1、高中数学不等式经典题库典型例题一例 1 解不等式 231x分析：解含有绝对值的不等式，通常是利用绝对值概念 ，将不等式中的绝对符号去掉，转化成)0(a与之同解的不含绝对值的不等式（组） ，再去求解去绝对值符号的关键是找零点（使绝对值等于零的那个数所对应的点） ，将数轴分成若干段，然后从左向右逐段讨论解：令 ， ，令 ， ，如图所示 来源:Z 。xx。k.Com01x1x032x23x（1 ）当 时原不等式化为 与条件矛盾，无解)()(（2 ）当 时 ，原不等式化为 ，故 23x 31x0x23x（3 ）当 时，原不等式化为 ，故 综上，原不等式的解为2x66260x说明：要注意找零点去绝对值符
2、 号最好画数轴，零点分段，然后从左向右逐段讨论，这样做条理分明、不重不漏典型例题二例 2 求使不等式 有解的 的取值范围ax34分析：此题若用讨论法，可以求解，但过程较繁；用绝对值的几何意义去求解十分简便解法一：将数轴分为 三个区间),4(,当 时，原不等式变为 有解的条件为 ，即 ；3x 27,3axx 327a1当 时，得 ，即 ；4a)( 1当 时，得 ，即 ，有解的条件为 xx)x4a以上三种情况中任一个均可满足题目要 求，故求它们的并集，即仍为 1解法二：设数 ，3，4 在数轴上对应的点分别为 P，A ，B，如图，由绝对值的几何定义，原不等式x的意义是 P 到 A、B 的距离之和小于
3、 aPBA a因为 ，故数轴上任一点到 A、B 距离之和大于（等于 1） ，即 ，故当 时，1 134xa有解x34典型例题三例 3 已知 ，求证 ),0(,20,2MyabyMax abxy分析：根据条件凑 ,证明： abyxaby aMbyaxybax 2)()(说明：这是为学习极限证明作的准备，要习惯用凑的方法典型例题四例 4 求证 ba2分析：使用分析法证明 ，只需证明 ，两边同除 ，即只需证明来源:Z xxk.Cm0ba22 2b，即 当 时， ；当 时，baba22 22)(1)( 1baa222)(1)()( 1，原不等式显然成立原不等式成立0说明：在绝对值不等式的证明，常用分析
4、法本例也可以一开始就用定理： baba22（1 ）如果 ，则 ，原不等式显然成立10（2 ）如果 ，则 ，利用不等式的传递性知 ， ，原不等式也成立abbabb典型例题五例 5 求证 bab11分析：本题的证法很多，下面给出一种证法：比较要证明的不等式左右两边的形式完全相同，使我们联想利用构造函数的方法，再用单调性去证明证明：设 xxxf 11)(定义域为 ，且 ， 分别在区间 ，区间 上是增函数来源:Z123,1a所以 的取值范围是 aaRa或说明：在求满足条件 的 时，要注意关于 的不等式组中有没有等号，否则会导致误解BA典型例题七例 6 已知数列通项公式 对于正整数 、 ，当 时，求证：
5、nn aaa2si3sin2is mnnma21分析：已知数列的通项公式是数列的前 项和，它的任意两项差还是某个数列的和，再利用不等式，问题便可解决nnaa 2121证明： mnnnm aa2sin2)si()1si( mnn aaa2sin2)si()1i( 21)(212 nmnmn )120(1)2( nmnm说明： 是以 为首项，以 为公比，共有 项的等比数列的和，误认 为共有n21 1n项是常见错误nm正余弦函数的值域，即 ， ，是解本题的关键本题把不等式、三角函数、数列、 个变量的绝对值sicos n不等式问题连在一起，是一个较为典型的综合题目如果将本题中的正弦改为余弦，不等式同样
6、成立典型例题八例 8 已知 ， ，求证：13)(2xf 1a)1(2)(afx分析：本题中给定函数 和条件 ，注意到要证的式子右边不含 ，因此对条件 的使用可有)(fx x1ax几种选择：(1) 直接用；(2) 打开绝对值用 ，替出 ；(3)用绝 对值的性质 进1ax 行替换证明： ， ， ， 13)(2xf 3)(2f 1a1ax ， 1ax xaaf)()(x)(，即 1211ax 12af说明：这是绝对值和函数的综合题，这类题通常要涉及绝对值及绝对值不等式的性质等综合知识的运用分析中对条件 使用时出现的三种可能是经常碰到的，要结合求证，灵活选用1ax典型例题九例 9 不等式组 的解集是（
7、 ） x230A B 0x 5.20xC D6 3分析：本题是考查含有绝对值不等式的解法，由 ，知 ， ，又 ，x203x0，解原不等式组实为解不等式 （ ） 30x x2330解法一：不等式两边平方得： 2)()(xx ，即 ，222)6()6(xx 0)66222 xx ，又 选 C0)6(2x3x3062x60x解法二： ，可分成两种情况讨论：(1)当 时，不等式组化为 （ ） 解得 2x x2220x(2)当 时，不等式组可化为 （ ） ，解得 36综合(1)、(2)得，原不等式组的解为 ，选 C60x说明：本题是在 的条件下，解一个含绝对值的分式不等式，如何去绝对值是本题的关键所在，
8、必须注意，0x只有在保证两 边均为非负数时，才能将不等式两边同时平方另一种方法则是分区间讨论，从而去掉绝对值符号当然本题还可用特殊值排除法求解典型例题十例 10 设二次函数 ( ，且 )，已知 ， ， ， ，当cbxaf2)(0bab1)0(f)(f1)(f时，证明 1x45)(xf分析：从 知，二次函数的图像是开口向上的抛物线；从 且 ， 知，要求证的是0a 1x)(f1)(f，所以抛物线的顶点一定在 轴下方，取绝对值后，图像翻到 轴上方 因此抛物线的顶点的取值非常重要，45)(xf x也是解这道题的关键所在证明： ， 又)()(2cbacb cba 1)()1f21b ， 又 ， ，a1121)0(f abcaf 44)2(2 而 的图像为开口向上的抛物线，且 ，abcbf 4)2(2 45b)(xf 1x， 的最大值应在 ， 或 处取得 ， ， ，1x)(xf 1xax21)(f)(f 45)2(abf 45)(f说明：本题考查了绝对值不等式的性质、二次函数的最值及分类讨论的思想和逻辑思维的能力，关键是通过对参数 ， ， 的分析，确定抛物线顶点的取值范围，然后通过比较求出函数在 范围内的最大值abc 1x
