1、1第 2 课时 对数的运算性质及换底公式学习目标 1.掌握对数的运算性质，能运用运算性质进行对数的有关计算(重、难点)；2.了解换底公式，能用换底公式将一般对数化为自然对数或常用对数(重、难点)预习教材 P8085 完成下列问题：知识点一 对数的运算性质如果 a0， a1， M0， N0，则：(1)loga(MN)log aMlog aN；(2)logaMn nlogaM(nR)；(3)loga log aMlog aNMN思考 当 M0， N0 时，log a(M N)log aMlog aN，log a(MN)log aMlogaN 是否成立？提示 不一定成立【预习评价】 (正确的打“”
2、，错误的打“”)(1)若 MN0，则 loga(MN)log aMlog aN.( )(2)logaxlog aylog a(x y)( )(3)对数的运算性质(1)log a(MN)log aMlog aN 能推广为 loga(a1a2an)log aa1log aa2log aan(a0 且 a1， an0， nN *)( )提示 (1)错误 M 和 N 为负数时 logaM 和 logaN 无意义(2)错误log axlog aylog a(xy)(3)正确能 loga(a1a2an1 )anlog a(a1a2an1 )log aanlog a(a1a2an2 )log aan1 lo
3、g aanlog aa1log aa2log aan答案 (1) (2) (3)知识点二 换底公式logbN (a， b0， a， b1， N0)logaNlogab【预习评价】1换底公式中底数 a 是特定数还是任意数？提示 是大于 0，且不等于 1 的任意数2换底公式有哪些作用？提示 利用换底公式可以把不同底数的对数化为同底数的对数，便于应用对数的运算性质进行化简、求值知识点三 常用结论2由换底公式可以得到以下常用结论：(1)logab ；1logba(2)logablogbclogca1；(3)loganbnlog ab；(4)loganbm logab；mn(5) blog ablog
4、1a【预习评价】1计算 log2781( )A. B 43 34C D23 32解析 log 2781log 3334 lg 34lg 33 43答案 A2计算 log42log 48_解析 log 42log 48log 4162答案 23结合教材 P8182，例 4 和例 5，你认为应怎样利用对数的运算性质计算对数式的值？提示 第一步：将积、商、幂、方根的对数直接运用运算性质转化第二步：利用对数的性质化简、求值题型一 利用对数的运算性质化简、求值【例 1】 计算下列各式的值(1) lg lg lg ；12 3249 43 8 245(2)lg 25 lg 8lg 5lg 20(lg 2)
5、223解 (1)法一 原式 (5lg 22lg 7) lg 2 (2lg 7lg 5)12 43 32 12 lg 2lg 72lg 2lg 7 lg 552 123 lg 2 lg 5 (lg 2lg 5) lg 1012 12 12 12 12法二 原式lg lg 4lg (7 )lg427 5 427574lg( )lg 2 5 1012(2)原式2lg 52lg 2lg 5(2lg 2lg 5)(lg 2)22lg 10(lg 5lg 2)22(lg 10) 2213规律方法 1.对于同底的对数的化简，常用方法是(1)“收” ，将同底的两对数的和(差)收成积(商)的对数(2)“拆” ，
6、将积(商)的对数拆成对数的和(差)2对数式的化简，求值一般是正用或逆用公式要养成正用、逆用、变形应用公式的习惯，lg 2 lg 51 在计算对数值时会经常用到，同时注意各部分变形要化到最简形式【训练 1】 计算下列各式的值(1)(lg 5)22lg 2(lg 2) 2；(2) lg 3 25lg 9 35 lg27 lg3lg 81 lg 27解 (1)原式(lg 5) 2lg 2(2lg 2)(lg 5) 2(1lg 5)lg 2(lg 5) 2lg 2lg 5lg 2(lg 5lg 2)lg 5lg 2lg 5lg 21(2)原式lg 3 45lg 3 910lg 3 12lg 34lg
7、3 3lg 3 (1 45 910 12)lg 3 4 3 lg 3 115题型二 利用换底公式化简、求值【例 2】 计算下列各式的值(1)lg 20log 10025；(2)(log2125log 425log 85)(log1258log 254log 52)解 (1)lg 20log 100251lg 2 1lg 2lg 52lg 25lg 1004(2)(log2125log 425log 85)(log1258log 254log 52)(log 253log 2252log 235)(log5323log 5222log 52) log25(111)log 52(3 113) 31
