1、 1离散数学课后习题答案 (左孝凌版)1-1,1-2 解:a) 是命题,真值为 T。b) 不是命题。c) 是命题,真值要根据具体情况确定。d) 不是命题。e) 是命题,真值为 T。f) 是命题,真值为 T。g) 是命题,真值为 F。h) 不是命题。i) 不是命题。(2) 解:原子命题:我爱北京天安门。复合命题:如果不是练健美操,我就出外旅游拉。(3) 解:a) (P R)Q b) QRc) P d) PQ(4) 解:a)设 Q:我将去参加舞会。R:我有时间。P:天下雨。Q (RP):我将去参加舞会当且仅当我有时间和天不下雨。b)设 R:我在看电视。Q:我在吃苹果。 2RQ:我在看电视边吃苹果。
2、c) 设 Q:一个数是奇数。R:一个数不能被 2除。(QR)(RQ):一个数是奇数,则它不能被 2整除并且一个数不能被 2整除,则它是奇数。(5) 解:a) 设 P:王强身体很好。Q:王强成绩很好。PQ b) 设 P:小李看书。Q:小李听音乐。PQc) 设 P:气候很好。Q:气候很热。PQd) 设 P: a 和 b是偶数。Q:a+b 是偶数。PQe) 设 P:四边形 ABCD是平行四边形。Q :四边形 ABCD的对边平行。PQf) 设 P:语法错误。Q:程序错误。R:停机。 (P Q) R(6) 解:a) P:天气炎热。Q:正在下雨。 PQb) P:天气炎热。R:湿度较低。 PRc) R:天正
3、在下雨。S:湿度很高。 RSd) A:刘英上山。B:李进上山。 ABe) M:老王是革新者。N:小李是革新者。 MNf) L:你看电影。M:我看电影。 LMg) P:我不看电视。Q:我不外出。 R:我在睡觉。 PQRh) P:控制台打字机作输入设备。Q:控制台打字机作输出设备。PQ1-3(1)解: 3a) 不是合式公式,没有规定运算符次序(若规定运算符次序后亦可作为合式公式)b) 是合式公式c) 不是合式公式(括弧不配对)d) 不是合式公式(R 和 S之间缺少联结词)e) 是合式公式。 (2)解: a) A是合式公式,(AB)是合式公式,(A(AB) 是合式公式。这个过程可以简记为:A;(AB
4、);(A(AB) 同理可记b) A;A ;(AB) ;(AB)A)c) A;A ;B;(AB) ;(BA) ;(AB)(BA)d) A;B;(AB) ;(BA) ;(AB)(BA)(3)解:a)(AC)(BC)A)(BC)A)(AC)b)(BA)(AB)。(4)解:a) 是由 c) 式进行代换得到,在 c) 中用 Q代换 P, (PP)代换 Q.d) 是由 a) 式进行代换得到,在 a) 中用 P(QP)代换 Q.e) 是由 b) 式进行代换得到,用 R代换 P, S代换 Q, Q代换 R, P代换 S.(5)解:a) P: 你没有给我写信。 R: 信在途中丢失了。 P Q 4b) P: 张
5、三不去。Q: 李四不去。R: 他就去。 (PQ)Rc) P: 我们能划船。 Q: 我们能跑步。 (PQ)d) P: 你来了。Q: 他唱歌。R: 你伴奏。 P(QR)(6)解:P:它占据空间。 Q:它有质量。 R:它不断变化。 S:它是物质。这个人起初主张:(PQR) S后来主张:(PQS)(SR)这个人开头主张与后来主张的不同点在于:后来认为有 PQ 必同时有 R,开头时没有这样的主张。(7)解:a) P: 上午下雨。 Q:我去看电影。 R:我在家里读书。 S:我在家里看报。(PQ)(P(RS)b) P: 我今天进城。Q:天下雨。QPc) P: 你走了。 Q:我留下。QP1-4(4)解:a)
6、P Q R QR P(QR) PQ (PQ)RT T TT T FT F TT F FF T TTFFFTTFFFFTTFFFTFFFF 5F T FF F TF F FFFFFFFFFFFFF所以,P(QR) (PQ)Rb)P Q R QR P(QR) PQ (PQ)RT T TT T FT F TT F FF T TF T FF F TF F F 所以,P(QR) (PQ)R ) ()()() 6 所以,P(QR) (PQ)(PR) )P Q P Q PQ (PQ) PQ (PQ)T TT FF TF FFFTTFTFTFTTTFTTTFFFTFFFT 7所以,(PQ) PQ, (PQ)
