1、一、二维形式的柯西不等式二、二维形式的柯西不等式的变式三、二维形式的柯西不等式的向量形式例1：设、为正数且各不相等。求证：例2：、为非负数，+=1，求证：例3、若 求证：例4：求证：【1】、设，则之最小值为_；此时_。答案：-18; 解析： 之最小值为-18，此时【2】 设= (1，0，- 2)，= (x，y，z)，若x2 + y2 + z2 = 16，则的最大值为。【解】= (1，0，- 2)，= (x，y，z)= x - 2z由柯西不等式12 + 0 + (- 2)2(x2 + y2 + z2) (x + 0 - 2z)25 16 (x - 2z)2- 4 x 4- 4 4，故的最大值为4
2、【3】空间二向量，已知，则(1)的最大值为多少？(2)此时？Ans：(1) 28：(2) (2,4,6)【4】设a、b、c为正数，求的最小值。Ans：121【5】. 设x，y，z R，且满足x2 + y2 + z2 = 5，则x + 2y + 3z之最大值为解(x + 2y + 3z)2 (x2 + y2 + z2)(12 + 22 + 32) = 514 = 70x + 2y + 3z最大值为【6】 设x，y，z R，若x2 + y2 + z2 = 4，则x - 2y + 2z之最小值为时，(x，y，z) = 解(x - 2y + 2z)2 (x2 + y2 + z2)12 + ( - 2)
3、 2 + 22 = 49 = 36x - 2y + 2z最小值为 - 6，公式法求 (x，y，z) 此时 ，【7】设，试求的最大值M与最小值m。Ans：【8】、设，试求的最大值与最小值。答：根据柯西不等式 即 而有 故的最大值为15，最小值为15。【9】、设，试求之最小值。答案：考虑以下两组向量 = ( 2, 1, 2) =( x, y, z ) 根据柯西不等式，就有 即 将代入其中，得 而有 故之最小值为4。【10】设，求的最小值m，并求此时x、y、z之值。Ans：【11】 设x，y，z R，2x + 2y + z + 8 = 0，则(x - 1)2 + (y + 2)2 + (z - 3)
4、2之最小值为解： 2x + 2y + z + 8 = 02(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3) = - 9，考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 2(x - 1) + 2(y + 2) + (z - 3)2 (x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2(22 + 22 + 12)(x - 1)2 + (y + 2) 2 + (z - 3) 2 = 9【12】设x, y, zR，若，则之最小值为_，又此时_。解： 2x - 3(y - 1) + z =( )，考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) 解析：最小值【1
5、3】 设a，b，c均为正数且a + b + c = 9，则之最小值为解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) ()(a + b + c)()9 (2 + 3 + 4)2 = 81 = 9【14】、设a, b, c均为正数，且，则之最小值为_，此时_。解：考虑以下两组向量 = ( , , ) ， =( , , ) ，最小值为18 等号发生于 故 又 【15】. 设空间向量的方向为a，b，g，0 a，b，g p，csc2a + 9 csc2b + 25 csc2g 的最小值为。解sin2a + sin2b + sin2g = 2由柯西不等式(sin2a + sin2b + s
6、in2g) (1 + 3 + 5)2 2(csc2a + 9csc2b + 25csc2g) 81csc2a + 9csc2b + 25csc2g 故最小值为【注】本题亦可求tan2a + 9 tan2b + 25tan2g 与cot2a + 9cot2b + 25cot2g 之最小值，请自行练习。【16】. 空间中一向量与x轴，y轴，z轴正向之夹角依次为a，b，g（a，b，g 均非象限角），求的最小值。解 : 由柯西不等式 sin2a + sin2b + sin2g = 2的最小值 = 18【17】.空间中一向量的方向角分别为，求的最小值。答72利用柯西不等式解之【18】、设x, y, zR
7、，若，则之范围为何？又发生最小值时，？答案：若又【19】 设rABC之三边长x，y，z满足x - 2y + z = 0及3x + y - 2z = 0，则rABC之最大角是多少度？【解】x：y：z =：= 3：5：7设三边长为x = 3k，y = 5k，z = 7k则最大角度之cosq = -，q = 120【20】. 设x，y，z R且，求x + y + z之最大值，最小值。Ans 最大值7；最小值 - 3【解】由柯西不等式知42 + ()2 + 22 25 1 (x + y + z - 2)25 |x + y + z - 2|- 5 x + y + z - 2 5- 3 x + y + z
8、 7故x + y + z之最大值为7，最小值为 - 3【21】. 求2sinq +cosq sinf - cosq cosf 的最大值与最小值。答. 最大值为，最小值为 -【详解】令向量 = (2sinq，cosq，- cosq)，= (1，sinf，cosf)由柯西不等式 | |得| 2sinq +cosq sinf - cosq cosf | ，所求最大值为，最小值为 -【22】ABC的三边长为a、b、c，其外接圆半径为R，求证：证明：由三角形中的正弦定理得，所以，同理，于是左边=。【23】求证:点P(x0,y0)到直线Ax+By+C=0的距离d=.证明:设Q(x,y)是直线上任意一点,则
9、Ax+By+C=0.因为|PQ|2=(x-x0)2+(y-y0)2,A2+B20,由柯西不等式得(A2+B2)(x-x0)2+(y-y0)2A(x-x0)+B(y-y0)2=(Ax+By)-(Ax0+By0)2=(Ax0+By0+C)2,所以|PQ|.当时,取等号,由垂线段最短得d=.【24】已知正数x,y,z满足x+y+z=xyz,且不等式恒成立,求的范围.解析:由二元均值不等式及柯西不等式,得故的取值范围是,+).温馨提示本题主要应用了最值法,即不等式恒成立,等价于()max,问题转化为求f(x,y,z)=的最大值.【25】设a,b,c,x,y,z均为正实数,且满足a2+b2+c2=25,x2+y2+z2=36,ax+by+cz=30.求的值.解析:根据已知等式的特点,可考虑用柯西不等式.由柯西不等式等号成立的条件,知=,再由等比定理,得=.因此只需求的值即可.由柯西不等式,得302=(ax+by+cz)2(a2+b2+c2)(x2+y2+z2)=2536,当且仅当=时,上式等号成立.于是a=x,b=y,c=z,从而有2(x2+y2+z2)=25,=(舍负),即.
