1、 1 / 13不等式解题漫谈一、活用倒数法则 巧作不等变换不等式的性质和应用不等式的性质和运算法则有许多,如对称性,传递性,可加性等.但灵活运用倒数法则对解题,尤其是不等变换有很大的优越性.倒数法则：若 ab0,则 ab 与 1.1x分析：当 a1 时，原不等式等价于：1- a,即 1,1-a ; 当 00, 0, 从而 1-a, 同号，由倒数法则，得 11 时,x( ,+)；当 0logba B、| logab+logba|2 C、(log ba)2|logab+logba|分析：由已知，得 0 -3 x0 -1)得 x0(大于大的);再由(同0 与 x0 与得 0bf2(x)d)“或”型不
2、等式组成的不等式组也在此列） ，这是解不等式组中的一个难点。解决这类不等式组时常借用数轴来确定，但学生在求解时总会出现一些错误。这里介绍一种不通过数轴的直接方法：“抓两头 看中间”！如： ,先比较 a,b,c,d 四个数的大小，如xbxd)ad（即抓两头） ；再看 xb 与 x0)a2b是将分式化为整式，体现分式的整式化作用;试试下面两个问题如何解:求证：（1）a 2+b2+c2ab+bc+ac;(2) + + a+b+c. (a,b,c0)a2bb2cc2a（析：（1）由 a22ab-b 2得 b22bc-c 2 ,c22ac-a 2,三式相加整理即得；（2） 2a-b同样可得另两式，再将三
3、式相加整理即得） 。a2b(3)ab( )2 ;a+b2利用不等关系实现两数和与两数积的互化； (4) ;(a,b0)a2+b22 a+b2 ab利用不等关系实现两数和、两数的平方和及两数积之间的转化；注：涉及两数和、两数的平方和及两数积的问题是一个十分常见的问题，利用、两式可以使其中的关系一目了然。从解题分析上看，对解题有很好的导向作用。(5)若 a,bR +，则 + (当且仅当 = 时取等号); x2ay2b (x+y)2a+b xayb此式在解题中的主要作用表现在：从左向右看是“通分” （不是真正的通分）或“合并” ，化多项为一项，项数多了总不是好事；从右向左看，是“分解”或“拆项” ，
4、实现“一分为二”的变形策略。这在解不等式相关问题中就很有作为！请看下例：例：已知-10); x2ay2bz2c (x+y+z)2a+b+c+ + (a1,a2,an0)b12a1b22a2 bn2an (b1+b2+bn)2a1+a2+an(6) ax+by .(柯西不等式)a2+b2x2+y2此不等式将和(差)式与平方和式之间实现了沟通,灵活应用此式可以很方便地解决许多问题.如下例:例: 使关于 x 的不等式 + k 有解的实数 k 的取值范围是【 】x-3 6-xA - B C + D 6 3 3 6 3 6分析:所求 k 的范围可以转化为求不等式左边的最大值即可,由柯西不等式得 +x-3
5、4 / 13 = = .k ,k 的最大值是 .填 D.6-x 2 23 6 6 6五、不等式中解题方法的类比应用1、三种基本方法：比较法、分析法、综合法。其中比较法可分为作差比较法和作商比较法，不仅在不等式的证明和大小比较中有广泛的应用，同时在其他方面也有很大的作用。如分析法就是一种重要的思维方法，在数学的其他章节中也有广泛的应用。2、放缩法：是不等式证明中一种十分常用的方法，它所涉及的理论简单，思维简单，应用灵活，因而在解题时有着十分重要的应用。如果能灵活应用放缩法，就可以达到以简驭繁的效果。活题巧解例 1 若 1logba B | logab+logba |2 C (logba)2|lo
6、gab+logba|【巧解】特例法、排除法由已知，可令 a= ，b= ，则 logab=log231,01)(A) (0, )； (B) ( ,2)； (C) ( ,4)； (D) (2,4)。3 3 3【巧解】 排除法令 x=3,符合，舍 A、B；令 x=2,合题，舍 D，选 C。答案 C。例 3 已知 y=f(x)是定义在 R 上的单调函数，实数 x1x 2，-1= ,=x1+ x21+，若|f(x 1)-f(x2)|2 （B）| log (1+a)(1-a)| log(1+a)(1-a)|-|log(1-a)(1+a)|【巧解】换元法、综合法由于四个选项中只涉及两个式子 log(1+a)
7、(1-a) 和 log(1-a)(1+a)，为了简化运算看清问题的本质，不妨设 x= log(1+a)(1-a),y= log(1-a)(1+a),由 02 B |x|0 图中平12 13行于 x 轴的三条虚线),由图象可以看到：当 01 时,aa4+a5 （D）a 1a8=a4a5【巧解】特例法、排除法取 an=n,则 a1=1, a4=4, a5=5, a8=8,a 1 +a8=a4+a5,故选 B。答案 B。a b1Oyx( )x13( )x121 2oyx6 / 13例 7 条件甲：x 2+y24,条件乙：x 2+y22x,那么甲是乙的【 】A、 充分不必要条件 B、必要不充分条件C、
8、充分必要条件 D、既非充分也非必要条件【巧解】数形结合法画示意图如图。圆面 x2+y22x（包括圆周）被另一个圆面 x2+y24 包含，结论不是一目了然了吗？答案 B例 8 已知 a,b,c 均为正实数，则三个数 a+ , b+ , c+ 与 2 的关系是【 】1b 1c 1aA、都不小于 2 B、至少有一个不小于 2 C、都不大于 2 D、至少有一个不大于 2【巧解】整体化思想将 a+ , b+ , c+ “化整为零” ，得 a+ +b+ +c+ = a+ +b+ +c+ 6，故已知的三个数中1b 1c 1a 1b 1c 1a 1a 1b 1c至少有一个不小于 2。故选 B。答案 B例 9
