的结果应写成最简形式，这个形式应是最简二次根式，或几
8、个非同类最简二次 式之和或差，或是有理 式.规律方法指导二次根式的运算，主要研究二次根式的乘除和加减.(1)二次根式的乘除，只需将被开方数进行乘除，其依据是：； ；(2)二次根式的加减类似于整式的加减，关键是合并同类二次根式.通常应先将二次根式化简，再把同类二次根式合并.二次根式运算的结果应尽可能化简.经典例题透析类型一、二次根式的乘除运算1、计算 (1) ； (2) ； (3) ； (4) .解：(1) = ； (2) = = ；(3) = =9 ； (4) = = .2、计算：(1) ； (2) ； (3) ； (4) .知识点与讲义4思路点拨：直接利用 便可直接得出答案解：(1) = =
9、 =2； (2)= = 2=2 ；(3) = = =2； (4) = = =2 .3、化简(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5) .思路点拨：利用 直接化简即可解：(1) = =34=12； (2) = =49=36；(3)= =910=90； (4) = = =3xy (5) = = =3 .举一反三【变式 1】判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正：(1) ； (2) =4 =4 =4 =8.解：(1)不正确 改正： = =23=6；(2)不正确改正： = = = = 4 .4、化简：(1) ； (2) ； (3) ； (4) .知识点与讲义5思路点拨：直接利用 就可以达
10、到化简之目的解：(1) = (2) = (3) = ； (4)= .举一反三【变式 1】已知 ，且 x 为偶数，求(1+x) 的值思路点拨：式子 = ，只有 a0，b0 时才能成立因此得到 9-x0 且 x-60，即 6x9，又因为 x 为偶数，所以 x=8解：由题意得 ，即6x9，x 为偶数，x=8原式=(1+x) =(1+x) =(1+x) =当 x=8 时，原式的值= =65、计算(1) (- ) (m0，n0)； (2)-3 ( ) (a0).解：(1)原式=- =- = =- ；(2)原式=-2 =-2 =- a.类型二、最简二次根式的判别6、下列各式中，哪些是最简二次根式？哪些不是
11、？请说明理由.(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) .思路点拨：判断一个二次根式是不是最简二次根式，就看它是否满足最简二次根式的两个条件：(1)知识点与讲义6被开方数不含分母；(2)被开方数中不含能开得尽方的因数或因式；不满足其中任何一条的二次根式都不是最简二次根式.解： 和 都是最简二次根式，其余的都不是，理由如下：的被开方数是小数，能写成分数，含有分母； 和 的被开方数中都含有分母；和 的被开方数中分别含有能开得尽方的因数和因式.总结升华：对于最简二次根式的判断，一定要把握其实质，既要注意其中的“似是而非”，还要注意其中的“似非而是”，特别象 这样的式子，带有
12、很大的隐蔽性，更应格外小心.7、把下列各式化成最简二次根式.(1) ； (2) ； (3) ； (4) ； (5)思路点拨：把被开方数分解因数或分解因式，再利用积的算术平方根的性质及 进行化简.解：(1) ；(2) ；(3) ； (4) ；(5) .类型三、同类二次根式8、如果两个最简二次根式 和 是同类二次根式，那么 a、b 的值是( )A.a=2，b=1 B.a=1，b=2 C.a=1，b=-1 D.a=1，b=1思路点拨：根据同类二次根式的识别方法，在最简二次根式的前提下，被开方数相同.解：根据题意，得知识点与讲义7解之，得 ，故选 D.总结升华：同类二次根式必须满足两个条件：(1)根指
13、数是 2；(2)被开方数相同；由此可以得到关于a、b 的二元一次方程组，此类问题都可如此.举一反三【变式 1】下列根式中，能够与 合并的是( ) A. B. C. D.思路点拨：首先要把不是最简二次根式的化成最简二次根式，然后比较它们的被开方数是否相同，如果相同，就能进行合并，反之，则不能合并.解： 合并，故选 B.总结升华：同类二次根式的判断，关键是能够熟练准确地化二次根式为最简二次根式.【变式 2】若最简根式 与根式 是同类二次根式，求 a、b 的值思路点拨：同类二次根式是指几个二次根式化成最简二次根式后，被开方数相同；事实上，根式 不是最简二次根式，因此把 化简成|b| ，才由同类二次根