7、PQ(5)解:如表,对问好所填的地方,可得公式 F1F 6,可表达为P Q R F1 F2 F3 F4 F5 F6T T T T F T T F FT T F F F T F F FT F T T F F T T FT F F F T F T T FF T T T F F T T FF T F T F F F T FF F T T F T T T FF F F F T F T T TF1:(QP)RF2:(PQR)(PQR)F3:(PQ)(QR)F4:(PQR)(PQR)F5:(PQR)(PQR)F6:(PQR)(6)P Q 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1
8、5 16F F F T F T F T F T F T F T F T F TF T F F T T F F T T F F T T F F T TT F F F F F T T T T F F F F T T T T 8T T F F F F F F F F T T T T T T T T解:由上表可得有关公式为1.F 2.(PQ) 3.(QP) 4.P5.(PQ) 6.Q 7.(PQ) 8.(PQ)9.PQ 10.PQ 11.Q 12.PQ13.P 14.QP 15.PQ 16.T(7) 证明:a) A(BA) A(BA) A(AB) A(AB) A(AB)b) (AB) (AB)(AB)
9、 (AB)(AB)(AB)(AB) 或 (AB) (AB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AA)(BB)(BA)(AB)(BA)(AB)(AB) (AB)(AB)c) (AB) (AB) ABd) (AB) (AB)(BA)(AB)(BA) 9(AB)(AB)e) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(C(ABD) (ABC)D)(ABC)D) (ABC)(ABC)D (ABC)(ABC)D (AB)(AB)C)D (C(A B)D)f) A(BC) A(BC) (AB)C(AB)C (AB)Cg) (AD)(BD)(AD)(BD) (AB)D (AB)D (AB)Dh) (AB)C
10、)(B(DC) (AB)C)(B(DC) (AB)(BD)C(AB) (DB)C(AB)(DB)C (AD)B)C (B(DA)C 10(8)解:a) (AB) (BA)C (AB) (BA)C (AB) (AB)CTC Cb) A(A(BB) (AA)(BB) TF Tc) (ABC)(ABC) (AA) (BC)T(BC)BC(9)解:1)设 C为 T,A 为 T,B 为 F,则满足 ACBC,但 AB不成立。2)设 C为 F,A 为 T,B 为 F,则满足 ACBC,但 AB不成立。3)由题意知A 和B 的真值相同,所以 A和 B的真值也相同。习题 1-5(1) 证明:a) (P(PQ)
11、Q(P(PQ)Q(PP)(PQ)Q(PQ)Q(PQ)QPQQPT 11Tb) P(PQ)P(PQ) (PP)QTQTc) (PQ)(QR)(PR)因为(PQ)(QR)(PR)所以(PQ)(QR)为重言式。d) (ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca)因为(ab)(bc)(ca)(ac)b)(ca)(ac)(ca)(b(ca)(ac)(bc)(ba)所以(ab)(bc) (ca)(ab)(bc)(ca) 为重言式。(2) 证明:a)(PQ)P(PQ)解法 1:设 PQ 为 T(1)若 P为 T,则 Q为 T,所以 PQ 为 T,故 P(PQ)为 T(2)若 P为 F,则 Q为 F,所以
12、 PQ 为 F,P(PQ)为 T命题得证解法 2: 12设 P(PQ)为 F,则 P为 T,(PQ)为 F,故必有 P为 T,Q 为 F,所以 PQ 为F。解法 3:(PQ) (P(PQ)(PQ)(P(PQ)(PQ)(PP)(PQ)T所以(PQ)P(PQ)b)(PQ)QPQ设 PQ 为 F,则 P为 F,且 Q为 F,故 PQ 为 T,(PQ)Q 为 F,所以(PQ)QPQ。c)(Q(PP)(R(R(PP)RQ设 RQ 为 F,则 R为 T,且 Q为 F,又 PP 为 F所以 Q(PP)为 T,R(PP)为 F所以 R(R(PP)为 F,所以(Q(PP)(R(R(PP)为 F即(Q(PP)(R