8、3133规律方法 (1)在化简带有对数的表达式时，若对数的底不同，需利用换底公式(2)常用的公式有：log ablogba1，log anbm logab，mnlogab 等1logba【训练 2】 (1)(log 29)(log34)等于( )A. B 14 12C2 D4(2)log2 log3 log5 _15 18 19解析 (1)(log 29)(log34)(log 232)(log322)2log 23(2log32)4log 23log324(2)原式 lg125lg 2lg18lg 3lg19lg 5 12 2lg 5 3lg 2 2lg 3lg 2lg 3lg 5答案 (1
9、)D (2)12考查方向题型三 换底公式、对数运算性质的综合运用方向 1 含有附加条件的对数式或指数式的求值【例 31】 (1)已知 log189 a,18b5，求 log3645(2)设 3a4 b36，求 的值2a 1b解 (1)法一 log 189 a,18b5，log 185 b于是 log3645 log1845log1836 log18 59log18 182 log189 log1851 log182 a b1 log18189 a b2 a法二 log 189 a,18b5，log 185 b5于是 log3645 log18 95log181829 log189 log185
10、2log1818 log189 a b2 a法三 log 189 a,18b5，lg9 alg 18，lg 5 blg 18，log 3645 lg 95lg1829 lg9 lg52lg18 lg9 alg 18 blg 182lg 18 alg 18 a b2 a(2)法一 由 3a4 b36，得 alog 3362log 36， blog 436log 2262log 26 log 63log 62log 6(23)log 6612a 1b 22log36 1log26法二 对已知条件取以 6 为底的对数，得 alog632， blog621， log 63， log 62，2a 1b于
11、是 log 63log 62log 6612a 1b方向 2 与方程的综合应用【例 32】 解下列方程(1) (lg xlg 3)lg 5 lg(x10)；12 12(2)lg x2log (10x)x2；(3)log(x21) (2x23 x1)1解 (1)首先，方程中的 x 应满足 x10，其次，原方程可化为 lg lg ，x3 5x 10 ，即 x210 x750x3 5x 10解得 x15 或 x5(舍去)，经检验， x15 是原方程的解(2)首先， x0 且 x ，110其次，原方程可化为 lg x 2，即 lg2xlg x202lg x1 lg x令 tlg x，则 t2 t20，
12、解得 t1 或 t2，即 lg x1 或 lg x2， x10 或 x 11006经检验， x10， x 都是原方程的解1100(3)首先， x210 且 x211，即 x1 或 x0，得 x112综上可知， x1 或 x1 或 x03 (14) ( 14) 116又当 x(0，)时， f(x)log 2x， f(f(f(2 ) f log2 43 (116) 116规律方法 (1)带有附加条件的对数式或指数式的求值问题，需要对已知条件和所求式7子进行化简转化，原则是化为同底的对数，以便利用对数的运算性质要整体把握对数式的结构特征，灵活运用指数式与对数式的互化(2)解对数方程时，先由对数有意义
13、(真数大于 0，底数大于 0 且不等于 1)求出未知数的取值范围，去掉对数值符号后，再解方程，此时只需检验其解是否在其取值范围内即可，这样做可以避免烦琐的计算课堂达标1若 lg xlg y a，则 lg 3lg 3( )(x2) (y2)A3 a B a32C a Da2解析 lg 3lg 33(lg xlg y)3 a(x2) (y2)答案 A2已知 ln 2 a，ln 3 b，那么 log32 用含 a， b 的代数式表示为( )A a b BabC ab D a b解析 log 32 ln 2ln 3 ab答案 B3log 510log 5 _12解析 原式log 5 log 551(1
14、012)答案 14log 23log34_解析 原式 2lg 3lg 2 lg 4lg 3答案 25计算： (lg 32lg 2)lg 2 lg 5 lg 12lg12 lg 8解 原式 lglg 25 0lg(12)28 3228 lg 2441lg 2课堂小结1换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用，逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简2运用对数的运算性质应注意：(1)在各对数有意义的前提下才能应用运算性质(2)根据不同的问题选择公式的正用或逆用(3)在运算过程中避免出现以下错误：log aNn(log aN)n，log a(MN)log aMlogaN，log aMlogaNlog a(MN)