9、解不等式 10,由数轴标根法，知解集为x|x4。答案 x|x4注：可以证明不等式 m0，不等式 x+|x-2c|1 的解集是 R，求 c 的取值范围。【巧解】等价转化法要使原不等式的解集为 R，只需不等式中不含 x 即可，故有 x-x+2c1 c 。127 / 13答案 c12注：这里将|x-2c|中去绝对值的讨论简化为符合题意的一种，显然简捷、精彩！例 12 已知 f(x)=(x-a)(x-b)-2 (ac-b,(d-a) 2(b-c)2,又(a+d) 2+(a-d)2=(b+c)2+(b-c)2,两式相减，得(a+d) 2BD,则 ACbc,求证： + + 0.1a-b 1b-c 1c-a
10、【巧解】放缩法0 ,而 0, + 1a-b 1a-c 1b-c 1a-b 1b-c, 原式得证。1a-cm ba2xO n8 / 13答案 见证明过程例 16 已知 a,b,c 均为正数，求证：3( - )2( - )。a+b+c3 3ab a+b2 ab【巧解】比较法、基本不等式法 左边-右边=2 +c-3 = + +c-3 3 -3 =0，原式成立。ab 3ab ab ab 3ab 3ab 3ab答案 见证明过程例 17 已知-1sin(cos). 2【巧解】单调性法 、放缩法cos+sin= sin(+ ) b0,c=2 ,求证：f(a)+f(c)1.xx+1【巧解】基本不等式法、放缩法
11、QTP(-1,-1)oyx9 / 13可以证明 f(x)在(0,+)上是增函数。 c=2 2 =2 = 0, c ，4a 4af(c)f( )，而 f(a)+f(c)f(a)+f( )= + = + + =1.4a 4a aa+1 aa+1 4a+4 aa+4 4a+4答案 见证明过程例 21 若关于 x 的不等式 x2+2ax-2b+10 与不等式-x 2+(a-3)x+b2-10 有相同的非空解集，求 a,b 的值。【巧解】等价转化法,数形结合法将 y= x2+2ax-2b+1 与 y=-x2+(a-3)x+b2-1 两式相加，得 2y=(3a-3)x+b2-2b,此即为直线MN 的方程（
12、其中 M、N 分别为两函数图象与 x 轴的两个交点） ；另一方面，由题意知，MN 即x 轴，其方程为 y=0,比较两式的系数得，3a-3=0,b 2-2b=0,从而易得 a=1,b=0 或 2，特别地当a=1,b=0 时，两不等式的解集为-1，也符合题意。答案 a=1,b=0 或 2。例 22 设定义在-2,2上的偶函数在区间0,2上单调递减，若 f(1-m)|m|且-21- m2 且-2 m2解得 -1 m0,即 0,化简得 x(3x+5)0, x(-, )(0,+)。53答案 x(-, )(0,+)。53例 24 已知 x,y,z 均是正数，且 x+y+z=1,求证： + + 。1-3x2
13、 1-3y2 1-3z2 610 / 13【巧解】配凑法、升幂法不等式两边配上 ，再运用均值不等式升幂。 （你知道为什么要配 吗？）23 23+ + + + 231-3x2 231-3y2 231-3z2 23+1-3x22 23+1-3y22 23+1-3z22= =2， 原式成立。5-3(x2+y2+z2)2答案 见证明过程例 25 设 a,b,c 为 ABC 的三条边，求证：a 2+b2+c2c,b+ca,c+ab,三式两边分别乘以 c,a,b 得 ac+bcc2,ab+aca2,bc+abb2,三式相加并整理得, a 2+b2+c20.8(x+1)3 10x+1【巧解】构造法,综合法原
14、不等式等价于( )3+5( )x3+5x,构造函数 f(x)= x3+5x,则原不等式即为 f(2x+1 2x+1)f(x)，又 f(x)在 R 上是增函数， x,解此不等式得 xbc0,求证：|m|0, m,n 同为负数，ba ca 1 |m+n|=|m|+|n|, |m|0),设方程 f(x)=x 的两实根为 x1和 x2，如果 x1-1.【巧解】 数形结合法设 g(x)=f(x)-x=ax2+(b-1)x+1,由题意得 ,即g(2)0),目标是证明- -1,即 0) b2a baGy=()12xFy=()12xEy=()12xPy=()12xDy=()12xCy=()12xBy=()12
15、xAy=()12x1-yy=( ) 12xyy=()12x 1-xy=( 12)xxy=()12xHa( , )18 14b12 / 13件下的平面区域（不含边界） ，而 表示区域内的点(a,b)与坐标原点连线的斜率，易见 b0） ，A、B 是椭圆上的两点，线段 AB 的垂直平分线x2a2 + y2b2 = 1与 x 轴相交于 P(x0,0),证明：- 0,y0,要证： + ，只要证x2x+y yx+2y 23 x2x+y yx+2y 233x(x+2y)+3y(2x+y)2(2x+y)(x+2y),即证：x 2+yy2xy,这显然成立， + ；x2x+y yx+2y 23（2）再证： + ，只需证：3x(2x+y)+3y(x+2y)2(x+2y)(2x+y),xx+2y y2x+y 23即证：x 2+y22xy,这显然成立， + 。xx+2y y2x+y 23综合（1） 、 （2）得，存在常数 C= ，使对于任何正数 x,y 都有 + 23 x2x+y yx+2y 23+ 成立。xx+2y y2x+y答案 存在常数 C= ,证明略.23