13、(R(PP)RQ 成立。(3) 解:a) PQ 表示命题“如果 8是偶数,那么糖果是甜的” 。b) a)的逆换式 QP 表示命题“如果糖果是甜的,那么 8是偶数” 。c) a)的反换式PQ 表示命题“如果 8不是偶数,那么糖果不是甜的” 。d) a)的逆反式QP 表示命题“如果糖果不是甜的,那么 8不是偶数” 。(4) 解: 13a) 如果天下雨,我不去。设 P:天下雨。Q:我不去。PQ 逆换式 QP 表示命题:如果我不去,则天下雨。逆反式QP 表示命题:如果我去,则天不下雨b) 仅当你走我将留下。设 S:你走了。R:我将留下。RS逆换式 SR 表示命题:如果你走了则我将留下。逆反式SR 表示
14、命题:如果你不走,则我不留下。c) 如果我不能获得更多帮助,我不能完成个任务。设 E:我不能获得更多帮助。H:我不能完成这个任务。EH逆换式 HE 表示命题:我不能完成这个任务,则我不能获得更多帮助。逆反式HE 表示命题:我完成这个任务,则我能获得更多帮助(5) 试证明 PQ,Q 逻辑蕴含 P。证明:解法 1:本题要求证明(P Q) QP, 设(PQ) Q 为 T,则(PQ)为 T,Q 为 T,故由 的定义,必有 P 为 T。所以(P Q) QP解法 2:由体题可知,即证(PQ)Q)P 是永真式。(PQ)Q)P (PQ) (PQ) Q)P (PQ) (PQ) Q) P (PQ) (PQ) Q)
15、 P 14 (QPQ) (QPQ) P (QP) T) PQPPQT T(6) 解:P:我学习 Q:我数学不及格 R:我热衷于玩扑克。 如果我学习,那么我数学不会不及格: PQ如果我不热衷于玩扑克,那么我将学习: RP 但我数学不及格: Q因此我热衷于玩扑克。 R即本题符号化为:(PQ)(RP)QR证:证法 1:(PQ)(RP)Q)R (PQ)(RP)Q) R (PQ)(RP)QR (QP)(QQ)(RR)(RP) QPRP T 所以,论证有效。证法 2:设(PQ)(RP)Q 为 T,则因 Q为 T,(PQ) 为 T,可得 P为 F,由(RP)为 T,得到 R为 T。 15故本题论证有效。(7
16、) 解:P:6 是偶数 Q:7 被 2除尽 R:5 是素数如果 6是偶数,则 7被 2除不尽 PQ或 5不是素数,或 7被 2除尽 RQ5是素数 R所以 6是奇数 P即本题符号化为:(PQ)(RQ)R P证:证法 1:(PQ)(RQ)R)P (PQ) (RQ) R) P (PQ) (RQ) R) P (PP) (PQ) (RR) (RQ) (PQ) (RQ)T 所以,论证有效,但实际上他不符合实际意义。证法 2:(PQ)(RQ)R 为 T,则有 R为 T,且RQ 为 T,故 Q为 T,再由 PQ 为 T,得到P 为 T。(8) 证明:a) P(PQ)设 P为 T,则P 为 F,故PQ 为 Tb
17、) ABCC 16假定ABC 为 T,则 C为 T。c) CABB因为 ABB 为永真,所以 CABB 成立。d) (AB) AB 设(AB)为 T,则 AB 为 F。若 A为 T,B 为 F,则A 为 F,B 为 T,故AB 为 T。若 A为 F,B 为 T,则A 为 T,B 为 F,故AB 为 T。若 A为 F,B 为 F,则A 为 T,B 为 T,故AB 为 T。命题得证。e) A(BC),DE,(DE)ABC设A(BC),DE,(DE)A 为 T,则 DE 为 T,(DE)A 为 T,所以A 为 T又A(BC)为 T,所以 BC 为 T。命题得证。f) (AB)C,D,CDAB设(AB
18、)C,D,CD 为 T,则D 为 T,CD 为 T,所以 C为 F又(AB)C 为 T,所以 AB 为 F,所以AB 为 T。命题得证。(9)解:a) 如果他有勇气,他将得胜。P:他有勇气 Q:他将得胜 原命题:PQ 逆反式:QP 表示:如果他失败了,说明他没勇气。b) 仅当他不累他将得胜。P:他不累 Q:他得胜 原命题:QP 逆反式:PQ 表示:如果他累,他将失败。 17习题 1-6(1)解:a) (PQ)P(PP)Q(TQ)b) (P(QR) PQ (P(QR)PQ(PPQ)(QPQ)(RPQ)(PQ)(PQ)(PRQ)PQ(PQ)c) PQ(RP)PQ(RP) (PQR)(PQP)(PQ
19、R)FPQR(PQR)(2) 解:a)P PPb)PQ(PQ) (PQ)(PQ)c)PQPQ (PP)(QQ)(3)解:P(PQ)P(PQ) 18TPP (PP)(PP)P(PP) P(PQ)P(PQ)TPP(PP)(PP)P)(PP)P)(PP)P)(4)解:PQ(PQ)(PP)(QQ) (PP)(QQ)(PP)(QQ)(5)证明:(BC)(BC) BC(BC)(BC) 19BC(6)解:联结词“”和“”不满足结合律。举例如下:a)给出一组指派:P 为 T,Q 为 F,R 为 F,则(PQ)R 为 T,P(QR)为 F故 (PQ)R P(QR).b)给出一组指派:P 为 T,Q 为 F,R