14、式的定义得 3a-b=2，2a-b+6=4a+3b解：首先把根式 化为最简二次根式：= =|b|由题意得 ， ，a=1，b=1.类型四、二次根式的加减运算9、计算(1) + (2) -思路点拨：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式；第二步，将相同的最简二次根式进行合并解：(1) + =2 +3 =(2+3) =5 (2) - =4 -8 =(4-8) =-4总结升华：一定要注意二次根式的加减要做到先化简，再合并.举一反三 【变式 1】计算(1)3 -9 +3 ； (2)( + )+( - )；知识点与讲义8(3) ； (4) .解：(1)3 -9 +3 =12 -3 +6 =(12-
15、3+6) =15 ；(2)( + )+( - )= + + - =4 +2 +2 - =6 + ；(3) (4) 【变式 2】已知 2.236，求( - )-( + )的值(结果精确到 0.01)解：原式=4 - - - = 2.2360.45.类型五、二次根式的混合运算10、计算:(1)( + ) (2)(4 -3 )2 .思路点拨：二次根式仍然满足整式的运算规律，所以直接可用整式的运算规律解：(1)( + ) = + = + =3 +2 ；(2)(4 -3 )2 =4 2 -3 2 =2 - .11、计算(1)( +6)(3- )； (2)( + )( - ).（3） 202013_A思路
16、点拨：二次根式的多项式乘以多项式运算在乘法公式运算中仍然成立解：(1)( +6)(3- )=3 -( )2+18-6 =13-3 ；知识点与讲义9(2)( + )( - )=( )2-( )2=10-7=3.（3）略类型六、化简求值 12、已知 4x2+y2-4x-6y+10=0，求( +y2 )-(x2 -5x )的值思路点拨：本题首先将已知等式进行变形，把它配成完全平方式，得(2x-1) 2+(y-3)2=0，即x= ，y=3其次，根据二次根式的加减运算，先把各项化成最简二次根式，再合并同类二次根式，最后代入求值解：4x 2+y2-4x-6y+10=04x 2-4x+1+y2-6y+9=0
17、(2x-1) 2+(y-3)2=0x= ，y=3原式= +y2 -x2 +5x=2x + -x +5=x +6当 x= ，y=3 时，原式= +6 = +3 .举一反三【变式 1】先化简，再求值(6x + )-(4y + )，其中 x= ，y=27解：原式=6 +3 -(4 +6 )=(6+3-4-6) =- ，当 x= ，y=27 时，原式=- =- .【变式 2】.已知 x= 2+1，求（ 2211xx） 的值类型七、二次根式的应用与探究13、一个底面为 30cm30cm 长方体玻璃容器中装满水，现将一部分水倒入一个底面为正方形、高为 10cm 铁桶中，当铁桶装满水时，容器中的水面下降了
18、20cm，铁桶的底面边长是多少厘米？知识点与讲义10解：设底面正方形铁桶的底面边长为 x，则 x210=303020，x 2=30302，x= =30 答：铁桶的底面边长是 30 厘米.14、如图所示的 RtABC 中，B=90，点 P 从点 B 开始沿 BA 边以 1 厘米/秒的速度向点 A 移动；同时，点 Q 也从点 B 开始沿 BC 边以 2 厘米/秒的速度向点 C 移动问：几秒后PBQ 的面积为 35 平方厘米？PQ 的距离是多少厘米？(结果用最简二次根式表示)15、探究过程：观察下列各式及其验证过程(1)2 =验证：2 = = = =(2)3 =验证：3 = = = = =同理可得：
19、45 ，通过上述探究你能猜测出： a =_(a0)，并验证你的结论知识点与讲义11解：a =验证：a = = = .总结升华：解答此类问题的特点是根据题目给出的条件，寻找内在联系和一般规律，然后猜想所求问题的结果，有利于提高综合分析能力.【变式 1】对于题目“化简求值： 1a+ 2，其中 a=15”，甲、乙两个学生的解答不同甲的解答是： 1a+ 2= + 2()a= + a= 249a乙的解答是： + 2= 1+ 2()= 1+a =a=5谁的解答是错误的？为什么？跟踪练习21.1 二次根式：1. 使式子 有意义的条件是 。 2. 当 时，4x _有意义。213. 若 有意义，则 的取值范围是
