1、排列组合试题精选一、选择题1、如图，是中国西安世界园艺博览会某区域的绿化美化示意图，其中 A、B、C、D 是被划分的四个区域， 现有 6 种不同颜色的花，要求每个区域只能栽同一种花，允许同一颜色的花可以栽在不同的区域，但相邻的区域不 能栽同一色花，则不同的栽种方法共有（ ）种 。A120 B240 C360 D4802、设三位数 ，若以 为三条边的长可以构成一个等腰（含等边）三角形，则这样的三位数 共有（ ）A185 个 B170 个 C165 个 D156 个 3、对任意正整数 ，定义 的双阶乘 如下：当 为偶数时， 6当 为奇数时， 5现有四个命题： ， 200 6!= !， 个位数为 0
2、， 个位数为 5其中正确的个数为（ ）A.1 B.2 C.3 D.4 4、在正五棱柱的 10 个顶点中任取 4 个，此四点不共面的取法种数为A175 B180 C185 D190 5、某人设计一项单人游戏，规则如下：先将一棋子放在如图所示正方形 （边长为 个单位）的顶点 处，然后通过掷骰子来确定棋子沿正方形的边按逆时针方向行走的单位，如果掷出的点数为 （ ），则棋子就按逆时针方向行走 个单位，一直循环下去则某人抛掷三次骰子后棋子恰好又回到点 处的所有不同走法共有A 种 B 种 C 种 D 种6、如果三位正整数如“ ”满足 ，则这 样的三位数称为凸数（如 120,352）那么，所有的三位 凸数的
3、个数为 （ ）（A）240 （B）204 （C）729 （D）920DCCBCA 3、填空题7、用红、黄、蓝三种颜色之一去涂图中标号为 的 个小正方形（如下图） ，使得任意相邻（有公共边的）小正方形所涂颜色都不相同，且标号为“ 、 、 ”的小正方形涂相同的颜色，则符合条件的所有涂法共有 108种 8、将 2 个 a 和 2 个 b 共 4 个字母填在如图所示的 16 个小方格内，每个小 方格内至多填 1 个字母，若使所有字母既不同行也不同列，则不同的填法共有 144 种（用数字作答）9、如图：用四种不同颜色给图中的 ABCDEF 六个点涂色，要求每个点涂一种颜色，且图中每条线段的两个端点涂不同
4、的颜色，则不同的涂色方法共有 种（用数字作答）264分两类讨论：第一类，用 到 3 种颜色，先给 ABC 三点涂色，因 A、B、C 两两相邻，所以颜色互不相同，有种涂法，再给 DEF 涂色，因 A 与 D，B 与 E，C 与 F 颜色不同，故有 2 种，由乘法原理得 ；第二类， 4种颜色都用到，先给 A BC 三点涂色，有 种涂法，再给 DEF 涂色，因 为 DEF 中必有一点用到第4 种颜色 ，所以另外两点用到 ABC 三点所用颜色中的两种 ，此时涂法确定，由乘法原理得 所以共有 + =264 种 二、简答题10、已知 ，（）若 ，求 的值；（）若 ，求 中含 项的系数；（）证明：解：（）因
5、为 ,所以 ,又 ,所以 （1）（2）（1）-（2）得：所以： 2 分（）因为 ，所以中含 项的系数为 4 分（）设 (1)则函数 中含 项的系数为 7 分(2)(1)-(2)得中含 项的系数，即是等式左边含 项的系数，等式右边含 项的系数为11 分所以 11、 构造如图所示的数表，规则如下：先排两个 l 作为第一层，然后在每一层的相邻两个数之间插入这两个数和的a 倍得下一层，其中 a（ ），设第 n 层中有 an个数，这 an个数的和为 。（I）求 an；（）证明：解：（）由题意可得，则 得 4 分（）先求 ，同（）， ，令 ，则 ，下证 为单调增数列：只需证所以又对于正数 ，由二项式定理所
6、以又因为 ，所以 所以 。12、已知 ， 或 1， ，对于 ， 表示U 和 V 中相对应的元素不同的个数（）令 ，存在 m 个 ，使得 ，写出 m 的值；（）令 ，若 ，求证： ；（）令 ，若 ，求所有 之和【考点】计数原理的应用【专题】计算题；证明题；综合题；压轴题；新定义【分析】（）根据 d（U，V）可知 m=C52；（）根据 ai=0 或 1，i=1，2，n，分类讨论 ai=0，b i=0 时，|a i|+|bi|=0=|ai-bi|；当 ai=0，b i=1 时，|ai|+|bi|=1=|ai-bi|；当 ai=1，b i=0 时，|a i|+|bi|=1=|ai-bi|；当 ai=1
7、，b i=1 时，|a i|+|bi|=2|a i-bi|=0，可证，|a i|+|bi|a i-bi|，再相加即可证明结论；（）易知 Sn中共有 2n个元素，分别记为 vk（k=1，2，3，2 n，v=（b 1，b 2，b 3，b n）b i=0 的 vk共有 2n-1个，bi=1 的 vk共有 2n-1个然后求和即可【解答】解：（）VS 5，d（U，V）=2，C 52=10，即 m=10；（）证明：令 U=（a 1，a 2，a 3，a n），V=（b 1，b 2，b 3，b n）a i=0 或 1，b i=0 或 1；当 ai=0，b i=0 时，|a i|+|bi|=0=|ai-bi|当
8、 ai=0，b i=1 时，|a i|+|bi|=1=|ai-bi|当 ai=1，b i=0 时，|a i|+|bi|=1=|ai-bi|当 ai=1，b i=1 时，|a i|+|bi|=2|a i-bi|=0故，|a i|+|bi|a i-bi|d（U，W）+d（V，W）=（a 1+a2+a3+an）+（b 1+b2+b3+bn）=（|a 1|+|a2|+|a3|+|an|）+（|b 1|+|b2|+|b3|+|bn|）|a 1-b1|+|a2-b2|+|a3-b3|+|an-bn|=d（U，V）；（）解：易知 Sn中共有 2n个元素，分别记为 vk（k=1，2，3，2 n，v=（b 1，
9、b 2，b 3，b n）b i=0 的 vk共有 2n-1个，b i=1 的 vk共有 2n-1个d（U，V）=2 n-1（|a 1-0|+|a1-1|+|a2-0|+a2-1|+|a3-0|+|a3-1|+|an-0|+|an-1|=n2n-1d（U，V）=n2 n-1【点评】此题是个难题本题是综合考查集合推理综合的应用，这道题目的难点主要出现在读题上，需要仔细分析，以找出解题的突破点题目所给的条件其实包含两个定义，第一个是关于 Sn的，其实 Sn中的元素就是一个 n 维的坐标，其中每个坐标值都是 0 或者 1，也可以这样理解，就是一个 n 位数字的数组，每个数字都只能是 0 和 1，第二个定义 d（U，V）