20、为 F,则(PQ) R 为 T,P(QR)为 F故(PQ)R P(QR).(7)证明:设变元 P,Q,用连结词,作用于 P,Q 得到:P,Q,P,Q,PQ,P P,QQ,QP。但 PQQP,PP QQ,故实际有:P,Q,P,Q,PQ,PP(T) (A)用作用于(A)类,得到扩大的公式类(包括原公式类):P,Q,P,Q,(PQ) , T,F, P Q (B)用 作用于(A)类,得到:PQ, PPF,PQ(PQ) ,P (PQ) Q,P(P P)P,QP (PQ) ,QQF,Q(PQ)P,Q TQ, PQPQ,P(PQ)Q,P TP, Q(PQ)P,QTQ,(PQ)(PQ)PQ.因此, (A)类使
21、用运算后,仍在(B)类中。对(B)类使用运算得:P,Q,P,Q, PQ, F,T,(PQ) , 20仍在(B)类中。对(B)类使用运算得:PQ, PPF,PQ(PQ) ,P (PQ) Q,PT P,PFP,P(PQ)Q, QP (PQ) ,QQF,Q(P Q)P,Q TQ, QFQ, Q( PQ)P, PQPQ,P(PQ)Q,P TP, PF P,P(P Q)Q, Q(P Q)P,QTQ, QT Q,Q(P Q)P,(PQ) T(PQ) ,(PQ)F PQ,(P Q)(P Q)FTFF, T(PQ ) PQF( PQ) (PQ)(PQ)(PQ)PQ.故由(B)类使用运算后,结果仍在(B)中。
22、由上证明:用,两个连结词,反复作用在两个变元的公式中,结果只能产生(B)类中的公式,总共仅八个不同的公式,故,不是功能完备的,更不能是最小联结词组。已证,不是最小联结词组,又因为 P Q (P Q) ,故任何命题公式中的联结词,如仅用 , 表达,则必可用,表达,其逆亦真。故 , 也必不是最小联结词组。(8)证明,和不是最小联结词组。证明:若,和是最小联结词,则P(PP) 21P(PP)PP(P(P)对所有命题变元指派 T,则等价式左边为 F,右边为 T,与等价表达式矛盾。所以,和不是最小联结词。(9)证明,和, 是最小联结词组。证明:因为,为最小联结词组,且 PQPQ所以,是功能完备的联结词组
23、,又,都不是功能完备的联结词组。所以,是最小联结词组。又因为 PQ(P Q),所以, 是功能完备的联结词组,又, 不是功能完备的联结词组,所以, 是最小联结词组。习题 1-7(1)解:P(PQ)P(PQ) (PP)(PQ)P(PQ) (P(QQ)(PQ) (PQ)(PQ)(PQ)(2)解:a) (PQ)R(PQ)Rcc c 22 PQR(PQ)(PQ)(QR)(QR)(RP)(RP)b) P(QR)S)P(QR)S)PQRS(PQ)(PQ)(QR)(QR)(RS)(RS)(SP)(SP)c) (PQ)(ST)(PQ)(ST)(PQS)(PQT)d) (PQ)R(PQ)R(PQ)R(PR)(Q
24、R)e) (PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ) (PQ)(QP)(3) 解:a) P(PQR)(PP)(PQ)(PR)(PQ)(PR)b) (PQ)(PQ) 23(PQ)(PQ)(PQ)(PQ)(PPQ)(QPQ)c) (PQ)(PQ) PQ(PQ)(PQ)(QP)d) (PQ)R(PQ)R (PQ)R (PR)(QR)e) (PQ)(PQ)(PP)(PQ)(QP)(QQ)(PQ)(QP)(4) 解:a) (PQ)(PQ)(PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(PQ) 1,2,3PQ= 0b) Q(PQ) (PQ)(QQ) PQ = 240,1,2 (PQ)(PQ)
25、 (PQ)c) P(P(Q(QR)P(P(Q(QR) PQR= 01,2,3,4,5,6,7=(PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)(PQR)d) (P(QR) )(P(QR) (P(QR) (P(QR) (PP) (P(QR) (QR) P) (QR) (QR) (PQR) (PQR) = 0,71,2,3,4,5,6 (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR) (PQR)e) P(P(QP) P(P(QP)(PP)(PQP) T(TQ) T0,1,2,3= (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)f) (QP) (PQ) (QP) PQ 25
