1、第三章 不等式定 义 ：用 不 等 号 将 两 个 解 析 式 连 结 起 来 所 成 的 式 子 。3-1 不 等 式 的 最 基 本 性 质对称性：如 果 x y，那 么 y x；如 果 y x，那 么 x y；传递 性：如 果 x y，y z；那 么 x z；加法性 质； 如 果 x y，而 z 为 任 意 实 数 ，那 么x z y z；乘法性 质： 如 果 x y，z 0，那 么 xz yz；如 果 x y，z0，那 么 xz yz;（符 号 法 则 ）3-2 不 等 式 的 同 解 原 理 不 等 式 F（x） G（x）与 不 等 式 G（x） F（x）同 解 。 如 果 不 等
2、式 F（x） G（x）的 定 义 域 被 解 析 式 H（ x ）的 定 义 域 所 包 含 ，那 么 不 等 式 F（x） G（x）与 不 等 式 F（x） H（x） G（x） H（x）同 解 。如 果 不 等 式 F（x） G（x） 的 定 义 域 被 解 析 式 H（x）的 定义 域 所 包 含 ，并 且 H（x） 0，那 么 不 等 式 F(x) G（x）与 不 等 式H（x）F（x） H（ x ）G（x） 同 解 ；如 果 H（x） 0，那 么 不 等 式 F（x） G（x）与 不 等 式 H (x)F（x） H（x）G（x）同 解 。 不 等 式 F（x）G（x） 0 与 不 等
3、式 或 同 解0)()(不等式解 集 表 示 方 式F(x)0 的 解 集 为 x 大 于 大 的 或 x 小 于 小 的F(x)2 ；(2)| 2 6| 型不等式()fxg()fg这类不等式的简捷解法是等价命题法，即：| | 或 5.xa形如| | ( )型不等式()fxa)fa此类不等式的简捷解法是等价命题法，即：当 0 时 ，| | 或()fx()fxa()f()fxa0()fa()f()f当 有意义。xxax4、含参数绝对值不等式有解、解集为空和恒成立的问题若不等式| 4|+|3 |0 时，先求不等式| 4|+|3 |147272xa 当 31xa 当 3时，原不等式化 为 4 +3
4、13773722xax综合可知，当 1 时，原不等式有解，从而当 01 时，xxa| 4|+|3 | 4|+|3 | 4+3 |=1xxx当 1 时 ，| 4|+|3 |4。解（略）回顾：本题是“绝对值不等式性 质定理” （即“三角形不等式”）的一个应用。发展题：（1）已知不等式|x-3|+|x+1|a 的解集非空，求 a 的取值范围。（2）已知不等式|x-3|+|x+1|a 的解集非空，求 a 的取值范围。3已知 f(x)的定义域为 0,1，且 f(0)=f(1)，如果对于任意不同的x1,x20,1，都有|f(x 1)-f(x2)| 呢？考虑到 0|x1-x2|1，则 1-|x1-x2| 时
5、，即 x2-x1 时，0x 2-x11必有 1-|x1-x2|0 化 为 (x-2)(x-1)(x+1)0 第 二 步 ：将 不 等 号 换 成 等 号 解 出 所 有 根 。 例 如 ：(x-2)(x-1)(x+1)=0 的 根 为 ：x1=2，x2=1，x3=-1 第 三 步 ：在 数 轴 上 从 左 到 右 依 次 标 出 各 根 。 例 如 ：-1 1 2 第 三 步 ：画 穿 根 线 ：以 数 轴 为 标 准 ，从 “最 右 根 ”的 右 上 方 穿 过根 ，往 左 下 画 线 ，然 后 又 穿 过 “次 右 跟 ”上 去 ，一 上 一 下 依 次 穿 过各 根 。 第 四 步 ：观
6、 察 不 等 号 ，如 果 不 等 号 为 “”，则 取 数 轴 上 方 ，穿跟 线 以 内 的 范 围 ；如 果 不 等 号 为 “0 的 根 。 在 数 轴 上 标 根 得 ：-1 1 2 画 穿 根 线 ：由 右 上 方 开 始 穿 根 。 因 为 不 等 号 威 “”则 取 数 轴 上 方 ，穿 跟 线 以 内 的 范 围 。即 ：-12。 奇 透 偶 不 透 即 假 如 有 两 个 解 都 是 同 一 个 数 字 这 个 数 字 要按 照 两 个 数 字 穿 如 （x-1)=0 两 个 解 都 是 1 那 么 穿 的 时 候 不要 透 过 1。解题步骤： （1）首项系数化为“正”（2
7、）移项通分，不等号右侧化为“0”（3）因式分解，化为几个一次因式积的形式（4）数轴标根。例 2、解不等式：2071x解略点评：“或”标根时，分子实心，分母空心。例 3、解不等式：2917x系数非正，小于等于右侧非 0点评：1、不能随便去分母2、移项通分，必须保证右侧为“0”3、注意重根问题例 4、解不等式：2560()3x点评：1、不能随便约去因式2、重根空实心，以分母为准例 5、解不等式： 123x点评：不等式左右不能随便乘除因式。例 6、解不等式： 231x点评：练习：解不等式：二次三项式，a0,0，恒正也可利用配方法判定二次三项式的正负十字相乘法分解因式受阻0 0求根公式法分解因式 恒正或恒负分子，分母有公因式不等号左右有公因式不能十字相乘分解因式；无法分解因式1、 （首相系数化为正，空实心） 302x2、 （移项通分，右侧化为 0）13x3、 （因式分解） 20x4、 （求根公式法因式分解）210x5、 （恒正式，重根问题）32160xx6、 （不能随便约分）2309x7、 （取交集）10x例 7、解不等式： 12ax含参分类讨论