20、 。 4. 当 时， 是二mm_x21x次根式。5. 在实数范围内分解因式： 。429_,xx6. 若 ，则 的取值范围是 。 7. 已知 ，则 的取值范24x 2xx围是 。8. 化简： 的结果是 。 9. 当 时，21x 15。15_x10. 把 的根号外的因式移到根号内等于 。 11. 使等式 成a 11xxA立的条件是 。12. 若 与 互为相反数，则 。1b24b205_ab知识点与讲义1213. 在式子 中，二次根式有（ 230,212,0,1,xyxxy）A. 2 个 B. 3 个 C. 4 个 D. 5 个14. 下列各式一定是二次根式的是（ ） A. B. C. D. 732
21、m21aab15. 若 ，则 等于（ ）A. B. C. 23223a52a12a5D. 1a16. 若 ，则 （ ） A. B. C. 42AA2422D. 217. 若 ，则 化简后为（ ）1a3aA. B. C. D. 1a1a1a18. 能使等式 成立的 的取值范围是（ ）A. B. C. 2xx2x0x2xD. x19. 计算： 的值是（ ） A. 0 B. C. D. 221aa 4a4a或2420. 下面的推导中开始出错的步骤是（ ） 2312324 A. B. C. D. 1221. 若 ，求 的值。40xyxy知识点与讲义1322. 当 取什么值时，代数式 取值最小，并求出这
22、个最小值。a21a23. 化简：（1） ； （2） ； （3） ； （4） 2700 202 1621681 8a2bc2（5） ； （6） ； （7） ； （8） ；205 1432a3b4 a4 a2b2 z254x2y21.2 二次根式的乘除1. 当 ， 时， 。2. 若 和 都是最简二次根式，则0ab3_a2mn32mn。_,_mn3. 计算： 。4. 计算：2;369_。48327_5. 长方形的宽为 ，面积为 ，则长方形的长约为 （精确到 0.01）。6. 下列各式不是最6简二次根式的是（ ）A. B. C. D. 21a21x24b0.1y7. 已知 ，化简二次根式 的正确结果为
23、（ ） A. B. C. 0xy2yyD. 知识点与讲义148. 对于所有实数 ，下列等式总能成立的是（ ）,abA. B. C. D. 22ab22ab2a9. 和 的大小关系是（ ）3A. B. C. D. 不能确定2232310. 对于二次根式 ，以下说法中不正确的是（ ）29xA. 它是一个非负数 B. 它是一个无理数 C. 它是最简二次根式 D. 它的最小值为 311. 计算：1.2 32.5x33540,abab364.0,abb 2125.35532.a12. 化简：351.0,ab2.xy321.a知识点与讲义1513. 把根号外的因式移到根号内：1.5 12.x21.3 二次
24、根式的加减1. 下列根式中，与 是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3241232182. 下面说法正确的是（ ）A. 被开方数相同的二次根式一定是同类二次根式 B. 与 是同类二次根式80C. 与 不是同类二次根式 D. 同类二次根式是根指数为 2 的根2150式3. 与 不是同类二次根式的是（ ） A. B. C. D. 3ab 2abba1ab34. 下列根式中，是最简二次根式的是（ ） A. B. C. 0.2b12ab2xyD. 25ab5. 若 ，则 化简的结果是（ ） A. B. 1x241xxx21xC. 3 D. -36. 若 ，则 的值等于（ ） A. 4 B
25、. C. 2 D. 8210x 47. 若 的整数部分为 ，小数部分为 ，则 的值是（ ） A. B. C. 3y3xy33知识点与讲义161 D. 38. 下列式子中正确的是（ ）A. B. C. D. 5272abaxbax68349. 在 中，与 是同类二次根式的是 。,12,0210.若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。15a34ba_,_ab11. 一个三角形的三边长分别为 ，则它的周长是 cm。8,1,8cmc12. 若最简二次根式 与 是同类二次根式，则 。24a26313. 已知 ，则 。3,xy3_xy14. 已知 ，则 。 15. 。21_x202013_A16. 计算：. . 2135483 148523. . 274335122221313（5）. （6）2211aa)54()391( 32 yxyx知识点与讲义1717. 已知： ，求 的值。10a21a18. 已知： 为实数，且 ，化简： 。,xy13yx23816yy19. 已知 的值。10392yxxy， 求