26、(QP) (PQ) F0,1,2,3 = (PQ) (PQ) (PQ) (PQ)(5) 证明:a)(AB) (AC) (AB) (AC)A(BC) A(BC) (AB) (AC)b)(AB) (AB)(AB) (AB) (AB) (AB)A(BB)ATA(AB) (BA) (AB) (BA)A(BB) AFAc)AB(AB) 26 (AA)(AB)B ABB FAB(AB) (AA)(AB)BABBFd)A(A(AB)AA(AB)TAB(AB)(AB) (AB)T (6)解:AR(Q(RP),则 A* R(Q(RP)AR(Q(RP)(R(Q(RP) RQ(RP)(RQ) (RP)A*R(Q(R
27、P)(R(Q(RP) RQ(RP)(RQ) (RP) 27(7) 解:设 A:A 去出差。B:B 去出差。C:C 去出差。D:D 去出差。若 A去则 C和 D中要去一个。 A(C D)VB和 C不能都去。 (BC)C去则 D要留下。 CD按题意应有:A(C D),(BC),CD 必须同时成立。V因为 C D (CD) (DC)故(A(C D)(BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (CD) (A(CD) (DC) (BC) (BD) (CD) C) (A BC) (ABD) (ACD) (AC) (BCD) (CDBD) (CDCD)
28、(CDC) (DCBC) (DCBD) (DCCD) (DCC)在上述的析取范式中,有些(画线的)不符合题意,舍弃,得(AC) (BCD) (CD)(DCB)故分派的方法为:BD,或 DA,或 CA。(8)解:设 P:A 是第一。Q:B 是第二。R:C 是第二。S:D 是第四。E:A 是第二。由题意得 (P Q) (R S) (E S) VV (PQ) (PQ) (RS) (RS) (ES) (ES) (PQRS) (PQRS) (PQRS) 28(PQRS)(ES)(ES)因为 (PQRS)与(PQRS)不合题意,所以原式可化为(PQRS) (PQRS)(ES) (ES) (PQRSES)
29、 (PQRSES) (PQRSES)(PQRSES) (PQRSE) (PQRSE)因 R与 E矛盾,故PQRSE 为真,即 A不是第一,B 是第二,C 不是第二,D 为第四,A 不是第二。于是得: A 是第三 B 是第二 C 是第一 D 是第四。习题 1-8(1)证明:a)(PQ),QR,RP(1) RP(2) QR P(3) Q (1)(2)T,I(4) (PQ) P(5) PQ (4)T,E(6) P (3)(5)T,Ib)J(MN),(HG)J,HGMN(1) (HG) J P(2) (HG) P(3) J (1)(2)T,I 29(4) J(MN) P(5) MN (3)(4)T,I
30、c)BC,(BC)(HG) GH(1) BC P (2) B(1)T,I(3) C (1)T,I(4) BC(2)T,I(5) CB (3)T,I(6) CB(4)T,E(7) BC (5)T,E(8) BC (6)(7)T,E(9) (BC) (HG) P(10) HG(8)(9)T,Id)PQ,(QR)R,(PS) S(1) (QR) R (2) QR (1)T,I(3) R (1)T,I(4) Q (2)(3)T,I(5) PQ P(6) P (4)(5)T,I(7) (PS) P(8) PS (7)T,E(9) S (6)(8)T,I 30(2) 证明:a)AB,CBAC(1) (AC) P (2) A (1)T,I(3) C (1)T,I(4) AB P(5) B (2)(4)T,I(6) CB P(7) B (3)(6)T,I(8) BB 矛盾。(5),(7)b)A(BC),(CD)E,F(DE) A(BF)(1) (A(BF) P(2) A (1)T,I(3) (BF) (1)T,I(4) B (3)T,I(5) F (3)T,(6) A(BC) P(7) BC (2)(6)T,I(8) C (4)(7)T,I(9) F(DE) P (10) DE (5)(9)T,I(11) D (10)T,I(12) CD (8)(11)T,I